Философия или математика - что есть "царица наук"?

[Munin]

romka_pomka в сообщении #718698 писал(а):

Но мне понравился Ваш вопрос.

Поздравляю, рад за вас. Тогда, можете отвечать на него. Правда, меня этот ответ всё равно не интересует.

romka_pomka в сообщении #718698 писал(а):

показалось, что это можно обсудить или хотя бы подчеркнуть.

Обсуждать я с вами ничего не буду.

[g______d]

romka_pomka в сообщении #718676 писал(а):

ну... Эйнштейн там что-то постулировал. В теор. физике постулат - не редкость.

Тогда законы Ньютона, что ли, тоже постулаты?

Можно, конечно, их так называть, но фактически это просто набор требований к математической модели. Которые мотивированы экспериментальными данными или какими-то свойствами предыдущих моделей.

Мне не кажется, что какие-то положения физики можно называть постулатами, поскольку у любой физической теории есть границы применимости.

[Neloth]

g______d в сообщении #718660 писал(а):

Ну вообще-то так и есть. Более точно, часть определения.

Может быть в каждом определении и кроется какая-то аксиома, но я все равно не вижу, как этим обстоятельством можно эффективно воспользоваться в биологии.

[romka_pomka]

g______d в сообщении #718767 писал(а):

Мне не кажется, что какие-то положения физики можно называть постулатами, поскольку у любой физической теории есть границы применимости.

Понял Вас так, что это вопрос договоренности, что чем называть.

[Doil-byle]

Tor в сообщении #718569 писал(а):

Они не умели системно обобщать. До открытия Фалеса не умели. До него вместо общего решения задач были треугольники на все случаи жизни. Про ежедневный подвиг фараона я уже написал. Религия была их мировозрением, где уж тут системное, критическое осмысление мира. Да и потом логика применялась долгое время по настоящему успешно в основном математике и она неплохо продвинулась. Конечно и до Фалеса кое-что за десятилетия или столетия осваивали - календарь.

Ещё раз повторите. Примерами "системного обобщения" являются числа. Следы использования чисел обнаруживаются уже в верхнем палеолите (под числом понимается эталон, обозначающий какое-то конкретное количество - будь то 5 или кулак (не конкретный кулак, а картинка)). Сравнивать количество предметов люди научились ещё раньше. С Фалеса началась не логика, а математическое доказательство, которое постоянно широко применяется только в математике, физике и информатике.

Tor в сообщении #718569 писал(а):

Насчет ориентирования по звездам и солнцу, ну секстант появился гораздо позже, в 18 веке н.э. Вот пример:

Я имел в виду не секстант, а примерное определение направления относительно сторон света.

Tor в сообщении #718569 писал(а):

Объект существует, если мы его верифицированно наблюдаем. Существование математических объекты мы задаем сами, а наблюдаем мы за ними с помощью логики, вычислений, графических рисунков и математических текстов.

Ага, значит атом не существовал в Древнем Риме? Кроме того, откуда следует, что не существует, например, другой вселенной с другими физическими законами? В современной физике рассматриваются и такие идеи. Я могу
себе представить другой мир, который просто геометрически не будет находиться в нашем пространстве даже за пределами вселенной. Но это уже другая степь. Я хочу сказать о том, что мы не задаём существование математических объектов. Они сами себе существуют. Очевидно, что какие-нибудь разумные инопланетяне тоже откроют математику, но с другими значками, обозначающими те же понятия. Есть даже некоторый эксперимент на Земле: японцы, будучи прежде в культурной изоляции, независимо развили свою математику - "Васан". Математика вообще не предполагает существование материального мира. Он в ней просто не рассматривается.
Примерно тоже касается и универсальных понятий.

Tor в сообщении #718569 писал(а):

смысле не определяется? В системе Пеано? Любой элемент множества определяете за первый, а затем устанавливаете правило следования.

