Счет и числа.

[jurij]

Я не профессиональный математик. Поэтому прошу обсудить следующий способ введения понятия чисел и их свойств.

Счет и числа.

Отображение материальных множеств в форме материальных имен (палочек, камушков и т.п.) было слишком громоздким. Поэтому эти предметы стали заменять символами - точками, черточками и т.п. Однако для больших множеств и такое отображение было слишком громоздким. Для решения этой проблемы в метрологических измерениях стали использовать счетные ряды.

Счетный ряд, это бесконечный ряд имен, каждое из которых является именем суммы всех предыдущих членов ряда.

Соответственно, процедура измерения метрологического множества с использованием счетного ряда называется счетом.

Счет – процедура последовательного присвоения имен счетного ряда элементам измеряемого множества.


Например, чтобы пересчитать яблоки в корзине мы, внимая их из корзины, последовательно присваиваем им имена счетного ряда: один, два, три, четыре… В результате имя последнего яблока, например восемь, будет непосредственно указывать на количество яблок, которое было в корзине.

Таким образом, собственно числа, как имена счетного ряда, применительно к арифметике никакими свойствами не обладают. Предметом исследования этой науки являются свойства числовых множеств, меры которых символически отображаются числами.
Числовым множеством будем называть множество счетных элементов поименованных с помощью процедуры счета. Соответственно, счетный элемент это элемент, символически отображающий факт наличия элемента материального.

Например, при подсчете яблок фактически мы подсчитываем не собственно яблоки, а операции по их извлечению из корзины. То есть мы отображаем этой операцией наличие каждого яблока счетным элементом, с последующим их (этих элементов) подсчетом. Замену яблок счетными элементами можно произвести иначе: коснуться пальцем каждого яблока и подсчитать число касаний. Таким образом, чтобы получить метрологическую меру материального множества его необходимо отобразить в форме множества счетных элементов и применить к этому множеству процедуру счета. Тогда результат этой процедуры – число, будет метрологической мерой этого множества.


Сейчас наиболее распространенным способом генерации имен счетного ряда является позиционная система счисления. Она позволяет, используя позиционный порядок размещения конечного набора исходных имен счетного ряда, компактно отображать большие метрологические множества. Особенность такой системы счисления заключается в том, что кроме исходных имен она нуждается в особом имени, которое должно отображать отсутствие исходного имени в какой либо позиции. Например, в десятичной системе счисления исходными именами является: один, два, три, …девять. А отсутствие, в какой либо позиции одного из этих имен обозначается именем «ноль».


Например, число 1000. Первый справа ноль указывает, что множество содержит такое число счетных элементов, которое не может быть отображено каким либо исходным именем (1, 2, 3…9). То есть в нем больше чем 9 счетных элементов. Следующий слева ноль указывает, что их число больше, чем 9 десятков. Следующий ноль, указывает, что их число более чем 9 сотен. Последняя позиция «1» указывает, что число отображает множество, содержащее одну тысячу счетных элементов.

Свойства нуля, как числа можно показать так. Пусть мы подсчитываем яблоки в корзине. Для этого мы выкладываем их на стол. Пусть вначале мы ничего не вынули из корзины. Это «ничто» обозначим именем «ноль». Этот же смысл «ноль» имеет применительно к тому, что перед началом счета на столе нет яблок. Далее, выкладывая яблоки, мы присваиваем им имена: один, два, три…Очередной раз мы можем сунуть руку в корзину и вынуть ее, ничего не взяв. Это «ничего» снова назовем «ноль». И, наконец, мы вынули восьмое яблоко. Но поскольку мы не знаем количества яблок в корзине, снова опускаем руку в нее. А так как яблок в корзине не осталось, то вынем пустую руку, т.е. «ничего» - «ноль». Формально совокупность этих действий можно описать так: 0, 1, 2, 3, 0, 4, 5, 6, 7, 8, 0. Очевидно, сколько бы «пустых» попыток вначале, в средине или в конце счета мы не сделали, результат счета, т.е. имя последнего яблока не изменится. Отсюда следует основное свойство ноля:

$$A + 0 = A - 0 = A$$

.

