2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.
 
 Re: Счет и числа.
Сообщение13.05.2013, 13:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
iifat в сообщении #723181 писал(а):
Таки, справедливости ради, проверка теоремы теории множеств на модели — занятие вполне почтенное.
Нет. С точки зрения теории никакой проверки на модели не требуется. А мешки с картошкой - это даже и не модель.

iifat в сообщении #723181 писал(а):
Если не путаю, непротиворечивость Римановой геометрии была доказана путём отображения на сферическую.
Нет. Это (относительная) непротиворечивость геометрии Лобачевского была установлена путём построения модели в евклидовой геометрии.

iifat в сообщении #723181 писал(а):
При непременном условии, разумеется, предельно аккуратного построения оной модели.
Вот именно. А где Вы здесь увидели "предельно аккуратное построение оной модели"?
jurij в сообщении #721409 писал(а):
То есть? Двух пустых мешков быть не может?

 Профиль  
                  
 
 Re: Счет и числа.
Сообщение14.05.2013, 11:44 
Заблокирован


12/08/09

1284
Самодуровка
Someone в сообщении #723139 писал(а):
Получили противоречие с известной теоремой теории множеств, что пустое множество единственно.

если вы о доказательстве с аксиомой объемности, то от него попахивает (хотя кому как)
Someone в сообщении #723139 писал(а):
Мой протест против такого словоупотребления связан с тем, что jurij пытается на примере мешков с картошкой решать формальные проблемы теории множеств.

Не, он лезет в метатеорию даже не сознавая чем это ему грозит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счет и числа.
Сообщение14.05.2013, 11:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
master в сообщении #723628 писал(а):
если вы о доказательстве с аксиомой объемности, то от него попахивает (хотя кому как)
А можете пояснить, какие сомнения это доказательство или сама аксиома экстенсиональности может вызвать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Счет и числа.
Сообщение14.05.2013, 12:23 
Заблокирован


12/08/09

1284
Самодуровка
$\forall b(b \notin a_1 \leftrightarrow b \notin a_2) \Leftrightarrow \forall b(b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2)$ вот это смущает


$\forall b(b \notin a_1 \leftrightarrow b \notin a_2) \Leftrightarrow \forall b(\neg b \in a_1 \leftrightarrow \neg b \in a_2)$ это не для пустого

$\forall b(b \notin a_1 \leftrightarrow b \notin a_2) \Leftrightarrow \nexists b (b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2)$ для пустого

уф, когда кнопочки сделают?

 Профиль  
                  
 
 Re: Счет и числа.
Сообщение14.05.2013, 12:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Вообще-то это простейшая логика.
$(A\leftrightarrow B) \Leftrightarrow (\neg A\leftrightarrow \neg B)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Счет и числа.
Сообщение14.05.2013, 12:49 
Заблокирован


12/08/09

1284
Самодуровка
Xaositect в сообщении #723650 писал(а):
$(A\leftrightarrow B) \Leftrightarrow (\neg A\leftrightarrow \neg B)$

это справедливо когда выбор строго бинарный. Надо подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счет и числа.
Сообщение14.05.2013, 13:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
deleted

 Профиль  
                  
 
 Re: Счет и числа.
Сообщение14.05.2013, 21:56 


06/07/11
192
master в сообщении #723646 писал(а):
$\forall b(b \notin a_1 \leftrightarrow b \notin a_2) \Leftrightarrow \forall b(b \in a_1 \leftrightarrow b \in a_2)$ вот это смущает

master в сообщении #723628 писал(а):
если вы о доказательстве с аксиомой объемности, то от него попахивает (хотя кому как)