Нет, у Пеано просто без определения даются символы $1$, $+1$ и $\mathbb{N}$ и даются аксиомы о том, что $1 \in \mathbb{N}$ и $\forall z (z \in \mathbb{N} \Rightarrow z+1 \in \mathbb{N})$. Это и есть примерно то, о чём вы сказали. Здесь нет ни определения единицы, ни определения мн-ва натуральных чисел. Можно определить это всё формально в NBG, например, но это уже другая формальная теория. Там, например, $1= \{\varnothing\}$, а $\mathbb{N}$ определяется как подмножество класса всех ординалов, все элементы которого вполне упорядочиваются определённым отношением. Ну мне лень всё это формально писать, но это можно.

Tor в сообщении #718569 писал(а):

Про Пеана я уже написал, а это что % деление с остатком? Если да, то я не помню про него у Евклида, хотя помню как вводится алгоритм Евклида в стандартном курсе.

Нет % - это просто произвольный символ произвольной теории, который я дал в качестве примера. Неудачно я символ выбрал. Можете взять # или $ \dagger $. Они не имеют никакого определения и никакого смысла и примеров из жизни, однако их как бы тоже можно положить в основу какой-нибудь формальной теории.
А алгоритм Евклида имеет отношение к определению "нод", а не деления с остатком. Деление с остатком определяется в рамках арифметики Пеано на основе принципа Архимеда, который, как можно доказать, выполняется на мн-ве натуральных чисел.

Tor в сообщении #718569 писал(а):

Ну математики тоже не всегда все в виде такой импликации записывают. Такая строгость излишняя для работы биолога и ничего ему дополнительно, кроме геморроя не даст. Все равно, что оперировать миллиграммовыми гирями на торговых весах на рынке. Все специфические понятия в биологии определены (его аксиомы) и он ими манипулирует используя словесные формы естественного языка из А, Б, С следует Д. Переходы у него простые и короткие, требования к опытам стандартизированы. Он отражает их в своем отчете и публикует. Любой специалист по его теме может его за ошибки, погрешности покритиковать. Я не вижу тут проблемы с нарушением правил логики.

Всё это относится и просто к человеческим рассуждениям. И в данном опыте с крысой биолог рассуждает (в реальности, а не в моём описании) менее математически, чем какой-нибудь бразильский бизнесмен, не владеющий никакой математикой кроме сложения и умножения.

[g______d]

Doil-byle в сообщении #718835 писал(а):

Нет, у Пеано просто без определения даются символы $1$, $+1$ и $\mathbb{N}$ и даются аксиомы о том, что $1 \in \mathbb{N}$ и $\forall z (z \in \mathbb{N} \Rightarrow z+1 \in \mathbb{N})$. Это и есть примерно то, о чём вы сказали. Здесь нет ни определения единицы, ни определения мн-ва натуральных чисел.

Не понимаю. Почему нет определения? Определение есть: множество натуральных чисел -- это тройка из множества, элемента этого множества и унарной операции, удовлетворяющей четырем свойствам (или аксиомам, без разницы). Символы $1$, $+1$ и $\mathbb N$ -- это просто удобные обозначения для элементов тройки. Никаких свойств мы на веру не принимаем, разве что существование такого объекта, но последнее -- это более сложный вопрос.

Фактически, мы даже существования на веру не принимаем, поскольку все теоремы о натуральных числах имеют смысл только в предположении существования (а если натуральных чисел не существует, то все эти теоремы и так автоматически верны).

-- 02.05.2013, 20:21 --

Tor в сообщении #718569 писал(а):

Они не умели системно обобщать. До открытия Фалеса не умели.

Это абсолютная глупость. Способность системно обобщать (на каком-то уровне) появилась одновременно с мышлением и разумом. Собственно, я даже слышал определение мышления, основанное на этом.

[Doil-byle]

g______d
А как определяется 1? И разве в арифметике Пеано есть понятие "множество"?

[g______d]

Doil-byle в сообщении #718849 писал(а):

И разве в арифметике Пеано есть понятие "множество"?

Да, действительно, её можно определить без множеств. Тогда это будет некоторый отдельный язык. Можно тогда говорить что-то вроде "арифметика Пеано -- это язык, в котором такие-то предложения назовем выводимыми, а также такие, которые можно получить из выводимых с помощью таких-то правил вывода".

Давайте рассмотрим такой пример: назовем математиком человека, удовлетворяющего хотя бы одному из двух критериев:

1. Хотя бы один математик считает его математиком.
2. Он Гаусс.

