Счет и числа.

[jurij]

epros в сообщении #721035 писал(а):

Например, из этого определения следует, что пустое множество только одно.

То есть? Двух пустых мешков быть не может?

Вот еще вопрос.

Поскольку счетный элемент (т.е. единица) не является материальным телом, то ему нельзя поставить в соответствие какие либо его (этого тела) атрибуты, в частности, размер. По этой причине без пропусков заполнить конечным числом таких элементов отрезок прямой (числовой оси) невозможно. В математике это обстоятельство известно как невозможность создания рациональной системы счисления, которая может отобразить любую точку числовой оси в виде конечного числа.

Применительно к физике это означает, что в общем случае физическая величина может быть отображена в числовом виде лишь с конечной точностью. Отсюда следует, что использование метода дифференциального исчисления в физике не совсем корректно. Насколько я знаю основы этого метода, в нем подразумевается, что величины, которыми он оперирует, отображены со сколь угодно большой точностью. Если я не прав, то как профессионал, поправьте меня.

[iifat]

О, как. Неожиданно. Так вас понимаю, идиоты-математики взяли за единицу нечто нематериальное и получили с того проблему? Взяли бы вон тот материальный булыжник, и проблемы бы решились?

jurij в сообщении #721409 писал(а):

Если я не прав, то как профессионал, поправьте меня

Боюсь даже предположить, в какой области профессионал тут нужен...

[jurij]

iifat в сообщении #721426 писал(а):

Так вас понимаю, идиоты-математики взяли за единицу нечто нематериальное и получили с того проблему?

Не так. У математиков с этим проблем как раз нет. Доказательство того, что

jurij в сообщении #721409 писал(а):

невозможность создания рациональной системы счисления, которая может отобразить любую точку числовой оси в виде конечного числа.

у математиков есть, и опирается оно, если я не ошибаюсь, на какую-то формальную логику.

Проблемы есть у физиков. Например, физические (дифференциальные) уравнения обратимы в времени, что не соответствует реальности.

[iifat]

jurij в сообщении #721435 писал(а):

Доказательство ... у математиков есть, и опирается оно, если я не ошибаюсь, на какую-то формальную логику

Верю. Эти математики такие ограниченные люди: у них — не поверите — все доказательства опираются на формальную логику. Но вот в то, что оно начинается словами

jurij в сообщении #721409 писал(а):

Поскольку счетный элемент (т.е. единица) не является материальным телом

— вот не верю и всё. Этого не может быть, поскольку этого не может быть никогда!

jurij в сообщении #721435 писал(а):

Проблемы есть у физиков. Например, физические (дифференциальные) уравнения обратимы в времени, что не соответствует реальности

Это проблема? Впрочем, на это пусть физики отвечают...

[jurij]

iifat в сообщении #721447 писал(а):

Эти математики такие ограниченные люди...

Я этого не говорил и не мне этот тезис развивать.

iifat в сообщении #721447 писал(а):

Поскольку счетный элемент (т.е. единица) не является материальным телом — вот не верю и всё. Этого не может быть, поскольку этого не может быть никогда!

Опять не так. На это утверждение формальное доказательство не опирается.

iifat в сообщении #721447 писал(а):

Это проблема? Впрочем, на это пусть физики отвечают...

Математика для физики - это инструмент (с чем математики охотно соглашаются). Однако, несложно доказать, что проблемы со временем, это проблемы инструмента. Поэтому поучаствовать в ее решении математикам будет незазорным.

[Someone]

jurij в сообщении #720903 писал(а):

Побойтесь Бога! Это где на этом форуме я пытался учить кого-либо? Меня интересует не только роль математики в физике. Об этом много говорят. Но и каков реальный фундамент математики.

Тот, кто хочет в чём-то разобраться, создаёт тему в разделе "Помогите решить / разобраться", а не в дискуссионном разделе, и ведёт себя иначе.

jurij в сообщении #720903 писал(а):

Наверное, я не понял смысл приведенного Вами определения. В нем, наверное, просто определяется, каких два множества следует считать одинаковыми. Два множества одинаковы, если они одинаковы во всех своих элементах. То есть в определении речь идет не о том, как сравнить эти элементы, а какой вывод следует сделать на основании этого сравнения. Вопрос как для меня более интересен, т.к. вывод, по-моему, просто тривиален, лишен какого-либо особого смысла.