То есть, ноль можно как прибавить к множеству, так и отнять Множество от этого не изменится. Однако совершенно очевидно, что если от материального множества можно отнять «ничто» (ноль), то обратное невозможно. Невозможно потому, что это противоречит закону сохранения материи. Тем не менее, есть реальные ситуации, которые формально описываются соотношением:

$$0 - A = B.\eqno (1)$$

Здесь A и B – некие материальные множества.

Например, из опытов по электризации, известно, что если от электрически нейтрального тела отнять электрический заряд одного знака, то тело приобретет заряд другого знака. А если отобранный заряд вернуть телу, то оно вновь станет электрически нейтральным. Из современных представлений следует, что электрически нейтральное тело состоит из атомов и молекул. Их электрическая структура имеет вид: $0 = [(-q)+(+q)]$, где $-q$ и $+q$ это частички, имеющие электрические заряды двух различных типов. То есть, чтобы (1) не противоречило закону сохранения материи, нолем следует считать некое составное множество:

$$0 = [A + B].\eqno (2)$$

От такого ноля уже можно вычесть как множество A, так и множество B:

$$0 - A = [A + B] - A = B; 0 - B = [A + B] - B = A.$$

Таким образом, применительно к материальным множествам «ноль», можно толковать двояко.
1. Ноль, это отображение отсутствия материального множества.
2. Ноль, это составное множество, состоящее из двух видов элементов, обладающих взаимно компенсирующими свойствами. Тогда «ноль» отображает отсутствие преимущества, какого либо, из этих свойств, применительно к составному множеству в целом.
Например, атом это электрический ноль – составное множество электрически компенсированных положительно и отрицательно заряженных частиц. Отнимая, либо прибавляя к такому нолю отрицательные заряды, из атома можно получить как положительно, так и отрицательно заряженные ионы.
Вода, это составное множество двух взаимно компенсированных кислых $H+$ и щелочных $OH-$ ионов. То есть вода – это кислотно-щелочной ноль. Смещая баланс $H+/OH-$ , можно придать воде как кислотные, так и щелочные свойства.


Для количественного отображения двух типов взаимно компенсирующих свойств необходимо, очевидно, два типа чисел. Ввести их можно так. Обозначим в (2) меру свойства единичного элемента множества «A» единицей $(+1)$. А меру свойства единичного элемента множества «B» особой единицей $(-1)$. Поскольку $A + B = 0$, то, соответственно, $1 + (-1) = 0$. Такое обозначение удобно тем, что в нем знак $(-)$ имеет двоякий смысл. Он может обозначать особый (отрицательный) статус единицы:

$$(+1) + (-1) = 0.$$

Либо отображать результат действия - вычитания положительной единицы самой из себя.

$$1 - 1 = 0.$$

От целых положительных и отрицательных чисел нетрудно перейти к дробным.

Таким образом, числа могут быть определены как метрологические отображения материальных множеств, а операции над ними (числами), как свойства этих множеств.


Как было показано выше, положительные и отрицательные числа, это способ количественного отображения бинарных взаимно компенсирующих свойств материальных тел. Однако у материальных тел есть свойства, компенсация которых достигается путем сложения более чем двух свойств. Например, белый свет можно рассматривать как результат сложения (компенсации) семи цветов. Или, как минимум, трех, как это используется в телекоммуникациях. Там для передачи цветного изображения используется красный (R), зеленый (G) и голубой (B) цвета. Отсюда, можно ввести три взаимно компенсирующих единицы:

$$1R + 1G + 1B = 0.$$

Из опыта известно, что эти единицы необходимо дополнить амплитудами - мерами интенсивности (цвета). А так, как отрицательной освещенности не бывает, то для этого достаточно только положительных чисел и ноля. Кроме того, в опыте наблюдается явление (интерференции) когда: $1R +1R = 0$ (ноль амплитуды). Чтобы описать это свойство амплитуд им необходимо дополнительное измерение – фаза. В результате возникает множество трехмерных (цвет, фаза, амплитуда) чисел, которое будет иметь три ноля. Опираясь на опыт, для этих «цветных» чисел можно указать поле операций над ними. То есть, создать систему цветного счисления, которая будет включать в себя существующую (бинарную), в качестве частного случая.