Что такое здесь пункт 2? Аксиома или определение? По-моему, определение. Мы же не принимаем на веру какое-то высказывание о Гауссе, а просто вводим, можно сказать, обозначение.

Doil-byle в сообщении #718849 писал(а):

А как определяется 1?

Ну как, тот выделенный элемент, который является частью определения $\mathbb N$, обозначается через 1. Можно доказать, что элемент с такими свойствами единственен. Или в чём был вопрос?

[Munin]

g______d в сообщении #718767 писал(а):

Мне не кажется, что какие-то положения физики можно называть постулатами, поскольку у любой физической теории есть границы применимости.

Положение физики называется постулатом:
- в рамках определённой теории,
- если в рамках этой теории оно не выводится из других фактов, а играет роль аксиомы в матаппарате,
- и если истинность этого положения известна из чего-то внешнего по отношению к теории (например, напрямую из экспериментальных фактов).
Истинность постулата может быть ограничена так же, как и теории, а может быть шире (тогда границы применимости теории ограничены, кроме данного постулата, чем-то ещё).
По-моему, так.

[Doil-byle]

g______d в сообщении #718860 писал(а):

Да, действительно, её можно определить без множеств. Тогда это будет некоторый отдельный язык. Можно тогда говорить что-то вроде "арифметика Пеано -- это язык, в котором такие-то предложения назовем выводимыми, а также такие, которые можно получить из выводимых с помощью таких-то правил вывода".

Вот такая арифметика мне сейчас и нужна - как пример достаточно простой формальной теории.

g______d в сообщении #718860 писал(а):

Давайте рассмотрим такой пример: назовем математиком человека, удовлетворяющего хотя бы одному из двух критериев:

1. Хотя бы один математик считает его математиком.
2. Он Гаусс.

Что такое здесь пункт 2? Аксиома или определение? По-моему, определение. Мы же не принимаем на веру какое-то высказывание о Гауссе, а просто вводим, можно сказать, обозначение.

Ну аксиома же. Не выводится ведь из других высказываний теории и при этом используется для вывода теорем.

g______d в сообщении #718860 писал(а):

Ну как, тот выделенный элемент, который является частью определения , обозначается через 1. Можно доказать, что элемент с такими свойствами единственен. Или в чём был вопрос?

Видимо то, что этот элемент состоит из одного символа. Т.Е. является исходным понятием теории, а не определяется через другие.
И, насколько я понимаю, если не использовать понятие множества, $\mathbb{N}$ тоже не может определяться через принадлежащие ему элементы, а также является исходным понятием.

Я на самом деле уже пишу с закрытыми глазами, поскольку, как я уже говорил, не изучал матлогику и потому мне сейчас тяжело.

[Doil-byle]

Doil-byle в сообщении #718916 писал(а):

Видимо то, что этот...

Я хотел сказать, "видимо я имел в виду то, что..." (в чём был вопрос).

[Tor]

romka_pomka писал(а):

Я запутался: арабы (которые "аль джебре" и всё такое) - они же не монголоиды?

Не монголоиды.

romka_pomka писал(а):

Только верить и остается же, если фактов нету.

Можно принять существование за аксиому, но она будет не совместима с наблюдаемой реальностью. Так и петь в псалмах веруем в нашего выдуманного бога. Подайте на пропитания выдуманного бога ради. Люди платят за книги "Незнайка на Луне", почему бы не продавать свою книгу мертвых.

romka_pomka писал(а):

а то, что Мы сами существуем - в это предлагается верить? Чем то похоже на: "ты меня уважаешь, я тебя... да мы же уважаемые люди!"

Это более сложный вопрос чем кажется. Нельзя исключать, что мы всего лишь коды в игровой программе. Но даже если мы только код, то мы существуем пусть и в таком виде. В конце концов мы в любом случае код ДНК и т.п.

Munin писал(а):

Tor писал(а):

Объект существует, если мы его верифицированно наблюдаем. Существование математических объекты мы задаем сами, а наблюдаем мы за ними с помощью логики, вычислений, графических рисунков и математических текстов.

