Счет и числа.

[arseniiv]

master в сообщении #726201 писал(а):

Someone в сообщении #725909 писал(а):

множество - это свойство. Хотя не всякое свойство - множество.

Вы не могли бы, подробнее описать сей момент.

Каждому множеству $A$ сопоставляется единственное свойство $a(x)$, эквивалентное $x\in A$. Это так из-за того что от множеств требуется определяться только своим содержимым и больше ничем; обычно это формулируется как аксиома объёмности. Так как теория множеств может строиться без каких-нибудь предзаданных множеств (в ZFC, NBG и многих других нет предметных констант, это потом мы можем туда навводить $\varnothing$, $\mathbb N$ и всякие конструкции из фигурных скобочек), нет таких множеств $A$, для которых $x\in A$ не было бы эквивалентно какой-нибудь формуле, не включающей никаких констант, с одной свободной переменной $x$ — такая формула как раз определяет свойство. Например, $x\in\varnothing$ эквивалентно тождественно ложному высказыванию.

Множество принадлежит хотя бы одному множеству. Есть и свойства, которые не таковы — например, свойству «быть множеством» множества не соответствует.

P. S. Запятая-то лишняя.

-- Пн май 20, 2013 21:00:06 --

(Оффтоп)

Вы, master, конечно, можете сказать, а кому эта аксиома объёмности (из-за которой каждому множеству инъективно соответствует одно свойство) нужна? Без неё теория будет более сложной — раз множество определяется ещё чем-то, надо ввести ещё как минимум один предикат или функцию и возиться и с определением их (все те аксиомы теории множеств — они ведь всё о $\in$ (ну, и ещё объёмность связывает его с $=$)). Нам повезло: свойства объектов, определяющихся чем-то кроме своих «элементов», можно выразить через множества — в большинстве случаев даже просто хватает засунуть нужные компоненты в упорядоченную пару, тройку или какой другой кортеж, которые сконструировать из множеств возможно.

[master]

arseniiv в сообщении #726295 писал(а):

Каждому множеству $A$ сопоставляется единственное свойство $a(x)$, эквивалентное $x\in A$.

это понятно

arseniiv в сообщении #726295 писал(а):

Есть и свойства, которые не таковы — например, свойству «быть множеством» множества не соответствует.

почему же? множество объектов состоящих из атомов, каждый объект есть множество или тогда речь пойдет о подмножествах, и вы скажете что быть подмножеством это свойство.

хорошо я напишу как я определяю множество
$\exists a(Q) \ i \ \exists b(Q) \rightarrow \exists A, a \in A \ i \ b \in A$
$\exists \exists a(Q) \rightarrow \exists A, \forall a, a_j\in A
правда речь идет о реальных объектах или о первичных абстрактных, где Q набор свойств объекта или или подпоток информации получаемый от объекта...

[master]

master в сообщении #726504 писал(а):

$\exists \exists a(Q) \rightarrow \exists A, \forall a, a_j\in A$

исправляю на $\exists \exists a(Q) \rightarrow \exists A, \forall a, a\in A$

[iifat]

Кую-нить ссылочку на нотацию можно? Что есть $i$? И что такое $\exists\exists$?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Всё оказалось ещё хуже, чем я думал.

[master]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #726576 писал(а):

Всё оказалось ещё хуже, чем я думал.

вы еще весь ужас не видели? хотя нет, видели, правда очень давно.

iifat в сообщении #726573 писал(а):

Кую-нить ссылочку на нотацию можно? Что есть $i$? И что такое $\exists\exists$?

союз "и"(почему так долго объяснять), "существуют"(для порядка),


Я вам ни чего не навязываю, я показываю что можно рассматривать все с другой стороны, отсюда вы можете вывести любую абстрактную теорию множеств(а может и не можете, а может и не надо).

[iifat]

arseniiv в сообщении #726576 писал(а):

(Оффтоп)

Всё оказалось ещё хуже, чем я думал.

(Оффтоп)

А то ж! Жизнь — она куда как богаче нашего воображения

master в сообщении #726585 писал(а):

союз "и"(почему так долго объяснять), "существуют"(для порядка)

Не перестаю удивляться: ну какие ж, и правда, косные ретрограды учили нас математике! Заботливо определяли каждый символ, и только потом этими символами чего-нить писали. А делов-то — "долго объяснять".

master в сообщении #726585 писал(а):

Я вам ни чего не навязываю

Нам достаточно сказать "спасибо", или необходимо тройное "ку" с приседанием?

master в сообщении #726585 писал(а):

отсюда вы можете вывести любую абстрактную теорию множеств(а может и не можете, а может и не надо)

... А ещё единую теорию поля, всеобщего счастья, путешествий во времени и пространстве... А может, не надо?