Способ сравнения элементов зависит от этих самых элементов и не может никого интересовать до того, как эти элементы будут определены. Попытка определить способ сравнения элементов заранее, ничего не зная об этих элементах - пустая псевдофилософская болтовня. Ваше "наложение" - из этой области.

jurij в сообщении #721409 писал(а):

epros в сообщении #721035 писал(а):

Например, из этого определения следует, что пустое множество только одно.

То есть? Двух пустых мешков быть не может?

Множество - это не мешок. Множество - это свойство (хотя не всякое свойство является множеством; например, свойство "быть множеством" само множеством не является). Если каждый элемент, обладающий свойством $A$, обладает и свойством $B$, и наоборот, каждый элемент со свойством $B$ обладает и свойством $A$, то $A$ и $B$ - это просто разные названия для одного и того же свойства.

jurij в сообщении #721409 писал(а):

Поскольку счетный элемент (т.е. единица) не является материальным телом, то ему нельзя поставить в соответствие какие либо его (этого тела) атрибуты, в частности, размер. По этой причине без пропусков заполнить конечным числом таких элементов отрезок прямой (числовой оси) невозможно. В математике это обстоятельство известно как невозможность создания рациональной системы счисления, которая может отобразить любую точку числовой оси в виде конечного числа.

Применительно к физике это означает, что в общем случае физическая величина может быть отображена в числовом виде лишь с конечной точностью. Отсюда следует, что использование метода дифференциального исчисления в физике не совсем корректно. Насколько я знаю основы этого метода, в нем подразумевается, что величины, которыми он оперирует, отображены со сколь угодно большой точностью. Если я не прав, то как профессионал, поправьте меня.

Выглядит как бред.

Не надо путать физику и математику, у них разные предметы. Физика занимается изучением определённых сторон реального Мира, а математика изучает логические конструкции. Фактом является то, что некоторые логические конструкции, изучаемые математикой, можно использовать как более или менее удачные модели физических объектов и явлений. Не отождествляйте физические объекты и явления с их моделями, это совершенно разные вещи.

jurij в сообщении #721409 писал(а):

Поскольку счетный элемент (т.е. единица) не является материальным телом, то ему нельзя поставить в соответствие какие либо его (этого тела) атрибуты, в частности, размер. По этой причине без пропусков заполнить конечным числом таких элементов отрезок прямой (числовой оси) невозможно.

Логические конструкции, называемые "натуральное число" и "натуральный ряд", служат моделями процессов счёта отдельных предметов, и эту функцию они выполняют достаточно хорошо. К процессам измерения натуральные числа отношения не имеют. Это было известно ещё древним грекам. Измерения формализуются в виде действительных чисел и числовой прямой.

jurij в сообщении #721409 писал(а):

В математике это обстоятельство известно как невозможность создания рациональной системы счисления, которая может отобразить любую точку числовой оси в виде конечного числа.

Все действительные числа являются конечными. Если Вы имеете в виду конечную запись в какой-то системе счисления, то да, не у всякого действительного числа имеется такая запись (и даже, как правило, не у всякого рационального числа). Ну и что?
Кстати, что такое "рациональная система счисления"?

jurij в сообщении #721409 писал(а):

Применительно к физике это означает, что в общем случае физическая величина может быть отображена в числовом виде лишь с конечной точностью.

Применительно к физике это ничего не означает.
Невозможность точного измерения различных физических величин имеет физические причины, а не математические. Во многих случаях "точного" значения физической величины вообще не существует. Сами эти "точные значения" являются всего лишь абстракциями, то есть, логическими конструкциями, и относятся к математическим моделям, а не к физическому миру.

jurij в сообщении #721409 писал(а):

Отсюда следует, что использование метода дифференциального исчисления в физике не совсем корректно.

Модели физических процессов, основанные на дифференциальном исчислении, за столетия их применения продемонстрировали свою высокую эффективность, и продолжают её демонстрировать. Если Вас эти модели не устраивают - предъявите лучшие модели и, самое главное, на деле продемонстрируйте, что они лучше.

jurij в сообщении #721435 писал(а):

Проблемы есть у физиков. Например, физические (дифференциальные) уравнения обратимы в времени, что не соответствует реальности.

Что самое интересное, сами физики считают, что на микроуровне физические процессы действительно обратимы во времени... Если, например, частица $A$ распадается на частицы $B$ и $C$, то возможен и обратный процесс объединения частиц $B$ и $C$ в частицу $A$.

