уравнения Лагранжа для твердого тела

[Oleg Zubelevich]

Сперва провокационный вопрос.

Иммется механическая система состоящая из твердого тела на которое наложены идеальные голономные связи. Заданы активные силы. Положение системы задается обобщенными координатами $q_1,\ldots,q_m,\quad (m\le 6)$.
Движение системы описывается уравнениями Лагранжа:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j,\quad j=1,\ldots, m$$

$T$ -- кинитическая энергия системы.
Вопрос: как (по каким формулам) считать обобщенные силы $Q_j$?

[Oleg Zubelevich]

Стандартные формулы для случая, когда система состоит из материальных точек с радиус-векторами $\overline r_k,\quad k=1,\ldots,N$ имеет вид

$$Q_j=\sum_{k=1}^N\Big(\frac{\partial \overline r_k}{\partial q_j},\overline F_k\Big),\qquad (*)$$

где $F_k$ -- активная сила приложенная к $k-$ой точке.

Пусть теперь расстояния между этими точками не меняются и они образуют твердое тело. Пусть $A$ -- произвольная точка этого твердого тела. Тогда $\overline r_k=\overline r_A+\overline\rho_k$.
Откуда

$$\frac{\partial \overline r_k}{\partial q_j}=\frac{\partial \overline r_A}{\partial q_j}+[\overline\omega_j,\overline\rho_k],$$

где $\overline\omega_j$ -- угловая скорость твердого тела при его движении по следвующему закону $q_j=\tau$ и $q_s=const,\quad s\ne j$. Т.е. координата $q_j$ меняется с единичной скоростью.
Соответственно $\frac{\partial \overline r_A}{\partial q_j}$ -- скорость точки $A$ при движении по указанному закону.

Подставляя все это в формулу (*) находим

$$Q_j=\Big(\overline F,\frac{\partial \overline r_A}{\partial q_j}\Big)+(\overline\omega_j,\overline M_A),$$

где $\overline F=\sum_{k=1}^N\overline F_k$ -- сумма всех активных сил; $\overline M_A=\sum_{k=1}^N[\overline\rho_k,\overline F_k]$ -- суммарный момент активных сил относительно точки $A$.

[anatoliy_kiev]

Это все знают. Зачем переписывать учебники?
Открываем тот же "Краткий курс аналитической динамики" Г.Н. Яковенко, Глава 1, параграф 2 "Структурная формула для уравнений Лагранжа".
$\displaystyle \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial T}{\partial q_i} = \left( \mathbf{R}, \frac{\partial \mathbf{r}_C}{\partial q_i} \right) + \left( \mathbf{M}_C, \frac{\partial \mathbf{\omega}}{\partial \dot{q}_i} \right)~~~(2.7)$
где $\mathbf{R},\mathbf{M}_C$ --- главный вектор внешних сил и главный момент внешних сил относительно $C$ соответственно.