Методика преподавания полярной системы координат

[GAA]

Shtorm в сообщении #713208 писал(а):

GAA в сообщении #713132 писал(а):

Я отношусь к тем, кто считает, что по умолчанию [т.е. если специально не оговорено] полярный радиус неотрицательный…И я считаю, что если специально не оговорено, то кривая $r=\sin 2\varphi$ имеет два лепестка.

Тогда скажите, в каких уважаемых книгах или справочниках, было бы сказано, что кривая

$$r=a\sin 2\varphi$$

является 2-ух лепестковой розой???

GAA в сообщении #713684 писал(а):

Думаю, что ни в каких. На мой взгляд, такие слишком частные и очевидные «задачи» не могут «как таковые» рассматриваться в приличных учебниках или сборниках задач.

Покопался в сборниках задач для начинающих. Как я и писал, в учебных курсах основ математического анализа приняты ограничения $0 \le r < +\infty$, $0 \le \varphi < 2\pi$. И розы не исключение. Например
1. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Т.2 — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003 (djvu), гл. 2. Определенный интеграл и его приложения, §7. Вычисление площадей плоских фигур и длин кривых,
упр. 33.8 Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах $r = a\sin n \varphi$, $n \in \mathbb N$. Ответ: $\pi a^2/4$.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1985 (djvu),
упр. 2496. Найти площадь фигуры, ограниченной линией $\rho = a \sin 2\varphi$ (двулепестковая роза). Ответ: $\pi a^2/4$.

И в жизни, и в учебной работе для исследования кривой, заданной в полярной системе координат, я обычно переходил к параметрическому заданию [кривой в декартовой системе координат], и уже потом исследовал кривую. На мой взгляд, было бы поучительно, если бы участники привели примеры (если таковые существуют), когда исследование удобнее (менее громоздко) выполнять в полярной системе координат (без перехода к параметрическому заданию в соответствующей декартовой системе координат, напрмер $x(\varphi), y(\varphi)$). Возможно, не полное. Допустим нахождение асимптот, или критических точек, в частности, точек перегиба.

Upd. Добавил в тексте [кривой в декартовой системе координат]. Спасибо Алексей К. за замечание, сделанное в следующем сообщении.
Upd. 2 «Критические» точки или «характерные» точки — иногда используемый сленг для студентов, учащихся на специальностях без углубленного изучения математики. Грамотно писать, в данном случае, не вижу смысла. Стилизация под тему.

-= Добавлено 13.05.13=-
Upd 3. К слову, в старых учебниках (например, в книге Лузин Н.Н. Дифференциальное исчисление. — М. Высшая школа, 1961) $\rho = a\sin 2\varphi$ — четырехлепестковая роза.
Да и у Фихтенгольца в первом томе трехтомного курса «Дифференциального и интегрального исчисления» допускаются отрицательные $\rho$.

[Алексей К.]

GAA в сообщении #723052 писал(а):

для исследования кривой, заданной в полярной системе координат, я обычно переходил к параметрическому заданию

На мой взгляд, не особо удачное сопоставление полярности и параметричности (как было бы и в случае декартовости и параметричности).

Есть весьма ограниченный класс кривых, которые можно задать функцией $y=f(x)$. Но любую кривую можно представить параметрически в виде $[x(t),y(t)]$.

Есть весьма ограниченный класс кривых, которые можно задать функцией $\rho=f(\varphi)$. Но любую кривую можно представить параметрически в виде $[\rho(t),\varphi(t)]$.

Впрочем, если определить класс кривых как "кривые, часто встречающиеся в учебных задачах", то можно ещё помудрить...

-- 13 май 2013, 00:29:16 --

GAA в сообщении #723052 писал(а):

Допустим нахождение асимптот, или критических точек, в частности, точек перегиба.

Не понимаю, чего "критичного" находят в точке перегиба (в CAD-приложениях это очень принято). Это, согласен, интересная точка, но не "особая", не "критическая".

[Munin]

Алексей К. в сообщении #723076 писал(а):

Есть весьма ограниченный класс кривых, которые можно задать функцией $\rho=f(\varphi)$. Но любую кривую можно представить параметрически в виде $[\rho(t),\varphi(t)]$.

Причём, $\varphi(t)$ может иметь "неестественные" разрывы, отсутствующие в самой кривой, если ограничивать $\varphi$ полуинтервалом длиной $2\pi.$ Для $\rho(t)$ разрывов всегда можно избежать.