Существуют ли:
- облака?
- радуги?
- молнии?
- шаровые молнии?
- НЛО?
- ангелы?
- Евгений Онегин?
- таблица умножения?

Если исходить из данного мною определения, то облака, радуги, молнии, шаровые молнии существуют. НЛО, ангелы, Евгений Онегин, таблица умножения существуют в выдуманом мире, если мы принимаем это как аксиому при условии, что она внутренне не противоречива. Надо только при этом отличать идею от существование носителя. К примеру книга Евгений Онегин существует в рельном мире и без этой аксиомы существования. Некотрые аксиомы существования будут несовместимыми, значит у каждой свой отдельный виртуальный мирок. Некоторые идеи со временем могут перейти в рельный мир - например чертежи новой модели самолета воплощаются в металле. Пока мне это видится так, если вы покритикуете, то может быть я что-то изменю.

Neloth писал(а):

Я вам уже много раз привел пример: везде, кроме физики, наблюдается огромный объем знаний, не изложенный на языке математики.
Но вы в ответ упорно продвигаете идею том, что внятное изложение своих мыслей уже надо засчитывать как использование математики.

Мы же вроде бы уже обсудили с вами эту тему, что речь шла о логике. В любом случае вы опять не привели конкретного примера. Не хотите, чтобы я его обсудил?

Neloth писал(а):

Нужна теория, которая позволяла бы заранее сказать, хорошо ли определено понятие, достаточно ли приведенных примеров, чтобы человек правильно выделил из них понятие, которое они иллюстрируют. А ее нет. Некоторые понятия могут прекрасно использоваться без каких-то дополнительных пояснений, а некоторые и при огромном объеме примеров уловить сложно.
Так что аргументом против формальной стороны философских рассуждений недостаточность определений быть не может.
Я думаю, многие философы вполне представляют себе понятия, которые они используют, и даже уверены, что остальные представляют их себе также, и, кто знает, может быть иногда это на самом деле так.

Я думал вы поймете, что я хотел сказать. Другой пример, я мощный суперкомпьютер и у меня гиганская оперативная память, скажем один эксабайт. Тогда я не связан жалким буфером кратковременной человеческой памяти и могу хоть тысячу понятий ввести на примерах. Размытое это ваше "хорошо определенное понятие". Кому хорошо? Компьютеру? В чем хорошо? Мы опираемся на человеческий мозг, а он весьма ограничен в фокусе своего сознания. Большинство процессов в нашем организме управляется подсознанием или автономно. Вот из этого и надо исходить.

Neloth писал(а):

Нет. Логика вполне может обходиться без научного метода.

Вы спорите как философ - не давая опрелений, не приводя примеров. Такой спор, как я показывал ранее, бессмыселен.

Neloth писал(а):

В общем я понял, у вас какое-то интересное видение истории науки и свои представления о задачах логики.

Да, старые псалмы в хоре я не пою. Пытаюсь разобраться в интересных для меня темах сам и сформировать свое мнение. Если для меня это не подъемно, обычно из-за недостатка времени, то опираюсь на мнение специалиста. Те же идеи профессора Савельева. Кроме его аргументации, они еще в некотрых местах совпадают с моим личным опытом.

Neloth писал(а):

В том, что вы смешиваете логику и научный метод. Это разные вещи, научный метод никак из логики не следует.
Первоначально люди открыли, что можно манипулировать истинными высказываниями по определенным правилам и получать другие истинные высказывания и начали всюду лезть с этим методом, а уже потом выяснилось, что полноценно работает он только при некоторых дополнительных условиях (либо в случаях, когда легко добиться того, чтобы основные понятия одинаково всеми воспринимались, как в математике, либо при использовании научного метода). Но в качестве побочного продукта успела развиться философия.

Я уже написал выше, что вы не даете определений, не приводите примеров, т.е. спорите как философ.
Не люди, а Фалес и они никуда сначала не лезли, кроме математики. Сократ использовал кое что в своих дискуссиях, его ученики - это да, поперли. Платон со своим платонизмом, его ученик Аристотель формализовал логику и заодно родил монстра метафизику. После этого полился водопад брехни и продолжался он до Ньютона. Ньютон кранчик метафизике перекрыл, но философы уже не могли остановится.