Я тоже его чувствую :? но сформулировать чем именно "попахивает" трудно, да и неблагодарное это дело.
Но все же, кто-то должен это сказать. Если коротко, применимость этой формулы зависит от $A,B$ или от $a_1,a_2$. Например, если они построены с аксиомой бесконечности или с аксиомой выбора или еще как-то, то в интуиционизме или конструктивизме или еще в каком-то направлении, эта формула к ним не применима. Т.е. она, как логический закон остается в силе, но имеет свои ограничения, когда речь идет о некоторых предикатах, как например, предикате Кантора об образовании множеств процедурой "неограниченной свертки". Вы скажите, это проблемы теории, а не самого закона. Возможно, но в конечном счете, чем лучше теории с этим законом по сравнению с теориями, в котором его нет или есть его отрицание ? Он определенно разграничивает теории, но определенно не по критерию противоречивости.
Допустим, $A,B$ перечислимые множества доказуемых утверждений двух эквивалентных теорий, а $\neg A$ и $\neg B$ - множества недоказуемых утверждений этих теорий, которые не перечислимы. Предположим, есть некое утверждение истинное в одной теории, но ложное в другой (из числа недоказуемых). Например, геделевские предложения с разными номерами. Тогда эквивалентность $\neg A \leftrightarrow \neg B$ ложна, т.к. одно утверждение истинно, а другое нет.
Может быть пример не удачный, но думаю, смысл который я хотел передать понятен. Наверняка, найдутся другие примеры, т.к. большинство операций не симметрично в каком-то общем трудно уловимом смысле, хотя бы тот же пример epros с необратимыми во времени уравнениями или дополнениями неизмеримых или перечислимых множеств и т.д.
Когда речь идет о дополнениях пустого множества, в столь сильных теориях, смысл их эквивалентности теряется. Отрицание - это какое-то слишком неопределенное отношение, даже в виде отрицания принадлежности, чтобы давать что-то определенное в теориях со столь неопределенными совокупностями, не имеющими моделей.
Мне, например, это доказательство представляется чем-то вроде неочевидной аксиомы, вроде тех, которые не нравятся интуиционистам или конструктивистам. Она какая-то неестественная, оставляющая осадок неудовлетворенности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счет и числа.
Сообщение14.05.2013, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Lukin в сообщении #723979 писал(а):
Допустим, $A,B$ перечислимые множества доказуемых утверждений двух эквивалентных теорий, а $\neg A$ и $\neg B$ - множества недоказуемых утверждений этих теорий, которые не перечислимы. Предположим, есть некое утверждение истинное в одной теории, но ложное в другой (из числа недоказуемых). Например, геделевские предложения с разными номерами. Тогда эквивалентность $\neg A \leftrightarrow \neg B$ ложна, т.к. одно утверждение истинно, а другое нет.
Доказуемость и истинность - это понятия из разных плоскостей. Истинность определяется не в теории, а в интерпретации.

-- Вт май 14, 2013 23:20:27 --

Lukin в сообщении #723979 писал(а):
Мне, например, это доказательство представляется чем-то вроде неочевидной аксиомы, вроде тех, которые не нравятся интуиционистам или конструктивистам. Она какая-то неестественная, оставляющая осадок неудовлетворенности.
Вот мне и хочется понять, что именно. То есть критика аксиомы выбора понятна - она постулирует существование невычислимых, неконструируемых объектов. Критика исключенного третьего понятна - она позволяет доказывать дизъюнкцию без указания, какая именно часть истинна. Критика импредикативности понятна, потому что в некоторых случаях из нее вылезают парадоксы.
Ваши сомнения мне непонятны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счет и числа.
Сообщение14.05.2013, 23:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Xaositect в сообщении #723986 писал(а):
критика аксиомы выбора понятна - она постулирует существование невычислимых, неконструируемых объектов
Это, некоторым образом, не так. Аксиома выбора тут не виновата. Виновата конструкция $\exists a(\ldots)$. Она встречается не только в аксиоме выбора, но и в самых простых рассуждениях: "так как множество $A$ не пусто, существует элемент $a\in A$...". Неконструктивность этого утверждения в точности такая же, как неконструктивность аксиомы выбора.

К тому же, в конструктивном анализе некоторая версия аксиомы выбора верна. Естественно, там она совершенно конструктивна.