АКМ:

Исправил запись выделенных формул. Образец: $$ x+y=0 \eqno(1) $$
Центрируются они автоматически.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Наберите формулы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
вернул

jurij в сообщении #706502 писал(а):

баланс $H+/OH-$

Можно так писать: $H^{+}/OH^{-}$

[arseniiv]

jurij, то, что вы написали — это смесь вещей, которые смешивать не стоит. Вы всё покидали в одну кучу и получили бессмысленную кашу. Всё, что вы упоминали, уже было сказано в более понятной и краткой форме, без ненужного спутывания в один клубок, и давно.

Что вы хотели сказать и для чего — стоило написать ответы на эти вопросы в самом начале этого многословия.

[bot]

(Оффтоп)

jurij в сообщении #706502 писал(а):

Я не профессиональный математик. Поэтому прошу обсудить следующий способ введения понятия чисел и их свойств.

Я не профессиональный конструктор. Поэтому прошу обсудить следующий способ конструирования автомобиля.

Передвижение и автомобиль.

Передвижение без транспортных средств было долгим и утомительным. Для решения этих проблем сначала пытались использовать животных, рабов, ...

[Stan Slapenarski]

Я профессиональный математик. Для меня текст jurijа понятен, довольно строен, и, даже, местами (в конце) любопытен. И я пишу ему развернутый ответ.

[jurij]

Deggial в сообщении #706549 писал(а):

Можно так писать:

Я не нашел на панели инструментов кнопок по управлению верхний и нижний индексы.

bot в сообщении #706625 писал(а):

Я не профессиональный конструктор. Поэтому прошу обсудить следующий способ конструирования автомобиля.

Найдите время и проявите терпенье - пройдите по цепочке рассуждений возникновения автомобиля. Поверьте, Вы при этом обнаружите массу любопытных фактов которые сейчас воспринимаются как данность возникшая ниоткуда.

arseniiv в сообщении #706615 писал(а):

Всё, что вы упоминали, уже было сказано в более понятной и краткой форме, без ненужного спутывания в один клубок, и давно.

Немного не так. Я хотел выяснить, откуда взялись числа, из каких практических нужд. Эту часть рассуждений я в материале опустил. У меня создалось впечатление, что математики свято верят, что числа даны человеку Богом (в форме соответствующих аксиом).

Stan Slapenarski в сообщении #706856 писал(а):

И я пишу ему развернутый ответ.

Жду с нетерпением.

[Stan Slapenarski]

Цитата:

У меня создалось впечатление, что математики свято верят, что числа даны человеку Богом (в форме соответствующих аксиом).

Несмотря на то, что известный немецкий математик Леопольд Кронекер и заявил, что «Бог создал натуральные числа, всё остальное – дело рук человеческих», лично у меня сложилось впечатление, что большинство математиков это либо платонисты (зачастую, несознательные), считающие, что они распознают, усматривают в количестве идею (вроде платоновской), либо же формалисты, оперирующие числами как символами, по определенным правилам.

Цитата:

Жду с нетерпением.

Мой ответ немного затягивается. Пока я гуглил эту цитату Кронекера, я нашел пару ссылок о возникновении чисел, которые я хочу сначала прочитать.

[jurij]

Stan Slapenarski в сообщении #706884 писал(а):

Мой ответ немного затягивается.

Помните в известном фильме (Кавказская пленница) ответ начальника района врачу психиатру:
" Э.., а вот тут торопиться не надо!"
И еще. Ваш "больной" не математик. Учитывайте это в своем ответе.

[arseniiv]

jurij в сообщении #706871 писал(а):

Я хотел выяснить, откуда взялись числа, из каких практических нужд. Эту часть рассуждений я в материале опустил.