Neloth писал(а):

Ах, ну раз вы еще раз это повторили, то теперь, конечно, верно.

А вы опровергните их по одному, по пунктам. Я их все привел, перечитайте. Если не можете, так и пишите. Я уже вам написал, что Евклидовы Начала, тоже столетиями не менялись, но почему-то от этого не переставали быть математикой.

Neloth писал(а):

Если делать выводы на основе этих случаев, становится вообще непонятно, как им удавалось выжить.
Но, если учесть, что формализовал логику Аристотель, а Фалес и без этого ей пользовался, можно предположить, что представления о том, как следует вести рассуждения, у людей были, иначе Фалесу пришлось бы начинать с формального описания.

1. А многие и не выжили. Вспомните историю евреев. Одно время они вместо укрепления своего государства, укреплялись в вере. Кончилось это вавилонским пленом, но выводы и после этого были сделаны неправильные - мало молились. В древности для начала войны обращались к жрецам. Вспомните, как Клеопатра по совету жрецов отозвала свои корабли и в результате Октавиан победил, но проиграли и египтяне и римляне - появились в Риме наследные императоры, которые в итоге привели Рим к краху. Вспомните также и варфаламеевскую ночь. Вся история пронизана самодурством и глупостью.
2. И так и этак прочитал, но логики не увидел. Формализация теории обычно происходит позже ее открытия.

g______d писал(а):

Тогда законы Ньютона, что ли, тоже постулаты?
Можно, конечно, их так называть, но фактически это просто набор требований к математической модели. Которые мотивированы экспериментальными данными или какими-то свойствами предыдущих моделей.
Мне не кажется, что какие-то положения физики можно называть постулатами, поскольку у любой физической теории есть границы применимости.

Постулат это скорее непроверенное предположение, т.е. тоже что и гипотеза. Аксиомы не надо доказывать.

Doil-byle писал(а):

Ещё раз повторите. Примерами "системного обобщения" являются числа. Следы использования чисел обнаруживаются уже в верхнем палеолите (под числом понимается эталон, обозначающий какое-то конкретное количество - будь то 5 или кулак (не конкретный кулак, а картинка)). Сравнивать количество предметов люди научились ещё раньше.

Я бы не стал преувеличивать возможности системного обобщения в неолите.

Цитата:

Речь идет об индивидуальных множествах, узнаваемых и различаемых по особым индивидуальным признакам: «число» множества — поскольку о нем вообще можно говорить — выступает не в форме определенной и измеримой численной величины, а как своего рода «числовой гештальт», как наглядное качество, присущее еще совершенно нерасчлененному общему впечатлению множества.
В языке этот принципиальный подход наиболее ясно проявляется в том, что изначально он не располагает общими счетными выражениями как таковыми, приложимыми к любым исчислимым предметам, а применяет для особых классов объектов соответственно особые, предназначенные лишь для них числовые обозначения. Пока число понимается еще исключительно как вещное число, до тех пор в принципе должно быть столько же чисел и их групп, сколько существует различных классов вещей. Если численность множества предметов мыслится лишь как качественный атрибут, принадлежащий вещам точно так же, как пространственная структурированность или какое-либо чувственное свойство, то и язык оказывается лишенным возможности отделить ее от прочих свойств и создать для нее общезначимую форму выражения. И в самом деле, постоянно обнаруживается, что на примитивных ступенях языкового развития обозначение числа непосредственно сливается с обозначением вещи и свойства. Одно и то же содержательное обозначение служит в этом случае одновременно и выражением свойств предмета, и выражением его числовой характеристики. Существуют слова, выражающие разом и особый род объектов, и особое групповое свойство этих объектов. Например, в языке островов Фиджи существует в каждом случае особое слово, обозначающее группы по два, десять, сто, тысяче кокосовых орехов или же группу в десять кану, десять рыб и т.д.

http://cl.rushkolnik.ru/docs/7840/index ... ml?page=14

Doil-byle писал(а):

С Фалеса началась не логика, а математическое доказательство, которое постоянно широко применяется только в математике, физике и информатике.