Lukin в сообщении #723979 писал(а):
Допустим, $A,B$ перечислимые множества доказуемых утверждений двух эквивалентных теорий, а $\neg A$ и $\neg B$ - множества недоказуемых утверждений этих теорий, которые не перечислимы. Предположим, есть некое утверждение истинное в одной теории, но ложное в другой (из числа недоказуемых). Например, геделевские предложения с разными номерами. Тогда эквивалентность $\neg A \leftrightarrow \neg B$ ложна, т.к. одно утверждение истинно, а другое нет.
Я не понял смысла этого утверждения. Мы не можем написать $\neg A \leftrightarrow \neg B$, если формулы $A$ и $B$ относятся к разным теориям. Если же это не формулы, то написанное Вами тоже бессмысленно. И что Вы понимаете под эквивалентностью теорий?

Кроме того, как заметил Xaositect, истинность относится не к теории самой по себе, а к её интерпретации. Мы можем взять одну теорию (например, арифметику Пеано), и две её модели, в одной из которых некоторое утверждение истинно, а в другой - ложно. Что, арифметика не эквивалентна сама себе?

Lukin в сообщении #723979 писал(а):
Например, если они построены с аксиомой бесконечности или с аксиомой выбора или еще как-то, то в интуиционизме или конструктивизме или еще в каком-то направлении, эта формула к ним не применима.
Ерунда какая-то. Вы хотите сказать, что каждую формулу конструктивистской теории должен сопровождать список объектов, к которым она применима или неприменима?
Кстати, интуиционизм - одно из течений конструктивизма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счет и числа.
Сообщение15.05.2013, 05:58 
Заблокирован


12/08/09

1284
Самодуровка
Xaositect в сообщении #723650 писал(а):
$(A\leftrightarrow B) \Leftrightarrow (\neg A\leftrightarrow \neg B)$

кое что можно сказать правда не формально, эта фраза имеет смысл только если утверждения А и не А равносильны, тоесть и то и то может быть истинным, но если толко одно утверждение строго истинно тогда эта фраза не имеет смысла.
например
"Я могу пить, а могу не пить и ты можешь пить, а можешь не пить и т.д" но

"Я человек и ты человек"

 Профиль  
                  
 
 Re: Счет и числа.
Сообщение15.05.2013, 16:58 


06/07/11
192
Xaositect в сообщении #723986 писал(а):
То есть критика аксиомы выбора понятна - она постулирует существование невычислимых, неконструируемых объектов. Критика исключенного третьего понятна - она позволяет доказывать дизъюнкцию без указания, какая именно часть истинна. Критика импредикативности понятна, потому что в некоторых случаях из нее вылезают парадоксы.
Ваши сомнения мне непонятны.

Я бы добавил критику снятия двойного отрицания.
Формально трудно, давайте так. Допустим $a_1$ - свойство "желтые", $a_2$ - "круглые".
Даны истинные утверждения: "все колобки не круглые" $\forall b (b \notin a_1)$ и "все колобки не желтые" $\forall b (b \notin a_2)$.
Из конъюнкции следует эквивалентность, отсюда истинность эквивалентности ложных утверждений: "все колобки круглые" $\leftrightarrow $ "все колобки желтые".
$\forall b (b\in a_1 \leftrightarrow b \in a_2)$.
Классический вывод: свойства "круглый " и "желтый" равны $a_1=a_2$.

Не нравится то, что не исключено существование "не колобка", для которого истинно "является круглым" и истинно "не является не желтым", но ложно "является желтым", т.е. снятие двойного отрицания не действует. В этом случае свойства "желтый" и "круглый" не равны.
Причиной является конструктивность свойства "желтый" и неконструктивность свойства "круглый".
Отрицание или дополнение зависит от объекта к которому применяется. Для счетных множеств оно конструктивно, а для не счетных нет. Если мы изначально не знаем, конструктивны ли дополнения $a_1,a_2$, мы не можем сделать вывод об их равенстве или не равенстве.

