Счет и числа.

[Someone]

iifat в сообщении #723181 писал(а):

Таки, справедливости ради, проверка теоремы теории множеств на модели — занятие вполне почтенное.

Нет. С точки зрения теории никакой проверки на модели не требуется. А мешки с картошкой - это даже и не модель.

iifat в сообщении #723181 писал(а):

Если не путаю, непротиворечивость Римановой геометрии была доказана путём отображения на сферическую.

Нет. Это (относительная) непротиворечивость геометрии Лобачевского была установлена путём построения модели в евклидовой геометрии.

iifat в сообщении #723181 писал(а):

При непременном условии, разумеется, предельно аккуратного построения оной модели.

Вот именно. А где Вы здесь увидели "предельно аккуратное построение оной модели"?

jurij в сообщении #721409 писал(а):

То есть? Двух пустых мешков быть не может?

[master]

Someone в сообщении #723139 писал(а):

Получили противоречие с известной теоремой теории множеств, что пустое множество единственно.

если вы о доказательстве с аксиомой объемности, то от него попахивает (хотя кому как)

Someone в сообщении #723139 писал(а):

Мой протест против такого словоупотребления связан с тем, что jurij пытается на примере мешков с картошкой решать формальные проблемы теории множеств.

Не, он лезет в метатеорию даже не сознавая чем это ему грозит.

[Xaositect]

master в сообщении #723628 писал(а):

если вы о доказательстве с аксиомой объемности, то от него попахивает (хотя кому как)

А можете пояснить, какие сомнения это доказательство или сама аксиома экстенсиональности может вызвать?

[master]

$\forall b(b \notin a_1 \leftrightarrow b \notin a_2) \Leftrightarrow \forall b(b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2)$ вот это смущает


$\forall b(b \notin a_1 \leftrightarrow b \notin a_2) \Leftrightarrow \forall b(\neg b \in a_1 \leftrightarrow \neg b \in a_2)$ это не для пустого

$\forall b(b \notin a_1 \leftrightarrow b \notin a_2) \Leftrightarrow \nexists b (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2)$ для пустого

уф, когда кнопочки сделают?

[Xaositect]

Вообще-то это простейшая логика.
$(A\leftrightarrow B) \Leftrightarrow (\neg A\leftrightarrow \neg B)$

[master]

Xaositect в сообщении #723650 писал(а):

$(A\leftrightarrow B) \Leftrightarrow (\neg A\leftrightarrow \neg B)$

это справедливо когда выбор строго бинарный. Надо подумать.

[Xaositect]

deleted

[Lukin]

master в сообщении #723646 писал(а):

$\forall b(b \notin a_1 \leftrightarrow b \notin a_2) \Leftrightarrow \forall b(b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2)$ вот это смущает

master в сообщении #723628 писал(а):

если вы о доказательстве с аксиомой объемности, то от него попахивает (хотя кому как)

Я тоже его чувствую но сформулировать чем именно "попахивает" трудно, да и неблагодарное это дело.
Но все же, кто-то должен это сказать. Если коротко, применимость этой формулы зависит от $A,B$ или от $a_1,a_2$. Например, если они построены с аксиомой бесконечности или с аксиомой выбора или еще как-то, то в интуиционизме или конструктивизме или еще в каком-то направлении, эта формула к ним не применима. Т.е. она, как логический закон остается в силе, но имеет свои ограничения, когда речь идет о некоторых предикатах, как например, предикате Кантора об образовании множеств процедурой "неограниченной свертки". Вы скажите, это проблемы теории, а не самого закона. Возможно, но в конечном счете, чем лучше теории с этим законом по сравнению с теориями, в котором его нет или есть его отрицание ? Он определенно разграничивает теории, но определенно не по критерию противоречивости.
Допустим, $A,B$ перечислимые множества доказуемых утверждений двух эквивалентных теорий, а $\neg A$ и $\neg B$ - множества недоказуемых утверждений этих теорий, которые не перечислимы. Предположим, есть некое утверждение истинное в одной теории, но ложное в другой (из числа недоказуемых). Например, геделевские предложения с разными номерами. Тогда эквивалентность $\neg A \leftrightarrow \neg B$ ложна, т.к. одно утверждение истинно, а другое нет.
Может быть пример не удачный, но думаю, смысл который я хотел передать понятен. Наверняка, найдутся другие примеры, т.к. большинство операций не симметрично в каком-то общем трудно уловимом смысле, хотя бы тот же пример epros с необратимыми во времени уравнениями или дополнениями неизмеримых или перечислимых множеств и т.д.
Когда речь идет о дополнениях пустого множества, в столь сильных теориях, смысл их эквивалентности теряется. Отрицание - это какое-то слишком неопределенное отношение, даже в виде отрицания принадлежности, чтобы давать что-то определенное в теориях со столь неопределенными совокупностями, не имеющими моделей.
Мне, например, это доказательство представляется чем-то вроде неочевидной аксиомы, вроде тех, которые не нравятся интуиционистам или конструктивистам. Она какая-то неестественная, оставляющая осадок неудовлетворенности.