[epros]

jurij в сообщении #721409 писал(а):

epros в сообщении #721035 писал(а):

Например, из этого определения следует, что пустое множество только одно.

То есть? Двух пустых мешков быть не может?

Мешок — не множество. Пустой мешок сам по себе отдельный объект.

jurij в сообщении #721409 писал(а):

По этой причине без пропусков заполнить конечным числом таких элементов отрезок прямой (числовой оси) невозможно.

Не понимаю, какая проблема? Числовая ось специально определяется таким образом, чтобы её отрезки содержали бесконечное количество чисел. Зачем их заполнять конечным количеством чисел?

jurij в сообщении #721409 писал(а):

В математике это обстоятельство известно как невозможность создания рациональной системы счисления, которая может отобразить любую точку числовой оси в виде конечного числа.

Не понимаю о чём Вы. Рациональный отрезок состоит из чисел, каждое из которых записывается конечным количеством цифр.

jurij в сообщении #721409 писал(а):

Применительно к физике это означает, что в общем случае физическая величина может быть отображена в числовом виде лишь с конечной точностью.

Ну и что?

jurij в сообщении #721409 писал(а):

Отсюда следует, что использование метода дифференциального исчисления в физике не совсем корректно. Насколько я знаю основы этого метода, в нем подразумевается, что величины, которыми он оперирует, отображены со сколь угодно большой точностью.

Не понимаю сути «некорректности». Куда Вы собираетесь «отображать» величины «со сколь угодно большой точностью»?

jurij в сообщении #721435 писал(а):

Проблемы есть у физиков. Например, физические (дифференциальные) уравнения обратимы в времени, что не соответствует реальности.

Это неверно. Есть необратимые по времени уравнения. К тому же, какое это имеет отношение к конечности или бесконечности записи чисел?

[jurij]

Для Someone

Someone в сообщении #721483 писал(а):

...и ведёт себя иначе.

Простите, я новичек на форуме, а потому не всегда знаю как себя вести.

Someone в сообщении #721483 писал(а):

Множество - это не мешок.

Совершенно верно. Мешок, в моем понимании, это признак принадлежности, например картофелины, к множеству, которое называется "мешок картошки". Если это пустое множество, т.е. в нем нет картошки, то оно называется "пустой мешок".

Someone в сообщении #721483 писал(а):

Выглядит как бред.

Возможно.

Someone в сообщении #721483 писал(а):

Если Вы имеете в виду конечную запись в какой-то системе счисления, то да, не у всякого действительного числа имеется такая запись (и даже, как правило, не у всякого рационального числа).

Именно это я имел ввиду.

Someone в сообщении #721483 писал(а):

Кстати, что такое "рациональная система счисления"?

Система, которая оперирует рациональными числами.

Someone в сообщении #721483 писал(а):

Во многих случаях "точного" значения физической величины вообще не существует. Сами эти "точные значения" являются всего лишь абстракциями, то есть, логическими конструкциями, и относятся к математическим моделям, а не к физическому миру.

Someone в сообщении #721483 писал(а):

Невозможность точного измерения различных физических величин имеет физические причины, а не математические.

Совершенно верно. Но речь идет не об измерениях физических величин, а их формальном (числовом) отображении в математических моделях теоретической физики.

Someone в сообщении #721483 писал(а):

Если Вас эти модели не устраивают - предъявите лучшие....

Вопрос не об эффективности конкретных моделей. Вопрос о принципах построения этих моделей. А там не все так гладко. Например, Вы слышали о принципе неопределенности Гейзенберга, который ограничивает, в том числе и в математических моделях точность представления физических величин.

Можно сказать, Бога ради. Эти ограничения становятся значимыми лишь при их приближению к малой доле, которая называется постоянная Планка. Но Вы же математик и знаете, что метод дифференциального исчисления будет корректен если дифференциал - это бесконечно малая часть какой либо величины. И никто не обещает, что он (дифференциал) не окажется меньшим постоянной Планка. Отсюда возникает вопрос: как эти два требования (Гейзенберга и дифференциального исчисления) дружат друг с другом.


Для epros

epros в сообщении #721494 писал(а):

Не понимаю, какая проблема? Числовая ось специально определяется таким образом, чтобы её отрезки содержали бесконечное количество чисел. Зачем их заполнять конечным количеством чисел?