Если я вас правильно понял, то тут вы сами себе противоречите. Если до Фалеса люди знали логику, то почему не использовали ее в математических доказательствах? Логика ведь это и есть теория доказательств. С планиметрией ковырялись за тысячелетие до этого в Египте. Представляете какой это гигантский срок для изучения планиметрии.

Doil-byle писал(а):

Я имел в виду не секстант, а примерное определение направления относительно сторон света.

Компас изобрели в 11 веке н.э. в Китае. По солнцу трудно ориентироваться не имея точных часов и секстанта, так примерно по восходу и закату. По полярной звезде да, можно, но только ночью в хорошую погоду.

Doil-byle писал(а):

Ага, значит атом не существовал в Древнем Риме? Кроме того, откуда следует, что не существует, например, другой вселенной с другими физическими законами? В современной физике рассматриваются и такие идеи. Я могу себе представить другой мир, который просто геометрически не будет находиться в нашем пространстве даже за пределами вселенной. Но это уже другая степь. Я хочу сказать о том, что мы не задаём существование математических объектов. Они сами себе существуют. Очевидно, что какие-нибудь разумные инопланетяне тоже откроют математику, но с другими значками, обозначающими те же понятия. Есть даже некоторый эксперимент на Земле: японцы, будучи прежде в культурной изоляции, независимо развили свою математику - "Васан". Математика вообще не предполагает существование материального мира. Он в ней просто не рассматривается.
Примерно тоже касается и универсальных понятий.

1. Атом придумали в Древней Греции, но да, его там не наблюдали.
2. Существование математических объектов именно, что задается. Например, аксиома существование пустого множества.

Doil-byle писал(а):

Нет, у Пеано просто без определения даются символы $1$, $+1$ и $\mathbb{N}$ и даются аксиомы о том, что $1 \in \mathbb{N}$ и $\forall z (z \in \mathbb{N} \Rightarrow z+1 \in \mathbb{N})$. Это и есть примерно то, о чём вы сказали. Здесь нет ни определения единицы, ни определения мн-ва натуральных чисел. Можно определить это всё формально в NBG, например, но это уже другая формальная теория. Там, например, $1= \{\varnothing\}$, а $\mathbb{N}$ определяется как подмножество класса всех ординалов, все элементы которого вполне упорядочиваются определённым отношением. Ну мне лень всё это формально писать, но это можно.

Это я все знаю, только не понятно почему вы считаете, что 1 не задается? Выбираем любой элемент множества и обозначаем его 1. Система Пеана это же упорядоченная тройка {P, Sc, 1). Где P некоторое множество, Sc функция следования и 1 выделенный элемент из P. Плюс три свойства. Потом аксиомой задаем существование хотя бы одной системы Пеано. Все как раз задается.

Doil-byle писал(а):

А алгоритм Евклида имеет отношение к определению "нод", а не деления с остатком. Деление с остатком определяется в рамках арифметики Пеано на основе принципа Архимеда, который, как можно доказать, выполняется на мн-ве натуральных чисел.

Так как раз с помощью алгоритма деления с остатком (может громко звучит, но я так привык называть) и выводится НОД.

Doil-byle писал(а):

Всё это относится и просто к человеческим рассуждениям. И в данном опыте с крысой биолог рассуждает (в реальности, а не в моём описании) менее математически, чем какой-нибудь бразильский бизнесмен, не владеющий никакой математикой кроме сложения и умножения.

К простым не относится. Я тут уже примеры приводил с женской логикой. Можно вспомнить верующих во все подряд: в богов, приметы, знаки зодиака, доброго царя, злую Америку, в мир во всем мире и т.п. Это все влияет на логику простых людей.
У биолога опыт проходит по стандартам, все регламентировано, чтобы уменьшить вероятность ошибки. Про бразильского бизнесмена такого не скажешь - свободный полет мысли: Карты, деньги, два ствола.

g______d писал(а):

Это абсолютная глупость. Способность системно обобщать (на каком-то уровне) появилась одновременно с мышлением и разумом. Собственно, я даже слышал определение мышления, основанное на этом.