Someone в сообщении #724014 писал(а):
Мы не можем написать $\neg A \leftrightarrow \neg B$, если формулы $A$ и $B$ относятся к разным теориям.

Они относятся к одной теории, просто $\neg(\neg A)$ не определяет конструктивный объект, а $\neg (\neg B)$ определяет.
Someone в сообщении #724014 писал(а):
Кроме того, как заметил Xaositect, истинность относится не к теории самой по себе, а к её интерпретации.

У ZFC есть стандартная модель ?
Someone в сообщении #724014 писал(а):
Вы хотите сказать, что каждую формулу конструктивистской теории должен сопровождать список объектов, к которым она применима или неприменима?

Достаточно на стадии применения формулы проверять конструктивность объектов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счет и числа.
Сообщение19.05.2013, 20:37 


11/06/11

142
Someone в сообщении #723139 писал(а):
Someone в сообщении #722913 писал(а):Мешок картошки - не множество


Из Википедии.

— Георг Кантор, «К обоснованию учения о трансфинитных множествах»
(нем. «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre»)[1]

Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).


Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу:
«Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».


По-моему, мешок картошки, как некое целое, вполне соответствует как определению Георга Кантора, так и Бертрана Рассела.
Интересно следующее. Любое множество (по Кантору) как «…соединение в некое целое M определённых(выделено мной) хорошо различимых предметов…» можно считать пустым множеством. То есть, предметы, принадлежащие множеству - это определенные предметы. Например, картошка или яблоки. Но тогда множество «мешок с картошкой» является пустым как множество «мешок с яблоками», т.к. ни одного яблока в мешке с картошкой нет.

То, что множество может быть пустым и полным одновременно устраняет формулировка Бертрана Рассела. «Множество есть совокупность РАЗЛИЧНЫХ (выделено мной) элементов, мыслимая как единое целое». То есть, по Расселу не суть важно, чем наполнен мешок: картошкой, яблоками, углем либо их смесью. Важно, чтобы это были (различимые) элементы, а не бесструктурное нечто. То есть, негласно Рассел подразумевает, что элементы (любого) множества являются безымянными.

Еще один интересный, на мой (не математический) взгляд момент. Оба (Кантор и Рассел) определяют множество как «оболочку» для некой совокупности элементов."Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M..." Г. Кантор. Или «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое» Б. Рассел. Если в «оболочке» нет элементов то множество пусто. В мешке нет картошки, в бутылке водки, в пачке сигарет.


Но саму «оболочку», также можно считать элементом, который принадлежит множеству, которое содержит только его – этот элемент. В результате получается, что пустых множеств вообще нет. Впрочем, этот вывод может быть ничтожным, например, потому, что Георг Кантор и Бертран Рассел и, соответственно их определения, никакого отношения к математике не имеют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счет и числа.
Сообщение19.05.2013, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
jurij в сообщении #725898 писал(а):
— Георг Кантор, «К обоснованию учения о трансфинитных множествах»
(нем. «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre»)[1]

Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).


Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу:
«Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».
Совокупность - не мешок и даже не всегда множество.

jurij в сообщении #725898 писал(а):
Но саму «оболочку», также можно считать элементом
"Оболочка" - не элемент. И вообще нет никакой "оболочки". Я уже говорил: множество - это свойство. Хотя не всякое свойство - множество.

jurij в сообщении #725898 писал(а):
Впрочем, этот вывод может быть ничтожным, например, потому, что Георг Кантор и Бертран Рассел и, соответственно их определения, никакого отношения к математике не имеют.
Георг Кантор и Бертран Рассел к математике отношение имеют. В отличие от глупостей, которые придумываете Вы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счет и числа.
Сообщение20.05.2013, 13:29 
Заблокирован


12/08/09

1284
Самодуровка
Someone в сообщении #725909 писал(а):
множество - это свойство. Хотя не всякое свойство - множество.

Вы не могли бы, подробнее описать сей момент.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 171 ]  На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group