Счет и числа.

[Xaositect]

jurij в сообщении #714718 писал(а):

Нереально жесткое условие.

Именно, в нем вся суть математического равенства. Каждый объект равен самому себе, и только.

Та же абстракция числа во многом на эту жесткость опирается: понятие "два" - это то общее, что есть у всех пар на свете; то, с помощью чего можно отличить "две монеты" от "двух камней", не относится к понятию "два", потому что "два" в "двух монетах" и "два" в "двух камнях" - это одно и то же.
Впрочем, это уже философия.

[epros]

jurij в сообщении #714701 писал(а):

Не согласятся потому, что у них другое представление о равенстве.

Какое бы ни было представление о равенстве, простая логика заключается в том, что мы либо различаем объекты (а значит считаем их не равными), либо не различаем (а значит считаем их равными). В обоих случаях аксиомы равенства выполняются. Какие проблемы?

jurij в сообщении #714701 писал(а):

То есть, если Ваши и мои часы "врут" одинаково, то значит они идут очень точно (?).

Если эти часы — самое точное, что у нас есть, то нам наверняка захочется принять их за эталон. А эталоны врать не могут, по определению.

[iifat]

jurij в сообщении #714701 писал(а):

На мой взгляд это вовсе не очевидное утверждение. У Вас один доллар, у меня один евро. Ну или наоборот, неважно. Эти объекты равны между собой - это минимальные денежные единицы. В обменном пункте с этим утверждением не согласятся

А где с такой ересью согласятся, можно поинтересоваться? "пять столов плюс восемь стульев будет тринадцать сто... сту... В общем, неважно чего, но пять плюс восемь будет тринадцать" -- так, что ли?

[bot]

iifat в сообщении #714830 писал(а):

А где с такой ересью согласятся, можно поинтересоваться? "пять столов плюс восемь стульев будет тринадцать сто... сту...

Это будет 13 инвентарных номеров.

[Deggial]

Оффтоп отделён в тему Знаки чисел и взаимодействия

[Lukin]

jurij в сообщении #714718 писал(а):

Xaositect в сообщении #714707 писал(а):

"два объекта равны тогда и только тогда, когда мы никаким образом не можем их отличить".

Нереально жесткое условие.

В нем интересней другое, говоря "два объекта" мы заведомо их различаем, хотя бы так: первый, второй, а затем утверждаем, что "эти два (различных) объекта неразличимы".
Либо у нас "двоится в глазах" при взгляде на один объект, либо, наоборот, разные объекты сливаются в один и тот же. Это чудесное свойство называется равенством, а объекты равными.

[arseniiv]

Lukin в сообщении #716048 писал(а):

говоря "два объекта" мы заведомо их различаем, хотя бы так: первый, второй

Не обязательно.

[Lukin]

Ну, вот, arseniiv, например, может видеть один объект, но утверждать что это два неразличимых. Другие могут видеть два объекта, но утверждать, что это один и тот же объект.
Ничего необычного то тут нет. В первом случае одному объекту присваиваются два имени(указателя-объекта), а во втором двум объектам присваивается одно имя (указатель-объект).
При этом чем являются сами объекты неважно.
Иногда их называют множествами, иногда классами, иногда еще как-то. Иногда отношения между ними зацикливают, но чаще этого избегают, иногда структуры объектов делают простыми, как стрела, иногда сложными, как сеть. Иногда считают, что есть объекты-не указатели, или указатели- не объекты, иногда нет, иногда считают, что существует "первичный" объект (пустой), реже нет и т.д.

[arseniiv]

Когда речь заходит о точном описании чего-либо, вольности понимания двух объектов как одинаковых или разных в зависимости от субъекта ничего полезного не приносят, и поэтому есть только одно отношение равенства. Остальные рассматривающиеся отношения эквивалентности при этом отношениями равенства не называют.

Lukin в сообщении #716060 писал(а):

Иногда считают, что есть объекты-не указатели, или указатели- не объекты, иногда нет

Рассматривать одновременно имена и их денотаты обычно нигде не нужно кроме метатеорий, да и в последних эти вещи не смешиваются.

Lukin в сообщении #716060 писал(а):

иногда считают, что существует "первичный" объект (пустой), реже нет и т.д.

Когда не определено, что понимать под «первичный/пустой объект», лучше об этом вообще не говорить. Вы сказали что-то понимаемое как угодно — и зачем? Что толку от такого философского перечисления? Оно всё равно ничего не описывает.

[jurij]

arseniiv в сообщении #716223 писал(а):

Когда речь заходит о точном описании чего-либо, вольности понимания двух объектов как одинаковых или разных в зависимости от субъекта ничего полезного не приносят, и поэтому есть только одно отношение равенства.

Интересно, а как определяется это самое равенство (тождество?) объектов? На ум приходит только один способ - совмещение.

Lukin в сообщении #716048 писал(а):

В нем интересней другое, говоря "два объекта" мы заведомо их различаем, хотя бы так: первый, второй, а затем утверждаем, что "эти два (различных) объекта неразличимы".

Тождество объектов - это не препятствие, а необходимое условие для их подсчета.
Блестящий тому пример дал bot.

bot в сообщении #714944 писал(а):

А где с такой ересью согласятся, можно поинтересоваться? "пять столов плюс восемь стульев будет тринадцать сто... сту...Это будет 13 инвентарных номеров.

То есть, чтобы сосчитать множество разнородных объектов необходимо определить для них такое множество в котором они станут неразличимыми. В примере bot это множество объектов материального учета.

[arseniiv]

jurij в сообщении #716979 писал(а):

Интересно, а как определяется это самое равенство (тождество?) объектов? На ум приходит только один способ - совмещение.

Притом что вы не определили, что понимать под совмещением.

Как уже говорили, объекты понимаются равными, если их нельзя отличить.
«В формулах» (а изучать математику без формул не получится) это аксиома E1 и схема аксиом E2:

$$\begin{array}{cl} (\mathsf E1) & x = x, \\ (\mathsf E2) & x = y \to (\phi[x / t] \to \phi[y / t]), \end{array}$$

где $\phi[x / t]$ означает формулу $\phi$, в которой переменную $t$ заменили везде на переменную $x$.

Схема аксиом порождает бесконечное число аксиом подстановкой в неё вместо $\phi$ разных формул. Например, подстановка в неё $t = z$ приводит к аксиоме $x = y \to (x = z \to y = z)$. Это ни что иное как транзитивность равенства — если $x = y$ и $x = z$, то $y = z$.

Бывает, в конкретной теории с равенством нет ни E1, ни E2, но тогда они выводимы из остальных аксиом.

[epros]

arseniiv в сообщении #716223 писал(а):

Рассматривать одновременно имена и их денотаты обычно нигде не нужно кроме метатеорий

По-моему, это не совсем так: $0+1=1$, т.е. денотаты равны (как утверждает арифметика), но обозначающие их строки, стоящие слева и справа от знака равенства, различны.

Хотя может быть я не понял Вашу мысль.

[arseniiv]

Наверно, я хотел тогда сказать, что имена отдельно от денотатов не рассматриваются, в том смысле, что имени не должно соответствовать 0 или, например, 2 денотата.

[epros]

arseniiv в сообщении #717186 писал(а):

имени не должно соответствовать 0 или, например, 2 денотата

Хм, наверное Вы имели в виду имена собственные? Потому что имена могут быть нарицательными, которым может соответствовать любое количество объектов. Например, "чётное" - тоже можно рассматривать как имя (если в арифметике для него предусмотрен предикатный символ).

Но константе (да и любому замкнутому терму) конечно же соответствует единственный денотат.

[arseniiv]

Да, собственные.