теорема об изменении кинетического момента

[Oleg Zubelevich]

Продолжаем выкладывать учебные материалы, не помню ,было или нет.


Через $S$ обозначим центр масс твердого тела. И пусть $A$ произвольная точка твердого тела.Через $m$ обозначим массу тела.

Теорема. $J_A\dot{\overline \omega}+[\overline\omega,J_A\overline\omega]=m[\overline{SA},\dot{\overline v}_A]+\overline M_A.$

Доказательство.

Пусть твердое тело состоит из точек $m_1,\ldots, m_N$. Через $\overline u_i$ обозначаем радиус-векторы точек с началом в центре масс; $\overline\rho_i$ -- радиусы-векторы точек с началом в точке $A.$

Кинетический момент в осях Кенига: $\overline K_S=\sum_im_i[\overline u_i,\dot{\overline u}_i]$
кинетический момент относительно системы координат движущейся поступательно с началом в точке $A$:

$$\overline K_A=\sum_im_i[\overline \rho_i,\dot{\overline \rho}_i]$$

Используя формулы $\overline u_i=\overline{SA}+\overline\rho_i,\quad \sum_im_i\overline\rho_i=m\overline{AS}$ находим

$$\overline K_S=m[\overline{AS},\dot{\overline{SA}}]+\overline K_A.$$

Для моментов сил получаем уравнение:

$$\overline M_S=\sum_i[\overline u_i,\overline F_i]=[\overline{SA},\overline F]+\overline M_A,\quad \overline F=\sum_i\overline F_i$$

Подставляя полученные формулы в стандартную теорему: $\dot{\overline K}_S=\overline M_S$ и учитывая, что $\ddot{\overline{AS}}=\dot{\overline v}_S-\dot{\overline v}_A,\quad m\dot{\overline v}_S=\overline F$ ,находим:

$$\dot{\overline K}_A=m[\overline {SA},\dot{\overline v}_A]+\overline M_A.$$

Сейчас мы первый раз используем то, что точка $A$ принадлежит твердому телу:

$$\overline K_A=\sum_im_i[\overline \rho_i,[\overline\omega,\overline\rho_i]]=J_A\overline \omega$$

Переходя в систему координат связанную с твердым телом (в которой $J_A$ -- постоянная матрица) по формуле относительного дифференцирования вектора
находим

$$\dot{\overline K}_A=\frac{\delta}{\delta t}(J_A\overline \omega)+[\overline\omega,J_A\overline \omega]=J_A\dot{\overline \omega}+[\overline\omega,J_A\overline\omega],$$

где $\frac{\delta}{\delta t}$ -- производная относительно системы связанной с телом, мы учли, что $ \dot{\overline\omega}=\frac{\delta}{\delta t}\overline\omega$ -- по формуле относительного дифференцирования.

ЧТД

Следствие. Предположим, что твердое тело катится без проскальзывания по неподвижной поверхности и $A$ -- точка твердого тела, которой оно касается поверхности. Тогда

$$J_A\dot{\overline \omega}+[\overline\omega,J_A\overline\omega]=-m[\overline{SA},[\overline\omega,\overline u]]+\overline M_A$$

где $\overline u$ -- скорость точки контакта.

Это вытекает непосредственно из соответствующего результата [Татаринов, Кулешов, Попова, Прошкин Задачи по кинематике и динамике качения твердых тел. Москва 2011]

[Deggial]

правила форума писал(а):

1) Нарушением считается:
...
ж) ... Создание тем в стиле личного блога, не предполагающих обсуждения какого-либо вопроса. ...

Prorab в сообщении #222462 писал(а):

Данный форум предназначен для обсуждения методологических вопросов преподавания различных дисциплин в школе и высших учебных заведениях.

Oleg Zubelevich, просьба сформулировать явно предмет обсуждения данной темы.

[Oleg Zubelevich]

ok, раз произошло нарушение правил тему можно снести

Я тут просто из альтруистических соображений выкладывал некоторые учебные тексты, которые мне нужно было написать не для этого форума , а по другим причинам. Но раз это неуместно, то сносите заодно и остальные:

topic70066.html
topic68577.html
topic55508.html
topic53395.html

-- Вс май 12, 2013 10:32:43 --

topic54869.html
topic56451.html

[Deggial]

Будем считать, что тема данной ветки - обсуждение и дополнение предлагаемых учебных материалов.

[Oleg Zubelevich]

Здесь хотелось бы обратить внимание на следующее. Теорема об изменении кин. момента совсем не так тривиальна, как , скажем, теорема о движении центра масс. Начать с того, что фактически существует два неэквивалентных определения кин. момента, которые приводят к разным уравнениям. Некоторые нюансы, связанные с этой наукой, представлены в задачах topic71897.html
topic18350.html

[eugrita]

Олег, нельзя ли поподробнее об 2 разных определениях кинетич.момента с ссылками?

[Oleg Zubelevich]

относительно центра масс стандартно вводятся два разных момента
$\overline K_S=\sum m_i[\overline u_i, \overline v_i]$ и другой момент в осях Кенига: $\overline K^*_S=\sum m_i[\overline u_i, \overline v_{i}^r]$
где $\overline v_i,\overline v_{i}^r$ скорости $i-$ой точки соответственно в абсолютном пространстве и относительно осей Кенига

[ЮФ Голубев Основы теор механики]