[Xaositect]

master в сообщении #726585 писал(а):

союз "и"(почему так долго объяснять), "существуют"(для порядка),

Напишите лучше словами, потому что пока ничего не понятно. $A$ - это, я так понимаю, множество. А что такое $a$ и $Q$?

[Lukin]

Цитата:

…например, свойству «быть множеством» множества не соответствует.

Смысл сказанного понятен: свойство "быть множеством" определяет класс множеств, который не может быть множеством, из-за противоречивости понятия множества всех множеств.
Но выглядит все - равно смешно (вдумайтесь): множества не соответствует свойству «быть множеством».

Понятно, что аксиома объемности ограничивает допустимые свойства и отношения между ними.
Но есть и противоположные аксиомы, специально утверждающие существование некоторых свойств. Их использование порождает специфические свойства (множества), ни один элемент которых предъявить невозможно. Эти свойства (множества) мягко говоря, напоминают неравные пустые множества. В обоих случаях элементы недоступны, просто в одном случае утверждается их существование, а в другом их не существование. Разница - синтаксическая.
Практически же это будет выглядеть, как две изоморфные модели описания одной и той же структуры. С точки зрения одной теории объекты будут непустыми неравными множествами, ни один элемент которых предъявить невозможно, с точки зрения другой теории объекты будут неравными пустыми множествами, каждое из которых по-своему пусто (по своему не содержит такие-то элементы, которые, естественно, так же предъявить невозможно).
В общем, "драконология".

[arseniiv]

Lukin в сообщении #726766 писал(а):

Но есть и противоположные аксиомы, специально утверждающие существование некоторых свойств. Их использование порождает специфические свойства (множества), ни один элемент которых предъявить невозможно.

Ну да. Например, аксиома выбора. Только непонятно, чем такие аксиомы «противоположны» аксиоме объёмности. Поясните, пожалуйста, что вы имели в виду.

Lukin в сообщении #726766 писал(а):

С точки зрения одной теории объекты будут непустыми неравными множествами, ни один элемент которых предъявить невозможно, с точки зрения другой теории объекты будут неравными пустыми множествами, каждое из которых по-своему пусто (по своему не содержит такие-то элементы, которые, естественно, так же предъявить невозможно).

Вы как-то перепрыгнули от одной теории к двум. Как появилась вторая?

Lukin в сообщении #726766 писал(а):

В общем, "драконология".

Действительно. Написали смутно связанное с цитируемым и с самим собой сообщение.

[Lukin]

arseniiv в сообщении #726854 писал(а):

Только непонятно, чем такие аксиомы «противоположны» аксиоме объёмности. Поясните, пожалуйста, что вы имели в виду.

"…аксиома объемности ограничивает допустимые свойства и отношения между ними. Но есть и противоположные аксиомы, специально утверждающие существование некоторых свойств."

arseniiv в сообщении #726854 писал(а):

Вы как-то перепрыгнули от одной теории к двум. Как появилась вторая ?

По аналогии Это мое субъективное мнение о множествах с недоступными элементами. Такие множества идентифицируются исключительно свойствами, выраженными формулами теории, в терминах ТС "оболочками" и не могут быть заданы перечислением хотя бы некоторых своих элементов. Этим же свойством обладают и пустые множества, "оболочка" в виде формулы есть, а содержания – нет. Для вторых не хватает только синтаксиса, который позволил бы их различать и использовать для конструирования новых множеств, с тем же свойством "пустоты", аналогично тому, как это имеет место в ZFC. Нужна только небольшая модификация аксиом. Можно подстроить вторую теорию так, чтобы она оказалось изоморфной ZFC на любой модели объектов.
Заметьте, части любых математических теорий, описывающих конечные (даже конструктивные) объекты изоморфны (истинность утверждений на моделях). Когда же речь идет о таких вот "пустых" объектах, можно придумать сколько угодно их различных неизоморфных конструкций и способов построения, взаимосвязи и т.д. Способы, которыми это делает ZFC ничем не примечательны, их можно эмулировать в другой теории, например, синтаксически различая неравные пустые множества. Только зачем ? Это драконология, предметом которой являются не существующие объекты - элементы совокупностей, задаваемых исключительно синтаксически, которые невозможно предъявить.
Я бы вообще выделил теории (части теорий), описывающие такие объекты в отдельное направление (драконологию), т.к. не могу отдать предпочтение какому-то одному способу работы с такими объектами. Претензии ZFC, как "руководящей и направляющей" в этой области мне непонятны.

