Вариационный принцип в теории удара

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим систему с лагранжианом $L(t,x,\dot x),\quad x=(x^1,\ldots, x^m)^T\in M$ -- $m$-мерное гладкое конфигурационное многообразие. Эволюция системы задается изображающей точкой $x(t)\in M$.

Пусть $N\subset M$ -- гиперподмногообразие ($\dim N=m-1)$. Многообразие $N$ является ударной связью т.е. стенкой о которую бьется изображающая точка системы при движении по конфигурационному прострпанству. Удар будем считать абсолютно упругим т.е. выполнен вариационный принцип

$$\delta\int_{t_1}^{t_2}Ldt=0.$$

И так, варировать будем в множестве кривых c закрепленными концами $q(t,\lambda),\quad |\lambda|<c,\quad q(t_i,\lambda)=q_i,\quad q(\tau(\lambda),\lambda)\in N$.

Последнее включение означает, что $\tau(\lambda)$ -- момент удара и

$$\xi(\lambda)=q_t(\tau(\lambda),\lambda)\tau'(\lambda)+q_\lambda(\tau(\lambda),\lambda)\in T_{q(\tau(\lambda),\lambda)} N.\qquad (*)$$

Положим

$$x(t)=q(t,0),\quad \tau_0=\tau(0),\quad \tau'_0=\tau'(0),\quad x(\tau_0)=x_0,\quad\dot x^{\pm}=\dot x(\tau_0\pm),\quad \delta x=\xi(0).$$

Имеем

$$\frac{d}{d\lambda}\Big|_{\lambda=0}\Big(\int_{t_1}^{\tau(\lambda)}Ldt+\int^{t_2}_{\tau(\lambda)}Ldt\Big)=0.\qquad (**)$$

После интегрирования по частям и с учетом формулы (*) получим

$$\frac{d}{d\lambda}\Big|_{\lambda=0}\int_{t_1}^{\tau(\lambda)}Ldt=L(\tau_0,x_0,x^-)\tau'_0+\frac{\partial L(\tau_0,x_0,\dot x^-) }{\partial\dot x}\Big(\delta x-\dot x^-\tau'_0\Big)+$$

$$+\int_{t_1}^{\tau_0}\Big(-\frac{d}{dt}\frac{\partial L(t,x(t),\dot x(t))}{\partial \dot x}+\frac{\partial L(t,x(t),\dot x(t))}{\partial x}\Big) q_\lambda(t,0)dt.$$

Поскольку до удара $x(t)$ является решением уравнений Лагранжа получим

$$\frac{d}{d\lambda}\Big|_{\lambda=0}\int_{t_1}^{\tau(\lambda)}Ldt=L(\tau_0,x_0,x^-)\tau'_0+\frac{\partial L(\tau_0,x_0,\dot x^-) }{\partial\dot x}\Big(\delta x-\dot x^-\tau'_0\Big).$$

Аналогично,

$$\frac{d}{d\lambda}\Big|_{\lambda=0}\int^{t_2}_{\tau(\lambda)}Ldt=-L(\tau_0,x_0,x^+)\tau'_0-\frac{\partial L(\tau_0,x_0,\dot x^+) }{\partial\dot x}\Big(\delta x-\dot x^+\tau'_0\Big).$$

Введем обдозначения:

$$H^\pm=\frac{\partial L(\tau_0,x_0,\dot x^\pm) }{\partial\dot x}\dot x^\pm-L(\tau_0,x_0,\dot x^\pm)$$

-- энергия системы до и после удара,

$$p^\pm=\frac{\partial L(\tau_0,x_0,\dot x^\pm) }{\partial\dot x}$$

-- обобщенный импульс системы до и после удара.

Таким образом , из уравнения (**) получаем систему уравнений абсолютно упругого удара:

$$H^+=H^-,\quad (p^+-p^-)\delta x=0,\quad \delta x\in T_{x_0}N.$$

В случае натурального лагранжиана из этой системы однозначно находятся обобщенные скорости после удара $\dot x^+$.

Замечание: обычно многообразие $N$ задано уравнением $f(x)=0$. Включение $\delta x\in T_{x_0}N$ в аналитической форме выглядит так:

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0)\delta x=0.$$

[Oleg Zubelevich]

Предположим теперь, что связь зависит от времени $f(t,x)=0$. Для вариаций имеем $f(\tau(\lambda),q(\tau(\lambda),\lambda))=0.$ Дифференцируя по $\lambda$ и полагая $\lambda=0$ находим

$$f_t(\tau_0,x_0)\tau_0'+f_x(\tau_0,x_0)(\dot x^\pm\tau_0'+q_\lambda(\tau_0,0))=0$$

Пусть $\xi$ какое нибудь решение уравнения

$$f_t(\tau_0,x_0)+f_x(\tau_0,x_0)\xi=0,$$

а $\delta x$ -- виртуальное перемещение $f_x(\tau_0,x_0)\delta x=0$. Тогда
$q_\lambda(\tau_0,0)=\xi\tau'_0-\dot x^\pm\tau_0'+\delta x.$

Уравнения для удара приобретают вид:

$$H^+-H^-=(p^+-p^-)\xi,\quad (p^+-p^-)\delta x=0,$$

где $\xi$ -- какое-нибудь фиксированное решение уравнения $f_t(\tau_0,x_0)+f_x(\tau_0,x_0)\xi=0,$
$\delta x$ -- любое виртуальное перемещение т.е. решение уравнения $f_x(\tau_0,x_0)\delta x=0$.