[Xaositect]

Lukin в сообщении #723979 писал(а):

Допустим, $A,B$ перечислимые множества доказуемых утверждений двух эквивалентных теорий, а $\neg A$ и $\neg B$ - множества недоказуемых утверждений этих теорий, которые не перечислимы. Предположим, есть некое утверждение истинное в одной теории, но ложное в другой (из числа недоказуемых). Например, геделевские предложения с разными номерами. Тогда эквивалентность $\neg A \leftrightarrow \neg B$ ложна, т.к. одно утверждение истинно, а другое нет.

Доказуемость и истинность - это понятия из разных плоскостей. Истинность определяется не в теории, а в интерпретации.

-- Вт май 14, 2013 23:20:27 --

Lukin в сообщении #723979 писал(а):

Мне, например, это доказательство представляется чем-то вроде неочевидной аксиомы, вроде тех, которые не нравятся интуиционистам или конструктивистам. Она какая-то неестественная, оставляющая осадок неудовлетворенности.

Вот мне и хочется понять, что именно. То есть критика аксиомы выбора понятна - она постулирует существование невычислимых, неконструируемых объектов. Критика исключенного третьего понятна - она позволяет доказывать дизъюнкцию без указания, какая именно часть истинна. Критика импредикативности понятна, потому что в некоторых случаях из нее вылезают парадоксы.
Ваши сомнения мне непонятны.

[Someone]

Xaositect в сообщении #723986 писал(а):

критика аксиомы выбора понятна - она постулирует существование невычислимых, неконструируемых объектов

Это, некоторым образом, не так. Аксиома выбора тут не виновата. Виновата конструкция $\exists a(\ldots)$. Она встречается не только в аксиоме выбора, но и в самых простых рассуждениях: "так как множество $A$ не пусто, существует элемент $a\in A$...". Неконструктивность этого утверждения в точности такая же, как неконструктивность аксиомы выбора.

К тому же, в конструктивном анализе некоторая версия аксиомы выбора верна. Естественно, там она совершенно конструктивна.

Lukin в сообщении #723979 писал(а):

Допустим, $A,B$ перечислимые множества доказуемых утверждений двух эквивалентных теорий, а $\neg A$ и $\neg B$ - множества недоказуемых утверждений этих теорий, которые не перечислимы. Предположим, есть некое утверждение истинное в одной теории, но ложное в другой (из числа недоказуемых). Например, геделевские предложения с разными номерами. Тогда эквивалентность $\neg A \leftrightarrow \neg B$ ложна, т.к. одно утверждение истинно, а другое нет.

Я не понял смысла этого утверждения. Мы не можем написать $\neg A \leftrightarrow \neg B$, если формулы $A$ и $B$ относятся к разным теориям. Если же это не формулы, то написанное Вами тоже бессмысленно. И что Вы понимаете под эквивалентностью теорий?

Кроме того, как заметил Xaositect, истинность относится не к теории самой по себе, а к её интерпретации. Мы можем взять одну теорию (например, арифметику Пеано), и две её модели, в одной из которых некоторое утверждение истинно, а в другой - ложно. Что, арифметика не эквивалентна сама себе?

Lukin в сообщении #723979 писал(а):

Например, если они построены с аксиомой бесконечности или с аксиомой выбора или еще как-то, то в интуиционизме или конструктивизме или еще в каком-то направлении, эта формула к ним не применима.

Ерунда какая-то. Вы хотите сказать, что каждую формулу конструктивистской теории должен сопровождать список объектов, к которым она применима или неприменима?
Кстати, интуиционизм - одно из течений конструктивизма.

[master]

Xaositect в сообщении #723650 писал(а):

$(A\leftrightarrow B) \Leftrightarrow (\neg A\leftrightarrow \neg B)$

кое что можно сказать правда не формально, эта фраза имеет смысл только если утверждения А и не А равносильны, тоесть и то и то может быть истинным, но если толко одно утверждение строго истинно тогда эта фраза не имеет смысла.
например
"Я могу пить, а могу не пить и ты можешь пить, а можешь не пить и т.д" но

"Я человек и ты человек"

[Lukin]

Xaositect в сообщении #723986 писал(а):

То есть критика аксиомы выбора понятна - она постулирует существование невычислимых, неконструируемых объектов. Критика исключенного третьего понятна - она позволяет доказывать дизъюнкцию без указания, какая именно часть истинна. Критика импредикативности понятна, потому что в некоторых случаях из нее вылезают парадоксы.
Ваши сомнения мне непонятны.