-- 13.05.2013 13:44:08 --

(о перегибах)

Алексей К. в сообщении #723076 писал(а):

Не понимаю, чего "критичного" находят в точке перегиба (в CAD-приложениях это очень принято). Это, согласен, интересная точка, но не "особая", не "критическая".

Может, это как-то связано с упругими и деформационными свойствами тонких стержней и оболочек? Скажем, наличие или перемещение точки перегиба может вывести упругую систему из равновесия, привести к её разрушению и т. п.

[Алексей К.]

(о перегибах)

Munin в сообщении #723163 писал(а):

Может, это как-то связано с упругими и деформационными свойствами тонких стержней и оболочек? Скажем, наличие или перемещение точки перегиба может вывести упругую систему из равновесия, привести к её разрушению и т. п.

Вряд ли. Упругости-деформации --- это обычно 3D-задачи, а я о задачах с плоскими кривыми.
Это, скорее всего, связано с тем, что многие факты доказывались (111 лет назад) с применением эволют (эвольвент), а они рушатся в точке перегиба. Вот и разбивали кривую на куски знакопостоянной кривизны, и саму формулу кривизны модулями окружали. (От эволют и требование непрерывности кривизны, для ряда утверждений избыточное.)
Ещё один пример --- интерполяция с помощью кривых Безье второго порядка, рациональных либо полиномиальных: ни те, ни другие не реализуют перегиб, и точку перегиба непременно надо выделять.
Кубические кривые Безье легко справились бы с перегибом, но, по традиции...

Также замечу, что при дробно-линейном преобразовании кривой перегибы могут появиться или исчезнуть, тогда как настоящие особенности таковыми и останутся.

[Shtorm]

GAA, спасибо за Ваш обзор по задачникам и учебникам. Я тоже хотел что-то подобное написать, но Вы меня опередили. Также спасибо за ссылку на "Аналитическую геометрию" Ильин, Позняк. Теперь у меня есть хорошая точка опоры в подобных дискуссиях.

GAA в сообщении #723052 писал(а):

в учебных курсах основ математического анализа приняты ограничения $0 \le r < +\infty$, $0 \le \varphi < 2\pi$. И розы не исключение. Например
1. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач....
2. Берман Г.Н. Сборник задач ...

Если говорить о задачниках, то например в книге Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике принято использовать полярный радиус любых знаков. Об этом сначала говорится в разделе аналитической геометрии и в задаче № 339 написано, что $r=a\sin 2\varphi$ - четырёхлепестковая роза, а затем в матанализе в задачках, где требуется найти площадь, ограниченную линиями № 1647 $r=a\cos 2\varphi$ и № 1664, $r=a\sin 2\varphi$ даны ответы $\frac{\pi a^2}{2}$.
Конечно, это не чисто сборник задач по матанализу, но тем не менее в рассмотрении данного вопроса мы не можем игнорировать этот задачник.

GAA в сообщении #723052 писал(а):

Upd 3. К слову, в старых учебниках (например, в книге Лузин Н.Н. Дифференциальное исчисление. — М. Высшая школа, 1961) $\rho = a\sin 2\varphi$ — четырехлепестковая роза.
Да и у Фихтенгольца в первом томе трехтомного курса «Дифференциального и интегрального исчисления» допускаются отрицательные $\rho$.

В двухтомнике Пискунова "Дифференциальное и интегральное исчисление" в розах опять таки используется только положительный $r$ и соответствующее количество лепестков.
Можно ли подвести такую базу, что во всех старых учебниках по матанализу используется отрицательный полярный радиус и соответственно $2k$-лепестковость или же есть и старые учебники, в которых наоборот?
В современных задачниках мы видим разные подходы, видимо авторы и лекции читают соответственно по разному. Ну не может же такого быть, что математик читает лекцию и говорит студентам о использовании разных знаков $r$ и о $2k$-лепестковости, а потом издаёт задачник или учебник в котором $r$ строго положителен. Или и такое может быть?
Ну хорошо, два разных подхода к полярному радиусу - как говорится, сколько людей, столько и мнений (студентам только плохо). Но как быть с кинематическим описанием кривых Гвидо Гранди? То есть учёный написал целый труд, где исследовал данные кривые, дал кинематическое описание - из которого ясно следует сколько должно быть лепестков и в каком порядке по четвертям они появляются. А мы раз - и демонстрируем два разных подхода! Если мы выкинем лепестки, соответсвующие отрицательному $r$ - то кинематическая модель перестанет действовать. Как с этим быть?

