Динамические силы реакции

[ShMaxG]

Помогите пожалуйста решить задачу:



Кинетическую энергию я нашел, но не знаю как находить динамические силы реакции. Уже всю голову сломал...

[Zai]

в центре тяжести диска действуют две силы
$mg
$m \frac a 2 {\omega}^2
Момент вокруг оси, перпендикулярной к плоскости рамы, проходящий через центр диска
$\frac {mr^2} 4 \cdot {\omega}(1+ \frac {\sqrt2} 2)\cdot {\omega}\frac {\sqrt2} 2

[ShMaxG]

Не совсем понятно, что из этого. К тому же, динамические силы реакции нужно находить в общем случае, когда

\[ \omega _1 \ne \omega _2 \]

[Zai]

в центре тяжести диска действуют две силы
$mg
$m \frac a 2 {\omega_1}^2
Момент вокруг оси, перпендикулярной к плоскости рамы, проходящий через центр диска
$\frac {mr^2} 4 \cdot {(\omega_2}+ \omega_1}\frac {\sqrt2} 2)\cdot {\omega_1}\frac {\sqrt2} 2

[peregoudov]

Идеологически --- из уравнений

$$ m\frac{d{\bf v}_c}{dt}={\bf F},\quad \frac{d{\bf L}}{dt}={\bf M}. $$

Но в Вашем случае интересными являются только два уравнения для центра масс (в плоскости рамки) и одно уравнение для момента (в перпендикулярном направлении). Очевидно, из них можно определить три величины. Поэтому нужно еще дополнительное условие на тип крепления в точках А и В, например, что в В сила реакции чисто горизонтальна (скользящее по оси крепление). Это обычная ситуация: не всегда силы реакции можно найти чисто из механики, в общем случае требуется детальное определение напряжений во всей конструкции, то есть решение задачи механики сплошных сред.

[ShMaxG]

Всем спасибо! Ответ получился такой:

\[ \begin{gathered} N_A = \frac{{m\omega _1 }} {{8\sqrt 2 a}}\left[ {\sqrt 2 \left( {r^2 + 2a^2 } \right)\omega _1 + 2r^2 \omega _2 } \right] \hfill \\ N_B = - \frac{{m\omega _1 }} {{8\sqrt 2 a}}\left[ {\sqrt 2 \left( {r^2 - 2a^2 } \right)\omega _1 + 2r^2 \omega _2 } \right] \hfill \\ \end{gathered} \]

Но в ответе задачника то же самое, только в скобках

\[ 4r^2 \omega _2 \]

, а не

\[ {2r^2 \omega _2 } \]

.

[Dosaev]

Извините за возобновление темы, но вот мне тоже встретилась эта задачка.
Как определить направление динамических сил реакций?

[Oleg Zubelevich]

Расписать закон изменения кинетического момента диска относительно точки $A$ по осям жестко связанным с рамой.

$$m[\overline{AS},\dot{ \overline v}_S]+[\overline\omega,J_S\overline\omega]+J_S \dot{\overline{\omega}}=\overline M_A$$

$S$ -- центр диска

[Oleg Zubelevich]

А если угловые скорости $\overline \omega_1,\overline \omega_2$ не меняются по модулю , то можно написать формулу покороче

$$m[\overline{AS},\dot{ \overline v}_S]+[\overline\omega_1,J_S\overline\omega]=\overline M_A,\quad \overline\omega=\overline\omega_1+\overline\omega_2,\quad \dot{ \overline v}_S=[\overline\omega_1,\overline v_S],\quad \overline M_A=[\overline{AB},\overline R_B]$$

$\overline R_B$ -- сила реакции в точке $B$. Она и находится из написанного уранвения.

Уравнение следует расписывать по системе координат с центром в $S$ при этом ось $X$ проходит через $AC$, ось $Y$ через $DB$, а ось $Z$ -- так чтоб получилась положительно ориентированная система. В этой системе $J_S=\mathrm{diag}(U,V,V)$

[Dosaev]

Все понятно, кроме

Oleg Zubelevich в сообщении #655272 писал(а):

Расписать закон изменения кинетического момента диска относительно точки $A$ по осям жестко связанным с рамой.

$$m[\overline{AS},\dot{ \overline v}_S]+[\overline\omega,J_S\overline\omega]+J_S \dot{\overline{\omega}}=\overline M_A$$

$S$ -- центр диска

Откуда 1-ое слагаемое? Оно разве не входит в $M_A?$
И здесь наверное правильно будет $[\vec \omega_1, J_s \vec \omega]$?
Так же почему все-таки $\frac{d\vec \omega}{dt} = 0?$

[Oleg Zubelevich]

Вообще-то уже написано более чем достаточно. Кинетический момент относительно $A$ равен
$\overline K_A=m[\overline{AS}, \overline v_S]+J_S\overline{\omega}$, $J_S$ -- оператор инерции в центре масс диска.

[Dosaev]

Ну это тогда наверно $\vec K_S$ будет? А нам нужен $\vec K_A.$

[Oleg Zubelevich]

Да, теорема об изменении кинетического момента часто вызывает трудности

Поэтому следует

1) научиться выводить формулу для кинетического момента для каждой кокретной задачи
2) при дифференцировании кинетического момента использовать формулу относительно- абсолютного диффернцирования:

$$\frac{d}{dt}\overline a(t)=\frac{\delta}{\delta t}\overline a(t)+[\overline \omega, \overline a],$$

$\frac{d}{dt}$ -- производная в абсолютном пространстве
$\frac{\delta}{\delta t}$ -- производная относительно подвижной системы координат
$\overline \omega$ -- угловая скорость подвижной системы координат

[Oleg Zubelevich]

а еще можно использовать такие уравнения

$$[\overline\omega,J_A\overline\omega]+J_A \dot{\overline{\omega}}=\overline M_A$$

А если угловые скорости $\overline \omega_1,\overline \omega_2$ не меняются по модулю то и такие

$$[\overline\omega_1,J_A\overline\omega]=\overline M_A$$

итого 4 способа написать уравнения и это не предел

[Dosaev]

Да, мне как-то последние более понятны. Так вот в этом случае $\vec M_A$ будет только от силы $\vec F_B$, т.е $\vec M_A = [\vec AB, \vec F_B]$ и получим $[\vec \omega_1, J_A\vec \omega] = [\vec AB, \vec F_B]$. Я могу найти чему равна например левая часть этого уравнения, но как из этого определить $\vec F_B$?