[master]

рассмотрим процесс познания с самого начала (зачем? затем что человек это человек и это то что в него положилось и т.д.) Или проще говоря посмотрим на мир как в первый раз, ну и со стороны тоже.
Пусть из внешнего мира поступает поток информации $P$. Пусть из всего потока мы можем выделить некоторый подпоток $Q$ (как выделяется подпоток я описывать не буду, так как боюсь не смогу описать это достаточно полно).Выделенному подпотоку мы ставим в соответствие некоторый материальный объект, и называем этот подпоток набором свойств объекта.
$Q_a \ ins \ P \ \rightarrow \exists a(Q) , $Q_a$ - выделенный подпоток, $a(Q)$ - объект с набором свойств.
В конце концов мы смогли выделить еще один подпоток $Q_b \neq Q_a$
тоесть у нас есть несколько объектов, и у них есть общее "неявное" свойство, и то и то характеризуется набором свойств, тогда это множество объектов$\exists a(Q) \ i \ \exists b(Q)\rightarrow \exists A, a \in A \ i \ b \in A$, или раз существует не один объект тогда существует их множество.
а дальше по индукции $\exists \exists a(Q) \rightarrow \exists A, \forall a, a\in A$

[jurij]

У меня (на мой «не математический» взгляд) создалось впечатление, что в теории множеств и конь не валялся, поскольку даже основные определения (Георга Кантора и Бертрана Рассела) оказывается носят декларативный характер.


Попытка дать определение пустого множества, это попытка выхолостить само понятие множества, определить множество вне его элементов. А это чревато логическими проблемами.

Множество, это его элементы. А способы определения их принадлежности тому или иному множеству, лишь способы их (этих элементов) организации. Вне элементов они (эти способы) теряют смысл.


Исключение, когда организатор элементов материален, например, мешок. Но старшие товарищи мне объяснили, что мешок, ни под каким предлогом к понятию множество не относится. Разве, что как элемент множества упаковочных элементов.

Эквивалентное (определению пустого множества) в физике определение (в совокупности своих свойств) пустого пространства. Например, множество народа много и охотно рассуждает о многомерных пространствах. Если это математические пространства, т.е. пространства существования математических функций, то никаких проблем с их многомерностью не возникает. Если же это реальное пространство ( его математическая модель), то, не определив процедуры измерения этой самой мерности реальном пространстве (и, соответственно, ее математического аналога), не смысла говорить о мерности пространства вообще.

[epros]

jurij, из Вашего последнего текста вроде как следует, что есть какие-то проблемы (а может и нет — из этой философии не фига не понять). Так скажите внятно, в чем они.

[Someone]

jurij в сообщении #728548 писал(а):

Попытка дать определение пустого множества, это попытка выхолостить само понятие множества, определить множество вне его элементов. А это чревато логическими проблемами.

Как раз наоборот: запрет пустого множества создаст кучу всяких проблем. То, что Вы не понимаете математического определения - это Ваша личная проблема, и это не означает, что нужно его запретить и создать кучу проблем тем, кто это определение понимает.

jurij в сообщении #728548 писал(а):

Эквивалентное (определению пустого множества) в физике определение (в совокупности своих свойств) пустого пространства.

Это чушь. "Пустое пространство" в физике никакого отношения к пустому множеству не имеет. За исключением употребления слова "пустое".
Вообще в математике нет физических объектов, поскольку математика изучает не физические объекты, а логические конструкции. А в физическом мире нет математических объектов, поскольку логические конструкции, изучаемые математикой, физическими объектами не являются.

master в сообщении #726976 писал(а):

У меня (на мой «не математический» взгляд) создалось впечатление, что в теории множеств и конь не валялся, поскольку даже основные определения (Георга Кантора и Бертрана Рассела) оказывается носят декларативный характер.

Что бы это значило?