2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вариационный принцип в теории удара
Сообщение22.03.2013, 12:11 


10/02/11
6786
Рассмотрим систему с лагранжианом $L(t,x,\dot x),\quad x=(x^1,\ldots, x^m)^T\in M$ -- $m$-мерное гладкое конфигурационное многообразие. Эволюция системы задается изображающей точкой $x(t)\in M$.

Пусть $N\subset M$ -- гиперподмногообразие ($\dim N=m-1)$. Многообразие $N$ является ударной связью т.е. стенкой о которую бьется изображающая точка системы при движении по конфигурационному прострпанству. Удар будем считать абсолютно упругим т.е. выполнен вариационный принцип
$$\delta\int_{t_1}^{t_2}Ldt=0.$$

И так, варировать будем в множестве кривых c закрепленными концами $q(t,\lambda),\quad |\lambda|<c,\quad q(t_i,\lambda)=q_i,\quad q(\tau(\lambda),\lambda)\in N$.

Последнее включение означает, что $\tau(\lambda)$ -- момент удара и
$$\xi(\lambda)=q_t(\tau(\lambda),\lambda)\tau'(\lambda)+q_\lambda(\tau(\lambda),\lambda)\in T_{q(\tau(\lambda),\lambda)} N.\qquad (*)$$
Положим $$x(t)=q(t,0),\quad \tau_0=\tau(0),\quad \tau'_0=\tau'(0),\quad x(\tau_0)=x_0,\quad\dot x^{\pm}=\dot x(\tau_0\pm),\quad \delta x=\xi(0).$$
Имеем
$$\frac{d}{d\lambda}\Big|_{\lambda=0}\Big(\int_{t_1}^{\tau(\lambda)}Ldt+\int^{t_2}_{\tau(\lambda)}Ldt\Big)=0.\qquad (**)$$

После интегрирования по частям и с учетом формулы (*) получим
$$\frac{d}{d\lambda}\Big|_{\lambda=0}\int_{t_1}^{\tau(\lambda)}Ldt=L(\tau_0,x_0,x^-)\tau'_0+\frac{\partial L(\tau_0,x_0,\dot x^-) }{\partial\dot x}\Big(\delta x-\dot x^-\tau'_0\Big)+$$
$$+\int_{t_1}^{\tau_0}\Big(-\frac{d}{dt}\frac{\partial L(t,x(t),\dot x(t))}{\partial \dot x}+\frac{\partial L(t,x(t),\dot x(t))}{\partial x}\Big) q_\lambda(t,0)dt.$$
Поскольку до удара $x(t)$ является решением уравнений Лагранжа получим
$$\frac{d}{d\lambda}\Big|_{\lambda=0}\int_{t_1}^{\tau(\lambda)}Ldt=L(\tau_0,x_0,x^-)\tau'_0+\frac{\partial L(\tau_0,x_0,\dot x^-) }{\partial\dot x}\Big(\delta x-\dot x^-\tau'_0\Big).$$
Аналогично,
$$\frac{d}{d\lambda}\Big|_{\lambda=0}\int^{t_2}_{\tau(\lambda)}Ldt=-L(\tau_0,x_0,x^+)\tau'_0-\frac{\partial L(\tau_0,x_0,\dot x^+) }{\partial\dot x}\Big(\delta x-\dot x^+\tau'_0\Big).$$

Введем обдозначения:
$$H^\pm=\frac{\partial L(\tau_0,x_0,\dot x^\pm) }{\partial\dot x}\dot x^\pm-L(\tau_0,x_0,\dot x^\pm)$$ -- энергия системы до и после удара,
$$p^\pm=\frac{\partial L(\tau_0,x_0,\dot x^\pm) }{\partial\dot x}$$ -- обобщенный импульс системы до и после удара.

Таким образом , из уравнения (**) получаем систему уравнений абсолютно упругого удара:
$$H^+=H^-,\quad (p^+-p^-)\delta x=0,\quad \delta x\in T_{x_0}N.$$
В случае натурального лагранжиана из этой системы однозначно находятся обобщенные скорости после удара $\dot x^+$.

Замечание: обычно многообразие $N$ задано уравнением $f(x)=0$. Включение $\delta x\in T_{x_0}N$ в аналитической форме выглядит так:
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0)\delta x=0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационный принцип в теории удара
Сообщение22.03.2013, 21:11 


10/02/11
6786
Предположим теперь, что связь зависит от времени $f(t,x)=0$. Для вариаций имеем $f(\tau(\lambda),q(\tau(\lambda),\lambda))=0.$ Дифференцируя по $\lambda$ и полагая $\lambda=0$ находим
$$f_t(\tau_0,x_0)\tau_0'+f_x(\tau_0,x_0)(\dot x^\pm\tau_0'+q_\lambda(\tau_0,0))=0$$
Пусть $\xi$ какое нибудь решение уравнения $$f_t(\tau_0,x_0)+f_x(\tau_0,x_0)\xi=0,$$
а $\delta x$ -- виртуальное перемещение $f_x(\tau_0,x_0)\delta x=0$. Тогда
$q_\lambda(\tau_0,0)=\xi\tau'_0-\dot x^\pm\tau_0'+\delta x.$

Уравнения для удара приобретают вид:

$$H^+-H^-=(p^+-p^-)\xi,\quad (p^+-p^-)\delta x=0,$$
где $\xi$ -- какое-нибудь фиксированное решение уравнения $f_t(\tau_0,x_0)+f_x(\tau_0,x_0)\xi=0,$
$\delta x$ -- любое виртуальное перемещение т.е. решение уравнения $f_x(\tau_0,x_0)\delta x=0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group