Насколько я понимаю, числовая ось - это геометрическая интерпретация чисел. Точка на числовой оси определяет отрезок (от начала числовой оси до этой точки), длину которого будет отображать число соответствующее этой точке. В рамках такой интерпретации всегда можно указать отрезок такой "плохой" длины, что отобразить ее числом в конечной форме не удастся. То есть не удастся подобрать такой способ деления исходного (единичного отрезка) целыми и долями которого можно без зазоров заполнить "плохой" отрезок.
И таких "плохих" отрезков (даже на ограниченном участке числовой оси) будет сколь угодно много. Надо думать, что ни чуть не меньше чем "хороших", длину которых можно составить из целых и частей единичного отрезка.

При этом подразумевается, что способ деления единичного отрезка определяется конечным набором правил. Такой способ задания чисел на числовой оси я и называют рациональной системой счисления.

epros в сообщении #721494 писал(а):

Не понимаю о чём Вы. Рациональный отрезок состоит из чисел, каждое из которых записывается конечным количеством цифр.

Вот здесь я не понимаю. Рациональный отрезок - это отрезок числовой оси, из которого исключены иррациональные числа? То есть это отрезок числовой оси с пробелами?

epros в сообщении #721494 писал(а):

Не понимаю сути «некорректности». Куда Вы собираетесь «отображать» величины «со сколь угодно большой точностью»?

В дифференциальных уравнения заведомо подразумевается, что величины (в долях которых эти уравнения записаны) определены с бесконечно большой точностью.

epros в сообщении #721494 писал(а):

Это неверно. Есть необратимые по времени уравнения...

Я слышал о таких, но не могу представить как уравнение, имеющее решение в аналитическом виде, может быть необратимым во времени поскольку дифференцирование этого решения я всегда могу вернуться в прошлое.

epros в сообщении #721494 писал(а):

К тому же, какое это имеет отношение к конечности или бесконечности записи чисел?

Прямое. Но пояснениями я не хочу перегружать данный ответ.

[iifat]

jurij в сообщении #722849 писал(а):

И таких "плохих" отрезков будет сколь угодно много. Ничуть не меньше чем "хороших"

Мелкое замечание: гораздо больше.
Ну, если коротко и на всё сразу, то математика таки умеет работать как с хорошими, так и с плохими числами. И таки физика тож. Не то чтобы всё знали, но таки постепенно узнаём больше.
Понимаю, что неконкретно, но вы умудрились назадавать столько вопросов, что для ответа придётся пару десятков учебников сюда наколотить.

[Someone]

jurij в сообщении #722849 писал(а):

Someone в сообщении #721483 писал(а):

Множество - это не мешок.

Совершенно верно. Мешок, в моем понимании, это признак принадлежности, например картофелины, к множеству, которое называется "мешок картошки". Если это пустое множество, т.е. в нем нет картошки, то оно называется "пустой мешок".

Мешок картошки - не множество. Пустой мешок - тоже.

jurij в сообщении #722849 писал(а):

Someone в сообщении #721483 писал(а):

Если Вы имеете в виду конечную запись в какой-то системе счисления, то да, не у всякого действительного числа имеется такая запись (и даже, как правило, не у всякого рационального числа).

Именно это я имел ввиду.

Ну нет записи какого-то числа в виде конечной десятичной дроби. Ну и что? Возможно, у него есть конечная запись в другом виде. Например, $\frac 13$. Или $4\arctg 1$.

jurij в сообщении #722849 писал(а):

Someone в сообщении #721483 писал(а):

Кстати, что такое "рациональная система счисления"?

Система, которая оперирует рациональными числами.

Рациональных чисел недостаточно. Это ещё древним грекам было известно. Во времена Пифагора.

jurij в сообщении #722849 писал(а):

Someone в сообщении #721483 писал(а):

Если Вас эти модели не устраивают - предъявите лучшие....

Вопрос не об эффективности конкретных моделей. Вопрос о принципах построения этих моделей. А там не все так гладко. Например, Вы слышали о принципе неопределенности Гейзенберга, который ограничивает, в том числе и в математических моделях точность представления физических величин.

Можно сказать, Бога ради. Эти ограничения становятся значимыми лишь при их приближению к малой доле, которая называется постоянная Планка. Но Вы же математик и знаете, что метод дифференциального исчисления будет корректен если дифференциал - это бесконечно малая часть какой либо величины. И никто не обещает, что он (дифференциал) не окажется меньшим постоянной Планка. Отсюда возникает вопрос: как эти два требования (Гейзенберга и дифференциального исчисления) дружат друг с другом.