Вы думаете, если выдумать что-то, оно заменит собой историю? На этот вопрос ответ даст только изучение истории. Ещё, «откуда взялись» и «как используются сейчас» — это почти всегда малосвязанные вещи, из каждой вторая не выводится. Выводятся они друг из друга только у чего-то недавно появившегося.

jurij в сообщении #706871 писал(а):

У меня создалось впечатление, что математики свято верят, что числа даны человеку Богом (в форме соответствующих аксиом).

Как вы себе представляете такую передачу аксиом?

[nikvic]

jurij в сообщении #706502 писал(а):

Счетный ряд, это бесконечный ряд имен, каждое из которых является именем суммы всех предыдущих членов ряда.

Член ряда - имя. Что такое сумма имён?...

При самом снисходительном отношении к этому определению возникает ощущение, что сие не определение, а заклинание.
Не говоря о мелочах типа 5=1+2+3+4...

[hurtsy]

arseniiv в сообщении #706963 писал(а):

Ещё, «откуда взялись» и «как используются сейчас» — это почти всегда малосвязанные вещи, из каждой вторая не выводится. Выводятся они друг из друга только у чего-то недавно появившегося.

ЗУ разумеется правы .
Может ТС поможет О.Нейгебауер "Точные науки в древности" Москва , Наука,1968, 224 стр. с илл. Хорошо бы, кому нибудь из ЗУ высказаться по поводу квантовых компьютеров, это не так археологично. С уважением.

[Stan Slapenarski]

arseniiv писал(а):

jurij писал(а):

У меня создалось впечатление, что математики свято верят, что числа даны человеку Богом (в форме соответствующих аксиом).

Как вы себе представляете такую передачу аксиом?

-- 07.04.2013, 14:26 --

Комментарии к тексту jurijа. Начало.

Вот здесь утверждается, что «первоначальные представления о числе человек имел ещё в самом древнем периоде каменного века – палеолите». Что же качается возникновения арифметических операций, то наш школьный учитель рассказывал, что они были порождены бытом первобытных людей, и при этом главными операциями были «отнять» и «поделить», а сложение и умножение понимались как действия, обратные к вычитанию и делению, соответственно.

И, если уж и не исторически, то, во всяком случае, педагогически (т.е. по школьному определению чисел счета предметов) натуральные числа задаются как счетные имена.

Цитата:

Счетный ряд, это бесконечный ряд имен, каждое из которых является именем суммы всех предыдущих членов ряда.

Счет состоит не в суммировании подсчитанного ранее, а в повторении, итерации основной счетной операции $s$, в переходе к очередному числу – счетному имени. При этом необязательно введение арифметических операций над числами, даже сложения. Однако, если бы сложение было задано, то операция $s$ заключалась бы в прибавлении единицы к очередному числу. Т.е. $s(n)=n+1$ для натурального числа $n$.

А вот если бы суммировались предыдущие члены, то последовательность натуральных чисел могла бы выглядеть примерно так: $1, 1, 2, 4, 8, 16, 32,\dots ...$

Терминология.

Хотя, иногда, и можно услышать выражение «натуральный ряд», но в профессиональной математической терминологии в таких случаях обычно принято говорить о последовательности, поскольку название последовательности элементов $\{a_1, a_2, a_3 \dots\}$ рядом, как правило, предполагает рассмотрение и последовательности $\{a_1, a_1+ a_2, a_1+ a_2+a_3, \dots\}$ ее частичных сумм.

Метрологическую меру, получаемую счетом, принято называть количеством.

Да и само слово мера в математике тоже зарезервировано, как имеющее довольно определенный смысл; но я предполагаю, что в обсуждении в этой темы эти меры не возникнут.

[Stan Slapenarski]

Уточнил по поводу термина «ряд». Оказывается, в термине «натуральный ряд» привязка к последовательности частичных сумм не обязательна, вместо этого есть привязка к операции $s$. Так что пусть будет «натуральный ряд».

[Stan Slapenarski]

Комментарии к тексту jurijа. Продолжение.

Цитата:

Таким образом, собственно числа, как имена счетного ряда, применительно к арифметике никакими свойствами не обладают.

