2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Трехдиагональная система для уравнения теплопроводности
Сообщение31.05.2013, 23:26 


31/05/13
11
Здравствуйте,
Пытаюсь решить уравнение теплопроводности, использую неявную разностную схему.
В учебнике Самарского написано, что все уравнения будут иметь один и тот же вид:
Цитата:
$\gamma y_{i+1}^{n+1} - (1+2\gamma) y_i^{n+1} + \gamma y_{i-1}^{n+1}=-F_i^n$, $i=1,2,\ldots, N-1$, $y_0^{n+1} = \mu_1(t_{n+1})$, $y_N^{n+1} = \mu_2(t_{n+1})$, (13)
где $\gamma = \tau/h^2$, $F_i^n=y_i^n +\tau \varphi_i^n$. Эту систему можно решить методом прогонки (см. п. 7 § 4 ч. I), так как условия устойчивости прогонки выполнены.

Изображение
Понятно, что трехдиагональная сисема получится
Не понятно, как получить правую часть $F$ этой системы. Ведь в нее входят пока еще не известные $y^n_i$
Помогите, пожалуйста, разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трехдиагональная система для уравнения теплопроводности
Сообщение01.06.2013, 00:12 
Заслуженный участник


11/05/08
31992
Там крайне неудачные обозначения. Используйте тупо неявную схему: $\dfrac{y^{\text{нов}}_i-y^{\text{стар}}_i}{\tau}=\dfrac1{h^2}(y^{\text{нов}}_{i-1}-2y^{\text{нов}}_i+y^{\text{нов}}_{i+1})+\varphi_i$. Ну там с точностью до знака при фях -- лень вникать.

-- Сб июн 01, 2013 01:17:44 --

А, я не врубился:

shupenker в сообщении #731041 писал(а):
Ведь в нее входят пока еще не известные y_in

Что значит "неизвестные" -- ведь это же значения на старом временнОм слое и, соотв., давно (уже шаг прошёл) как известны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трехдиагональная система для уравнения теплопроводности
Сообщение01.06.2013, 06:12 


31/05/13
11
Тогда решить систему уравнений для всей квадратной области не получится? Нужно решать для каждого отсчета t отдельную систему? И не будет ли слишком быстро накапливаться погрешность в таком случае он нижнего к верхним слоям?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.06.2013, 07:54 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5727
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

shupenker, наберите все формулы $\TeX$ом. Картинку, содержащую цитату из учебника, можете оставить. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.06.2013, 12:32 
Экс-модератор


12/07/07
3919
Донецк, Украина
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Трехдиагональная система для уравнения теплопроводности
Сообщение01.06.2013, 12:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4877
Нов-ск
shupenker в сообщении #731141 писал(а):
Тогда решить систему уравнений для всей квадратной области не получится? Нужно решать для каждого отсчета t отдельную систему?
Почему решить систему уравнений для всей квадратной области не получится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трехдиагональная система для уравнения теплопроводности
Сообщение01.06.2013, 12:56 
Заслуженный участник


11/05/08
31992
shupenker в сообщении #731141 писал(а):
Тогда решить систему уравнений для всей квадратной области не получится? Нужно решать для каждого отсчета t отдельную систему?

Погуглите на "схему переменных направлений" или, что то же, "метод дробных шагов".

shupenker в сообщении #731141 писал(а):
И не будет ли слишком быстро накапливаться погрешность в таком случае он нижнего к верхним слоям?

Конечно, погрешность будет накапливаться, причём (в относительном масштабе) экспоненциально; это общее свойство для всех дифференциальных уравнений вообще. Но это -- лишь если нас интересует именно временнАя зависимость. Если же мы интересуемся лишь предельным значением, т.е. используем такого рода схему как итерационную для решения уравнения Пуассона, то никакого накопления погрешностей быть не может в принципе, и это -- тоже общее свойство всех итерационных схем вообще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трехдиагональная система для уравнения теплопроводности
Сообщение01.06.2013, 14:39 


31/05/13
11
Мне нужно сделать именно неявную схему для неоднородного уравнения теплопроводности.
В явной схеме можно даже без системы уравнений обойтисть, наверное, применяя шаблон р.с. снизу от начальных условий.
Но в случае неявной схемы, чтобы найти значения на $j+1$ временном слое необходимо вычислить значения на $j$-м. Следовательно получается по системе уравнений на каждый временнОй слой. Это нормальный подход или можно как-то лучше\проще сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трехдиагональная система для уравнения теплопроводности
Сообщение01.06.2013, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4877
Нов-ск
shupenker в сообщении #731263 писал(а):
Но в случае неявной схемы, чтобы найти значения на $j+1$ временном слое необходимо вычислить значения на $j$-м.

В случае явной схемы, чтобы найти значения на $j+1$ временном слое, тоже надо знать значения на $j$-м.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трехдиагональная система для уравнения теплопроводности
Сообщение01.06.2013, 14:57 


31/05/13
11
TOTAL в сообщении #731269 писал(а):
В случае явной схемы, чтобы найти значения на временном слое, тоже надо знать значения на -м.


на $j$-м слое из начального условия $u(x,0)=...$можно найти же и никакой системы уравнений не будет

 Профиль  
                  
 
 Re: Трехдиагональная система для уравнения теплопроводности
Сообщение01.06.2013, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4877
Нов-ск
shupenker в сообщении #731275 писал(а):
на $j$-м слое из начального условия $u(x,0)=...$можно найти же и никакой системы уравнений не будет
Для неявной схемы тоже все можно найти из начального условия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трехдиагональная система для уравнения теплопроводности
Сообщение01.06.2013, 15:10 


31/05/13
11
TOTAL в сообщении #731277 писал(а):
Для неявной схемы тоже все можно найти из начального условия.


Расскажите тогда, пожалуйста, как все сделать "по уму". В итоге мне нужно получить трехдиагональную систему и ее правую часть с числовыми коэффициентами, а то все общими фразами, не понятно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Трехдиагональная система для уравнения теплопроводности
Сообщение01.06.2013, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4877
Нов-ск
shupenker в сообщении #731280 писал(а):
Расскажите тогда, пожалуйста, как все сделать "по уму". В итоге мне нужно получить трехдиагональную систему и ее правую часть с числовыми коэффициентами, а то все общими фразами, не понятно :-)
Рассказываю: в приведенной выше цитате из Самарского трехдиагональная система уравнений записана. Чего ещё надо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трехдиагональная система для уравнения теплопроводности
Сообщение01.06.2013, 15:52 


31/05/13
11
TOTAL в сообщении #731282 писал(а):
Рассказываю: в приведенной выше цитате из Самарского трехдиагональная система уравнений записана. Чего ещё надо?


shupenker в сообщении #731041 писал(а):
Не понятно, как получить правую часть этой системы. Ведь в нее входят пока еще не известные $y^i_n$


Начальное условие задает чиловые значения правой части только для самого нижнего временнОго слоя.

shupenker в сообщении #731263 писал(а):
Но в случае неявной схемы, чтобы найти значения на временном слое $j+1$необходимо вычислить значения на $j$


Вот я и подумал, что для этого нужно решать систему для каждого слоя

 Профиль  
                  
 
 Re: Трехдиагональная система для уравнения теплопроводности
Сообщение01.06.2013, 15:59 
Заслуженный участник


11/05/08
31992
shupenker в сообщении #731263 писал(а):
Но в случае неявной схемы, чтобы найти значения на $j+1$ временном слое необходимо вычислить значения на $j$-м.

Зачем вычислять уже вычисленное?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group