тензорные величины

[Oleg Zubelevich]

по мотивам topic62715.html

Определение (не очень инвариантное )

1) Предположим, что каждому базису линейного пространства $L$ поставлен в соответствие
набор
чисел $(t^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q})$, и эти наборы связаны друг с другом формулами

$$ t^{i'_1,\ldots,i'_p}_{j'_1,\ldots,j'_q}=|\mathrm{det}\,C|^{\sigma-1}(\mathrm{det}\,C) c^{i_1'}_{i_1}\ldots c^{i'_p}_{i_p}c^{j_1}_{j_1'}\ldots c^{j_q}_{j_q'}t^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}. $$

(через $C=(c_{i'}^i)$ обозначена матрица перехода от одного базиса к другому $e_{i'}=c_{i'}^ie_i$)

Тогда говорят, что в пространстве $L$ задан аксиальный псевдотензор типа $(p,q)$
веса $\sigma$. Множество таких псевдотензоров обозначим через
$T_\sigma^a(p,q,L)$. Это множество является лнейным пространством.

2) Предположим, что каждому базису пространства $L$ поставлен в соответствие
набор
чисел $(t^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q})$, и эти наборы связаны друг с другом формулами

$$ t^{i'_1,\ldots,i'_p}_{j'_1,\ldots,j'_q}=|\mathrm{det}\,C|^{\sigma} c^{i_1'}_{i_1}\ldots c^{i'_p}_{i_p}c^{j_1}_{j_1'}\ldots c^{j_q}_{j_q'}t^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q}. $$

Тогда говорят, что в пространстве $L$ задан псевдотензор типа $(p,q)$
веса $\sigma$. Множество таких псевдотензоров обозначим через
$T_\sigma(p,q,L)$. Это множество является лнейным пространством.

В обоих случаях набор чисел $t=(t^{i_1,\ldots,i_p}_{j_1,\ldots,j_q})$ будем
называть координатами тензорной величины $t$ в базисе $e_1,\ldots, e_m$,
координаты $(t^{i'_1,\ldots,i'_p}_{j'_1,\ldots,j'_q})$ при этом, соответствуют
базису $e_{1'},\ldots, e_{m'}$.

Например, пространство аксиальных векторов это $T^a_0(1,0,L)$. Если $A$ -- матрица билинейной формы на $L$ то $\det A\in T_2(0,0,L)$

[Oleg Zubelevich]

Источник: Ефимов Розендорн Линейная алгебра и многомерная геометрия