Прекрасно дружат. Квантовая физика, оперируя с точными числами, независимо от того, допускают они конечную десятичную запись или не допускают, и пользуясь дифференциальным исчислением, прекрасно учитывает принцип неопределённости и даёт очень точные предсказания, согласующиеся с экспериментом. А Вы хотите, сами не знаете чего.

[epros]

jurij в сообщении #722849 писал(а):

При этом подразумевается, что способ деления единичного отрезка определяется конечным набором правил. Такой способ задания чисел на числовой оси я и называют рациональной системой счисления.

Всё равно не понял, что за "рациональная система счисления". Рациональные числа определяются как пары из натуральных числителя и знаменателя. Вы это имели в виду под "конечным набором правил деления единичного отрезка"? В таком случае, иррациональные числа оказываются неохваченными этой системой. Поэтому есть ещё понятие действительных чисел, которые определяются как пределы фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

jurij в сообщении #722849 писал(а):

Рациональный отрезок - это отрезок числовой оси, из которого исключены иррациональные числа? То есть это отрезок числовой оси с пробелами?

Не знаю, что Вы здесь имеете в виду под "пробелами", но рациональный отрезок - это отрезок, состоящий из рациональных чисел. Разумеется, иррациональных чисел на нём нет. Хочу заметить, что на рациональном отрезке тоже бесконечное количество точек. И какая в этом проблема?

jurij в сообщении #722849 писал(а):

В дифференциальных уравнения заведомо подразумевается, что величины (в долях которых эти уравнения записаны) определены с бесконечно большой точностью.

Ну и что? Производная определяется как предел соответствующего отношения. Какая в этом некорректность?

jurij в сообщении #722849 писал(а):

Я слышал о таких, но не могу представить как уравнение, имеющее решение в аналитическом виде, может быть необратимым во времени поскольку дифференцирование этого решения я всегда могу вернуться в прошлое.

Просто может оказаться несколько решений, которые различаются, начиная с некоторой точки ветвления (бифуркации). Это может иметь место, когда нарушено условие, заложенное в теорему о единственности решения задачи Коши. Поэтому тот (неоднозначный) ответ о конечном состоянии системы, который Вы сможете рассчитать из начальных условий, не позволяет решить обратную по времени задачу: Рассчитать начальное состояние на основании знаний о конечном состоянии.

Надо заметить, что в физике (да и вообще в реальности) таких задач полно. Типичный случай - это задачи с термодинамической необратимостью: Молекулы газа, которые в начальный момент были в левой половине сосуда, через секунду оказываются равномерно распределены по всему сосуду. И по конечному состоянию, как правило, невозможно определить, что молекулы секунду назад все были в левой половине сосуда.

[mihailm]

Тоже хочу про мешки написать)

jurij в сообщении #721409 писал(а):

...То есть? Двух пустых мешков быть не может?...

Пустые мешки из под картошки, цемента или мусора конечно разные, но пустота в них (в математическом смысле) одинаковая!

[master]

Someone в сообщении #722913 писал(а):

Мешок картошки - не множество

ух ты, русский язык стал формальным
картофелины в этом данном мешке, теперь формально множество

[Someone]

master в сообщении #723121 писал(а):

Someone в сообщении #722913 писал(а):

Мешок картошки - не множество

ух ты, русский язык стал формальным
картофелины в этом данном мешке, теперь формально множество

Доказательство: если мешок картошки - множество, то во всём мире должен существовать только один пустой мешок. А у меня этих мешков целая куча лежит. Получили противоречие с известной теоремой теории множеств, что пустое множество единственно. Поэтому мешок картошки - не множество.

С уточнением это тоже неверно, поскольку совокупность всех множеств и их элементов должна быть определена, а в примере с картошкой совокупность картофелин и мешков не является определённой.

Мой протест против такого словоупотребления связан с тем, что jurij пытается на примере мешков с картошкой решать формальные проблемы теории множеств.

[iifat]

Someone в сообщении #723139 писал(а):

Мой протест против такого словоупотребления связан с тем, что jurij пытается на примере мешков с картошкой решать формальные проблемы теории множеств

Таки, справедливости ради, проверка теоремы теории множеств на модели — занятие вполне почтенное. Если не путаю, непротиворечивость Римановой геометрии была доказана путём отображения на сферическую.
При непременном условии, разумеется, предельно аккуратного построения оной модели.