Сжатие контура "бегущей нити".

[dovlato]

Уважемая lucien, прошу принять мои извинения за резкости и, .. ну, короче, за всё)).
На самом деле, я искренне благодарен Вам за умение видеть и за прояснение ситуации.
Естественно, и nikvik также. Тем паче, что он и является истинным автором модели, названной мной бегущей нитью.
В целом же для меня это было интеллектуальным приключением. Кстати, которое так и не получило завершения в виде уравнений и их решения.

[nikvic]

dovlato в сообщении #724553 писал(а):

В целом же для меня это было интеллектуальным приключением. Кстати, которое так и не получило завершения в виде уравнений и их решения.

А давайте замутим тему, о которой я говорил как об "антенне". Именно, (плоская) нить, бегущая из точки А в точку В в поле сил тяжести.

Локально - трубочка, кусочек дуги, дана скорость/плотность, найти нормальное усилие и приравнять его нулю.

[nikvic]

Там должен получиться дифур 3-го порядка.

[romka_pomka]

dovlato в сообщении #724044 писал(а):

Ну хорошо, допустим, что при деформации момент импульса НЕ сохраняется.
Детский вопрос: а куда он девается, если момент внешних сил равен нулю?!
Если lucien права - то, значит, таких деформирующих сил ваще нет..

но если деформирующие силы есть, то это не значит что кто-то неправ. Хехе.

Ну да: увеличили у кусочка контура тангенциальную скорость, но тут же уменьшили ему радиус-вектор. Почему момент импульса должен не сохраниться?!

И разгон кругового контура тут кажется не при чём. Неужели будем удивляться, что раскручивая педалями велосипедное колесо, получаем несохранение момента импульса и энергии у колеса?

У нас же не всегда круг, где $dl=rd\varphi$. У нас ситуация более общая: $dl=\sqrt{(rd\varphi)^2+(dr)^2}=d\varphi\sqrt{r^2+(r'_{\varphi})^2}$. Вот и получается, что сначала потребовали, чтоб круглый контур не сжимался ($dl\equiv rd\varphi$), а потом получили, что он не сжимается.

Да и вообще говоря, почему у нас вектор скорости всегда должен только по касательной к контуру быть направлен? Требование нерастяжимости удовлетворится одинаковостью вдоль контура всего только касательной компоненты скорости, но про поперечную скорость - оно, это требование, не в курсе. Стационарность зато в курсе. Опять выходит: хотим только касательную скорость - никакого контура не сожмем.

Ну то есть сами себе понаставили условий: завязали рукава у рубашки двойным узлом, а потом удивляемся, что надевается плохо.

[anik]

dovlato в сообщении #724044 писал(а):

Ну хорошо, допустим, что при деформации момент импульса НЕ сохраняется.
Детский вопрос: а куда он девается, если момент внешних сил равен нулю?!
Если lucien права - то, значит, таких деформирующих сил ваще нет..
Может, кто объяснит. Я правда не понимаю.

dovlato Предлагаю Вам решить задачу попроще. Вращаются два шарика с одинаковой массой связанные нитью. В момент времени $t=t_0$ нить начала равномерно сокращаться (неважно по какой причине).
Поскольку сила натяжения нити центральна (проходит через ц.м. - центр вращения) эта сила не может изменить момент импульса. Но, после того, как нить начала сокращаться, мы уже не можем говорить о том, что сила натяжения нити нормальна к траектории движения шарика. Она была нормальна, когда шарик двигался по окружности, но теперь шарик движется по спирали, т.к. нить сокращается!
Теперь, сила натяжения нити имеет касательную составляющую к траектории. Вот эта касательная составляющая силы и приводит к увеличению скорости движения шарика.
Та же самая ситуация возникает когда мы сжимаем кольцо вращающейся цепи гладкими прямолинейными направляющими.
Поскольку, гладкая направляющая движется к центру колца, то элемент цепи движется не только вдоль направляющей, но ещё и к центру. Таким образом получается, что траектория элемента цепи составляет угол с радиус-вектором из центра отличный от прямого, и сжимающая сила ускоряет движение цепи, при этом кинетическая энергия возрастает, а момент импульса не изменяется.

[mihiv]

Можно посмотреть, как распространяются по нити малые деформации.
Пусть контур нити представляет собой окружность радиуса $R=\frac L{2\pi }$, где $L$- длина нити. Перейдем в систему координат, вращающуюся с угловой скоростью $\omega =\frac vR$ относительно оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно плоскости контура.
В новой системе координат нить неподвижна и растянута центробежными силами. Сила натяжения нити равна $T=\rho v^2$. Будем считать деформации контура $u(s,t)$ малыми и направленными вдоль радиуса окружности (здесь $s$-натуральный параметр т.е. длина отсчитываемая от фиксированной точки контура, $t$- время). Таким образом $r(s,t)=R+u(s,t)$ ($r(s,t)$- расстояние точки контура от центра окружности). Пренебрегая силой Кориолиса и действуя также как при выводе уравнения колебаний струны, получим уравнение для малых деформаций контура