[AV_77]

Shtorm в сообщении #723447 писал(а):

Но как быть с кинематическим описанием кривых Гвидо Гранди? То есть учёный написал целый труд, где исследовал данные кривые, дал кинематическое описание - из которого ясно следует сколько должно быть лепестков и в каком порядке по четвертям они появляются. А мы раз - и демонстрируем два разных подхода! Если мы выкинем лепестки, соответсвующие отрицательному - то кинематическая модель перестанет действовать. Как с этим быть?

Чего вы к этим розам прицепились? По мне, так это далеко не самая важная и нужная тема. Когда понадобится, то студент/аспирант/и т.д., будучи математиком, разберется и с отрицательным и с положительным радиусами. Благо это не настолько сложно.

[Алексей К.]

Shtorm,

Вы неисправимы, Ваше упрямство граничит не скажу с чем, и Вы, по-моему, напрашиваетесь на второй "несправедливый" бан.

Shtorm в сообщении #723447 писал(а):

Теперь у меня есть хорошая точка опоры в подобных дискуссиях.

В дискуссиях о пустяках "точка опоры" не нужна.

Shtorm в сообщении #723447 писал(а):

но тем не менее в рассмотрении данного вопроса мы не можем игнорировать этот задачник.

Если мы умны и разбираемся в предмете дискуссии, мы можем игнорировать и оспаривать что угодно.
Сколько можно цитировать одно и то же, настаивать на одном и том же:

Someone в сообщении #3819 писал(а):

Читатель умный, он сам поймёт.

Речь о пустяке, и Вы один не хотите понять, что это пустяк.

Shtorm в сообщении #723447 писал(а):

Можно ли подвести такую базу, что...

В математике не принято "подводить базу" под пустяки.

Shtorm в сообщении #723447 писал(а):

... как говорится, сколько людей, столько и мнений.

Мало ли что где говорится. Здесь же людей упомянуто до хрена, а мнений только 2 (два).

Shtorm в сообщении #723447 писал(а):

Ну хорошо, два разных подхода к полярному радиусу - как говорится, сколько людей, столько и мнений (студентам только плохо).

С хреновыми преподавателями им плохо, а не с "двумя подходами к полярному радиусу".

Shtorm в сообщении #723447 писал(а):

Но как быть с кинематическим описанием кривых Гвидо Гранди? То есть учёный написал целый труд, где исследовал данные кривые,

Сей труд, написанный в 1728 году, должен быть за час повторен современным студентом без всяких исторических ссылок. Мысль не придёт в голову ковырять тот факт, что кто-то до нашей эры описал простую задачу в виде учёного труда. Не историей же развития математики вы там занимаетесь. А кинематическая модель --- ну, Вам она не пришла в голову до известного озарения --- но она же очевидна, банальна (и только поэтому не бросается в глаза): увидел периодическую функцию (полярный радиус) в простом выражении и наделил её "физическим смыслом". Банальность, но студентам, конечно, полезно её замечать.

(Оффтоп)

А здесь я кривизну сделал периодической. Ну и что? Труд писать по пустякам? Кинематику через ускорения, вроде, тоже можно притянуть.

Shtorm в сообщении #723447 писал(а):

Если мы выкинем лепестки, соответсвующие отрицательному $r$ - то кинематическая модель перестанет действовать.

Кому важна кинематическая модель --- тот не будет выкидывать. Кому нужна какая-то другая, например, методологическая-1, тот выкинет. Кому нужна методологическая-2, тот оставит.

Shtorm в сообщении #723447 писал(а):

Как с этим быть?

Не париться по пустякам. Не заниматься не своим делом. Да мало ли людей как-то с этим были до Вашего извержения? Так же они будут быть и дальше.

[Shtorm]

AV_77 в сообщении #723456 писал(а):

Чего вы к этим розам прицепились?

Просто на розах вся эта ситуация очень наглядно просматривается, как и доказали GAA и я, рассмотрев разные задачники и учебники.

AV_77 в сообщении #723456 писал(а):

По мне, так это далеко не самая важная и нужная тема.

Может оно и так - с Вашей точки зрения, а вот мне эта ситуация просто режет глаз. И я уже обосновывал почему именно режет. Хотя я, конечно согласен, что есть и другие темы, где можно найти за что зацепиться.

AV_77 в сообщении #723456 писал(а):

Когда понадобится, то студент/аспирант/и т.д., будучи математиком, разберется и с отрицательным и с положительным радиусами. Благо это не настолько сложно.