Да, арифметические операции (например, сложение или умножение) уже надстраиваются над натуральным рядом, т.е. задаются как операции над числами. При этом они задаются согласовано с основной счетной операцией $s$ (прибавлением единицы). Эта операция важна, ибо она позволяет строить и охватывать всю последовательность натуральных чисел и проводить доказательства по математической индукции. Эллиотт Мендельсон во «Введении в математическую логику» описывает аксиоматическую формализацию всех этих конструкций:
http://file3.webfile.ru/6466497/mend115 ... end115.gif
http://file3.webfile.ru/6466498/mend116 ... end116.gif
(читатель может опустить непонятные ему вещи из этой выдержки).

Кстати, свойства арифметических операций, например, коммутативность сложения может иллюстрироваться пересчетом различными способами количества элементов материального множества.

Цитата:

Соответственно, счетный элемент это элемент, символически отображающий факт наличия элемента материального.

Например, при подсчете яблок фактически мы подсчитываем не собственно яблоки, а операции по их извлечению из корзины. То есть мы отображаем этой операцией наличие каждого яблока счетным элементом, с последующим их (этих элементов) подсчетом. Замену яблок счетными элементами можно произвести иначе: коснуться пальцем каждого яблока и подсчитать число касаний. Таким образом, чтобы получить метрологическую меру материального множества его необходимо отобразить в форме множества счетных элементов и применить к этому множеству процедуру счета. Тогда результат этой процедуры – число, будет метрологической мерой этого множества.

Хотя начальные натуральные числа, видимо, и были введены в процедуре счета материальных элементов, как счетные элементы, имена, но, все же, отождествлять натуральные числа «вообще» с референтами материальных элементов (тем более, непосредственными) я бы не рискнул, хотя бы потому, что натуральных чисел бесконечное количество, а о количестве материальных элементов столь общепринятого мнения нет. Я склонен считать, что при дальнейшем развитии математики вообще и понятия натурального числа, в частности, происходит переход от операций, основанных на непосредственной референции математических понятий к формальным операциям над символьными выражениями. Например, те же натуральные числа теперь часто рассматриваются как символьные выражения (например, в десятичной записи), а то и просто как переменные: «Пусть число танков равно $k$. Нет, $k$ мало, возьмем $m$».

Цитата:

Свойства нуля, как числа можно показать так. Пусть мы подсчитываем яблоки в корзине. Для этого мы выкладываем их на стол. Пусть вначале мы ничего не вынули из корзины. Это «ничто» обозначим именем «ноль». Этот же смысл «ноль» имеет применительно к тому, что перед началом счета на столе нет яблок. Далее, выкладывая яблоки, мы присваиваем им имена: один, два, три…Очередной раз мы можем сунуть руку в корзину и вынуть ее, ничего не взяв. Это «ничего» снова назовем «ноль». И, наконец, мы вынули восьмое яблоко. Но поскольку мы не знаем количества яблок в корзине, снова опускаем руку в нее. А так как яблок в корзине не осталось, то вынем пустую руку, т.е. «ничего» - «ноль». Формально совокупность этих действий можно описать так: 0, 1, 2, 3, 0, 4, 5, 6, 7, 8, 0. Очевидно, сколько бы «пустых» попыток вначале, в средине или в конце счета мы не сделали, результат счета, т.е. имя последнего яблока не изменится. Отсюда следует основное свойство ноля.

Здесь есть одна тонкость накладывающая ограничения на подобные манипуляции. Пересчет (т.е., в данном случае, подсчет количества всех) элементов материального множества это не просто их последовательное обнаружение, а упорядоченное исчерпание – иначе нет гарантии, что, в результате примененных операций мы пересчитали элементы множества, узнали их количество, ради чего, собственно, и затевается этот пересчет. Т.е., если мыслить совсем уж строго, то в предлагаемом Вами основном свойствам нуля сомнительно рассматривать нуль как число счета. Для счета есть традиционная процедура переходов к очередному числу – счетному имени. И в ней после такого перехода нуль возникнуть не может.