Выше в этом посту, я привел пример с числами - об индивидуальных множествах, узнаваемых и различаемых по особым индивидуальным признакам. Вы наверно не заметили слова "системно" обобщать. По мелочи и обезьяна что-то обобщить может. Если египтяне многими-многими веками строили пирамиды и занимались планиметрическими задачами, а доказывать их так и не научились, то о каком системном обобщении может идти речь?

[g______d]

Doil-byle в сообщении #718916 писал(а):

Ну аксиома же. Не выводится ведь из других высказываний теории и при этом используется для вывода теорем.

Если понятие "математик" до этого не было введено, то чем это отличается от определения? Чтобы говорить о выводимости из других высказываний, само утверждение должно быть высказыванием, а оно таковым не является, т. к. содержит новое понятие.

В этом разница, например, с постулатом вроде "Скорость света не зависит от скорости источника", поскольку в этом утверждении все понятия были ранее известны. Но в данном случае эти понятия в новой теории переопределяются так, чтобы в пределах применимости старой теории и погрешности измерений они совпадали со старыми. Т. е. по сути это высказывание --- это требование к новой теории.

[Tor]

g______d писал(а):

Если понятие "математик" до этого не было введено, то чем это отличается от определения? Чтобы говорить о выводимости из других высказываний, само утверждение должно быть высказыванием, а оно таковым не является, т. к. содержит новое понятие.

В этом разница, например, с постулатом вроде "Скорость света не зависит от скорости источника", поскольку в этом утверждении все понятия были ранее известны. Но в данном случае эти понятия в новой теории переопределяются так, чтобы в пределах применимости старой теории и погрешности измерений они совпадали со старыми. Т. е. по сути это высказывание --- это требование к новой теории.

Любое определение понятия имеет содержание и объем. Содержание это ограничивающие условия, объем всевозможные объекты, попадающие под определение. Определение понятия формирует множество, состоящих из объектов, удовлетворяющих условию.

Аксиома существования пустого множества - это утверждение, т.е. сначала мы даем его определение, а потом утверждаем, что оно существует.
В биологии мы просто даем определение, т.к. объекты существуют в реале. В математике нужно дополнительно утверждать об их существовании.

Таким образом, в естественных науках мы даем определение. Если мы не уверены в существовании определенного множества объектов, мы его дополнительно постулируем, а затем постулат проверяем. Например: постулаты ОТО, существование бозона Хиггса. В математике, если мы выводим новое понятие из других понятий, мы его просто определяем. Но если у нас пока нет примеров его объектов, то мы его существование тоже постулируем - выдвигаем гипотезу существования, а затем ее проверяем. Если же это базисное понятие, мы вводим его существование аксиомой: "Аз есмь!"

[Doil-byle]

Tor в сообщении #718956 писал(а):

1. Атом придумали в Древней Греции, но да, его там не наблюдали.
2. Существование математических объектов именно, что задается. Например, аксиома существование пустого множества.

Это был совсем не тот атом. А философская мельчайшая структурная единица материи. Как мы сейчас знаем, атом и сам имеет внутреннюю структуру. Здесь общее только название. И вместо атома можете взять электрон, или протон, или кварк.
Нет, пустое множество может не существовать в другой формальной теории. Реально же и без всяких человеков существуют все эти теории, в том числе и несовместимые - ну это когда в одной теории доказуемо отрицание утверждения, истинного в другой. И в том числе и те, которые ещё не открыты, или никогда не будут открыты.
Также как электрон существовал во времена Древней Греции, тогда же существовало и пустое множество (только в рамках соответствующих теорий), и незнание людей на них никак не влияло.

Tor в сообщении #718956 писал(а):

Это я все знаю, только не понятно почему вы считаете, что 1 не задается? Выбираем любой элемент множества и обозначаем его 1. Система Пеана это же упорядоченная тройка {P, Sc, 1). Где P некоторое множество, Sc функция следования и 1 выделенный элемент из P. Плюс три свойства. Потом аксиомой задаем существование хотя бы одной системы Пеано. Все как раз задается.

Я уже сказал, что рассматривается теория без множеств.

Tor в сообщении #718956 писал(а):

Так как раз с помощью алгоритма деления с остатком (может громко звучит, но я так привык называть) и выводится НОД.

Я с этим не спорил.