В этой теме я сугубо вёл речь о студентах. Уж аспирантам полярную систему никто не преподаёт по причине, что им её преподали, когда они были студентами. И все задачки вышеописанные сугубо рассчитаны на студентов. И дело вовсе не в сложности. Не хочу повторяться, всё описано выше.

-- Пн май 13, 2013 22:48:14 --

В дополнение хочу сказать, что преподавание математики очень продуктивно, если напрямую прослеживается связь с физикой. Частота колебания - как коэффициент перед $\varphi$ в синусе и косинусе - играет ту связующую роль с физикой.

[ewert]

Shtorm в сообщении #723509 писал(а):

Частота колебания - как коэффициент перед $\varphi$ в синусе и косинусе

Частота колебания не есть коэффициент перед $\varphi$.

AV_77 в сообщении #723456 писал(а):

Чего вы к этим розам прицепились?

Т.к. читатель ждёт уж рифмы.

[Shtorm]

ewert, этот коэффициент показывает, сколько колебаний совершит точка за один полный оборот стержня.

[ewert]

Показывать-то показывает, но только не перед фи. Фи -- это вообще-то фаза.

[AV_77]

Shtorm в сообщении #723509 писал(а):

Просто на розах вся эта ситуация очень наглядно просматривается

Какая ситуация? Высосанная из пальца неопределенность со знаком радиуса?

Shtorm в сообщении #723509 писал(а):

В этой теме я сугубо вёл речь о студентах. Уж аспирантам полярную систему никто не преподаёт по причине, что им её преподали, когда они были студентами.

Напишу понятнее. Как бы не преподавали полярную систему, если встретится новый взгляд, то студент/аспирант/и т.д. разберется когда ему это понадобится. В разных задачах могут оказаться удобнее разные подходы.

[Shtorm]

ewert в сообщении #723538 писал(а):

Показывать-то показывает, но только не перед фи. Фи -- это вообще-то фаза.

Я как раз планирую в лекции про кривые, заданные в полярной системе координат - использовать для некоторых кривых кинематический подход в частности для кривых Гвидо Гранди, спирали Архимеда и логарифмической, а также улитки Паскаля. Наглядность данного подхода будет обеспечиваться яркими презентациями, демонстрируемыми на большом экране. Анимация будет показывать движения, в результате которых и образуются замечательные кривые. И чтобы была связь с физикой, несомненно нужно будет рассказать и о гармонических колебаниях, применительно к розам.
Итак, берём стержень и совмещаем его середину с началом координат. Плавающая точка начинает движение из начала координат и двигается по стержню по синусоидальному закону:

$$x(t)=A\sin(\omega t +\varphi_0)$$

где $x$ - координата точки на стержне или смещение точки вдоль стержня, в момент времени $t$. $A$ - амплитуда колебаний - равна половине длины стержня, $\omega$ - циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний, происходящих в течении $2\pi$ секунд, $\varphi_0$ - начальная фаза равна нулю, поскольку движение точки начинается из начала координат. Таким образом точка колеблется вдоль стержня по синусоидальному закону, совершая за $2\pi$ секунд $\omega$ колебаний. А стержень вращается относительно своего центра. На один полный оборот стержня затрачивается $2\pi$ секунд. Значит за один полный оборот стержня, точка совершает ровно $\omega$ раз полных колебаний.
Если полный поворот стержня происходит за $2\pi$ секунд, значит на 1 радиан стержень поворачивается за 1 секунду. Поэтому переходя к полярным координатам - в уравнении гармонических колебаний можно подставить $t=\varphi$. То есть время смещения точки вдоль стержня выразили через угол, на который поворачивается стержень и получили:

$$r(\varphi)=A\sin(\omega \varphi)$$

где $\varphi$ имеет размерность времени в секундах, а абстрагируясь от времени и от фазы колебаний, получаем:

$$r(\varphi)=a\sin(k \varphi)$$

где уже $\varphi$ - в радианах, а $k$ - просто безразмерный коэффициеннт.

[mihailm]

Shtorm в сообщении #723752 писал(а):

...Я как раз планирую в лекции про кривые, заданные в полярной системе координат ...

Какой специальности читаете?

[ewert]

Я бы хуже спросил: для кого?...

В наше время прогресс дошёл до того, что улитки уже интересна лишь биологам, математикам же -- лишь методы вычислений.

Нет, не так. Для всех интересны лишь методы вычислений, разве что математикам -- ещё и их обоснования (коими все и пользуются). Но улитки не относятся ни к тому, ни к другому разряду; они -- всё-таки лишь для иологов.