Я бы добавил критику снятия двойного отрицания.
Формально трудно, давайте так. Допустим $a_1$ - свойство "желтые", $a_2$ - "круглые".
Даны истинные утверждения: "все колобки не круглые" $\forall b (b \notin a_1)$ и "все колобки не желтые" $\forall b (b \notin a_2)$.
Из конъюнкции следует эквивалентность, отсюда истинность эквивалентности ложных утверждений: "все колобки круглые" $\leftrightarrow $ "все колобки желтые".
$\forall b (b\in a_1 \leftrightarrow b \in a_2)$.
Классический вывод: свойства "круглый " и "желтый" равны $a_1=a_2$.

Не нравится то, что не исключено существование "не колобка", для которого истинно "является круглым" и истинно "не является не желтым", но ложно "является желтым", т.е. снятие двойного отрицания не действует. В этом случае свойства "желтый" и "круглый" не равны.
Причиной является конструктивность свойства "желтый" и неконструктивность свойства "круглый".
Отрицание или дополнение зависит от объекта к которому применяется. Для счетных множеств оно конструктивно, а для не счетных нет. Если мы изначально не знаем, конструктивны ли дополнения $a_1,a_2$, мы не можем сделать вывод об их равенстве или не равенстве.

Someone в сообщении #724014 писал(а):

Мы не можем написать $\neg A \leftrightarrow \neg B$, если формулы $A$ и $B$ относятся к разным теориям.

Они относятся к одной теории, просто $\neg(\neg A)$ не определяет конструктивный объект, а $\neg (\neg B)$ определяет.

Someone в сообщении #724014 писал(а):

Кроме того, как заметил Xaositect, истинность относится не к теории самой по себе, а к её интерпретации.

У ZFC есть стандартная модель ?

Someone в сообщении #724014 писал(а):

Вы хотите сказать, что каждую формулу конструктивистской теории должен сопровождать список объектов, к которым она применима или неприменима?

Достаточно на стадии применения формулы проверять конструктивность объектов.

[jurij]

Someone в сообщении #723139 писал(а):

Someone в сообщении #722913 писал(а):Мешок картошки - не множество

Из Википедии.

— Георг Кантор, «К обоснованию учения о трансфинитных множествах»
(нем. «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre»)[1]

Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).


Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу:
«Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».


По-моему, мешок картошки, как некое целое, вполне соответствует как определению Георга Кантора, так и Бертрана Рассела.
Интересно следующее. Любое множество (по Кантору) как «…соединение в некое целое M определённых(выделено мной) хорошо различимых предметов…» можно считать пустым множеством. То есть, предметы, принадлежащие множеству - это определенные предметы. Например, картошка или яблоки. Но тогда множество «мешок с картошкой» является пустым как множество «мешок с яблоками», т.к. ни одного яблока в мешке с картошкой нет.

То, что множество может быть пустым и полным одновременно устраняет формулировка Бертрана Рассела. «Множество есть совокупность РАЗЛИЧНЫХ (выделено мной) элементов, мыслимая как единое целое». То есть, по Расселу не суть важно, чем наполнен мешок: картошкой, яблоками, углем либо их смесью. Важно, чтобы это были (различимые) элементы, а не бесструктурное нечто. То есть, негласно Рассел подразумевает, что элементы (любого) множества являются безымянными.

Еще один интересный, на мой (не математический) взгляд момент. Оба (Кантор и Рассел) определяют множество как «оболочку» для некой совокупности элементов."Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M..." Г. Кантор. Или «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое» Б. Рассел. Если в «оболочке» нет элементов то множество пусто. В мешке нет картошки, в бутылке водки, в пачке сигарет.


Но саму «оболочку», также можно считать элементом, который принадлежит множеству, которое содержит только его – этот элемент. В результате получается, что пустых множеств вообще нет. Впрочем, этот вывод может быть ничтожным, например, потому, что Георг Кантор и Бертран Рассел и, соответственно их определения, никакого отношения к математике не имеют.

[Someone]

jurij в сообщении #725898 писал(а):

— Георг Кантор, «К обоснованию учения о трансфинитных множествах»
(нем. «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre»)[1]

Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).


Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу:
«Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».

Совокупность - не мешок и даже не всегда множество.

jurij в сообщении #725898 писал(а):

Но саму «оболочку», также можно считать элементом

"Оболочка" - не элемент. И вообще нет никакой "оболочки". Я уже говорил: множество - это свойство. Хотя не всякое свойство - множество.

jurij в сообщении #725898 писал(а):

Впрочем, этот вывод может быть ничтожным, например, потому, что Георг Кантор и Бертран Рассел и, соответственно их определения, никакого отношения к математике не имеют.

Георг Кантор и Бертран Рассел к математике отношение имеют. В отличие от глупостей, которые придумываете Вы.

[master]

Someone в сообщении #725909 писал(а):

множество - это свойство. Хотя не всякое свойство - множество.

Вы не могли бы, подробнее описать сей момент.