Tor в сообщении #718956 писал(а):

Если я вас правильно понял, то тут вы сами себе противоречите. Если до Фалеса люди знали логику, то почему не использовали ее в математических доказательствах? Логика ведь это и есть теория доказательств. С планиметрией ковырялись за тысячелетие до этого в Египте. Представляете какой это гигантский срок для изучения планиметрии.

Это неправда. Да и то, что математика с Фалеса началась, - тоже неправда на самом деле. Она постепенно развивалась с первобытных времён по мере необходимости. Вот цитата из статьи В.И. Арнольда "Математическая дуэль вокруг Бурбаки".

Цитата:

Упомяну еще некоторые удивительные сведения из истории математики и физики, которые я сообщил совершенно незнакомой с ними французской аудитории. Начну с того, что восхищение ролью Евклида и Пифагора в развитии геометрии основано на своеобразных преувеличениях. Историкам уже больше сотни лет известны факты, о которых я расскажу, но математики никогда о них не знали.

Много тысячелетий назад (заведомо до Моисея) в Египте жил замечательный математик, сделавший массу открытий. Он был землемером (отсюда "геометрия") фараона, и известно лишь имя, которое он получил при посмертном обожествлении, - Тот (в функции этого бога на том свете входила перевозка душ умерших в лодке через Стикс или Лету древнего Египта). Первое его математическое открытие - натуральный ряд: он обнаружил, что самого большого целого числа нет (идея актуальной бесконечности), до него числа исчерпывались суммой налога фараону. Тот научился проводить доказательства, основанные на факте существования актуальной бесконечности.

Вторым я назову не вполне математическое открытие: изобретение первого фонетического алфавита. До этого письменность в Египте была только иероглифической. Тот же уменьшил число символов до нескольких десятков, сообразив, что, скажем, звук "с" можно всегда изображать упрощенным иероглифом, ранее означавшим слово "собака".

В диалоге Платона "Федр" описано обсуждение Тотом и главным египетским богом Аммоном изобретения алфавита. Тот утверждает, что способность записывать информацию сделает людей гораздо умнее, так как им не придется все запоминать, а можно будет тратить ум на размышления. Аммон же возражает, говоря, что, хотя люди восхищены изобретением, умнее они не станут. "Напротив, - говорит он, - они станут глупее, так как отвыкнут думать, полагаясь на свои записи". (Компьютеризацию тогда еще не обсуждали.) Финикийский и еврейский алфавиты произошли от египетского алфавита Тота, а от финикийского - греческий, а от него впоследствии - и римская латиница, и наша кириллица.

Третье изобретение Тота - геометрия. Он придумал (ради измерения площадей участков, чтобы знать и ожидаемый урожай, и налог, и нужное для полива количество нильской воды) и аксиомы, и теоремы, и определения, и построения. Единственное, в чем он не дошел до современного уровня, было то, что он совершенно не интересовался независимостью своих аксиом. Например, вместо аксиомы параллельных Евклида, он ввел, кажется, четыре или пять разных аксиом, каждая из которых на самом деле влечет за собой все остальные. Но он этого не доказывал, а просто пользовался всеми "аксиомами", и честь выбрать из этих аксиом одну ("пятый постулат"), а остальные превратить в теоремы принадлежит Евклиду.

Я также читал, что ещё аж в Индской Цивилизации (3300-1300 до н. э.) были известны, например, бином Ньютона и формула решения квадратного уравнения - а это такие вещи, которые методом тыка без математического вывода не получаются.

g______d в сообщении #718957 писал(а):

Если понятие "математик" до этого не было введено, то чем это отличается от определения? Чтобы говорить о выводимости из других высказываний, само утверждение должно быть высказыванием, а оно таковым не является, т. к. содержит новое понятие.

Математик у Вас - это натуральное число. Оно как раз вполне определено. Я говорю про то, что неопределяемыми следует считать $1$ и $\mathbb{N}$ - то есть Гаусса и "всех математиков". А также "считать кого-то математиком" ($+1)$.

И да, всё же Ваш второй пункт содержит первую часть определения "математика", но не Гаусса. Первый пункт содержит вторую половину определения математика, но не фразы "считает математиком".