$$u_{tt}=\frac T{\rho }u_{xx}+\omega ^2u \qquad (1)$$

Последнее слагаемое в уравнении (1) появляется потому, что центробежная сила зависит от расстояния до центра окружности. Для упрощения задачи выберем (при фиксированной скорости $v$) длину нити настолько большой, что можно было пренебречь последним слагаемым в уравнении (1). Тогда для малых деформаций контура получим обычное волновое уравнение со скоростью распространения деформаций $v_{d}=\sqrt {\frac T{\rho }}=v$, т.е. деформации в контуре распространяются со скоростью движения нити в исходной системе.
Рассмотрим пример. В нашей новой системе координат слегка деформируем контур нити с двух диаметрально противоположных направлений (чтобы не менять положение центра масс), например, с помощью двух одинаковых цилиндров небольшого радиуса,перпендикулярных плоскости контура. Получим некоторое равновесное положение контура. Затем быстро уберем цилиндры. От каждого из двух участков деформации в противоположных направлениях со скоростью $v$ побегут волны деформации (формула Даламбера).
Если вернуться в исходную систему координат, то мы увидим два неподвижных деформированных участка контура, от которых со скоростью $2v$ движутся деформированные участки такой же формы, что и неподвижные. Вся картина будет периодически повторяться.

[nikvic]

mihiv в сообщении #727087 писал(а):

Рассмотрим пример. В нашей новой системе координат слегка деформируем контур нити с двух диаметрально противоположных направлений (чтобы не менять положение центра масс), например, с помощью двух одинаковых цилиндров небольшого радиуса,перпендикулярных плоскости контура. Получим некоторое равновесное положение контура. Затем быстро уберем цилиндры. От каждого из двух участков деформации в противоположных направлениях со скоростью $v$ побегут волны деформации (формула Даламбера).
Если вернуться в исходную систему координат, то мы увидим два неподвижных деформированных участка контура, от которых со скоростью $2v$ движутся деформированные участки такой же формы, что и неподвижные. Вся картина будет периодически повторяться.

Ничего никуда не побежит - форма будет сохраняться, какой бы причудливой её не имели в качестве "равновесной".

Для того, чтобы побежало, нужно ударить, придав какому-дибо участку поперечную скорость.

[mihiv]

nikvic в сообщении #727096 писал(а):

.

Для того, чтобы побежало, нужно ударить, придав какому-дибо участку поперечную скорость.

Обратите внимание, что цилиндры, с помощью которых производится деформация, неподвижны во вращающейся системе, а в исходной системе они движутся по окружности со скоростью $v$.

[nikvic]

Тогда непонятно, что есть равновесное положение контура.

[mihiv]

nikvic в сообщении #727136 писал(а):

Тогда непонятно, что есть равновесное положение контура.

Имеется в виду новая слегка деформированная форма контура во вращающейся системе координат (контур в ней неподвижен).

[nikvic]

mihiv в сообщении #727139 писал(а):

nikvic в сообщении #727136 писал(а):

Тогда непонятно, что есть равновесное положение контура.

Имеется в виду новая слегка деформированная форма контура во вращающейся системе координат (контур в ней неподвижен).

Ага, теперь понятно. В ней - массовые силы (центробежка), и для начала получается что-то вроде пары цепных линий после "успокоения".
Однако для их "согласования" придётся, наверное, раздвигать петлю, а не сжимать.

[mihiv]

nikvic в сообщении #727145 писал(а):

Однако для их "согласования" придётся, наверное, раздвигать петлю, а не сжимать.

Т.к. получилось волновое уравнение, то это, видимо, непринципиально. Деформации распространяются независимо.

[nikvic]

Изначально речь идёт о стационарности с применением цилиндров. Как мне видиться, она невозможна для для сжимающих.

Пока вообще неясна устойчивость, и говорить о волновом уравнении рановато

[anik]

Сдулись...

[MajorUrsus]

anik в сообщении #729974 писал(а):

Сдулись...

А я так ничего и не понял. И прежде всего я не понял, есть ли удерживающие силы, поддерживающие "бегущую нить" в заданном состоянии формы контура.

С одной стороны, например, nikvic писал: "Ничего никуда не побежит - форма будет сохраняться, какой бы причудливой её не имели в качестве "равновесной".", так что вроде как удерживающих сил не требуется.
С другой стороны, я не увидел опровержения рассуждения lucien: "Давайте медленно расширять контур назад, в первоначальное положение. Для этого требуется совершить работу (положительную! ведь для удержания контура внешних сил не требуется). В итоге, виток возвращается в исходное состояние, а мы дважды совершили положительную работу".

Единственное опровержение видится в том, что для увеличения площади контура необходимо приложить отрицательную силу, которая и поглотит выделяющуюся энергию, но это у меня в голове не укладывается.

Чтобы не беспокоить зря уважаемых людей своми сомнениями, может быть кто-нибудь даст ссылку на описание этого удивительного объекта: "бегущая нить"?