Счет и числа.

[Doil-byle]

arseniiv в сообщении #713293 писал(а):

Только тут дело в том, что это одно из возможных «кодирований», а нужные свойства чисел всё равно определяются аксиомами Пеано. Говоря объекто-ориентированно, можно сказать, что аксиомы Пеано — это интерфейс, который реализуется всеми классами-представлениями натуральных чисел — и с помощью множеств, и с помощью -термов (есть выше в этой теме), и с помощью чего-нибудь ещё. И когда мы пользуемся ими, мы всегда по факту нуждаемся только в интерфейсе, а остальные детали классов-реализаций нам не нужны.

Ну так jurij вроде как и хотел «кодирование». Насколько я понял, ему не нравилось, что можно действовать с числами, а "потрогать" нельзя - модели нет.

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #713293 писал(а):

Вы думаете услышать приемлемый ответ? Человек вроде бы не хвастался знаниями теории множеств…

Ну в ней необязательно, мне кажется, основательно разбираться, чтобы понять такое определение. Хотя, я могу ошибаться.

[arseniiv]

Doil-byle в сообщении #713347 писал(а):

Насколько я понял, ему не нравилось, что можно действовать с числами, а "потрогать" нельзя - модели нет.

Так вы заменили одну аксиоматическую теорию другой. Теперь нужна модель для множеств.

[jurij]

arseniiv в сообщении #713293 писал(а):

Человек вроде бы не хвастался знаниями теории множеств…

Не хвастался, а потому ответ Doil-byle не то что понять, прочитать не могу.

Someone в сообщении #712903 писал(а):

Значит, Вы не смогли спросить то, что хотели.

Пожалуй. Поэтому я прибегну к примеру. Я не математик. Я больше интересуюсь физикой. Точнее ролью математики в физике. А еще точнее переходом от реальности к физическим (математическим) моделям ее описывающим.

Со времен Исаака Ньютона этот переход осуществляется интуитивно. То есть, каждый исследователь определяет, как отображается то, или иное свойство реального тела в виде физической величины, по-своему.

Можно возразить, что «Это никому неинтересно и не нужно. Кроме того, это тривиально и общеизвестно». Sonic86.

Увы, но это распространенная позиция и среди физиков. Аргумент приблизительно таков. Большинство из нас не знают лингвистики. То есть, мы не знаем, откуда взялись слова и правила ими управляющие. Тем не менее, это не мешает нам высказывать свои мысли и понимать то, что нам говорят.

В подавляющем большинстве случаем знание «физической» лингвистики действительно не нужно. Но не всегда.

Большинству участников форума, безусловно, известна задача Великого объединения взаимодействий. В частности, несмотря на очевидное сходство, объединить гравитационное и электрическое взаимодействия, пока не удалось.
Спрашивается, а какое отношение к этой великой задаче имеем «физическая» лингвистика?

А самое прямое. В законах Всемирного тяготения Ньютона, и взаимодействия электрических зарядов Кулона гравитационные массы и электрические заряды – это скаляры, имеющие равные физические размерности. То есть, формально эти физические величины являются тождественными, неразличимыми.


Но из этого следует, что гравитационное и электрическое взаимодействия также являются тождественными, а задача их объединения, как говорят юристы, ничтожна.

Тем не менее, очевидно, что гравитационного и электрическое взаимодействия суть разные взаимодействия. Однако, перед тем как пытаться решать задачу объединения этих взаимодействий необходимо, очевидно, сначала решить задачу их разъединения. То есть формально показать, в чем отличия масс и зарядов определяющих эти взамодействия. А это задача физической лингвистики. Пока же ребята (физики) пытаются решить некорректно сформулированную задачу.

Спрашивается, а к чему все это на математическом форуме? А вот к чему. Не может ли оказаться так, что не решаемость некоторых математических задач связана с лингвистикой, только математической. То есть, задача является не решаемой в силу некорректности (неопределенности) понятий, в которых она сформулирована.

Как я уже говорил, я не математик, а потому последнее предположение может быть неверным. Тогда пусть старшие товарищи (математики) меня поправят.

[arseniiv]

jurij в сообщении #713359 писал(а):

Не может ли оказаться так, что не решаемость некоторых математических задач связана с лингвистикой, только математической. То есть, задача является не решаемой в силу некорректности (неопределенности) понятий, в которых она сформулирована.

Не может, поверьте. Сейчас в математике достаточно строгости, чтобы знать, какие свойства у используемых понятий определены, а какие бессмысленны (например, цвет числа или размер точки). Если в какой-то задаче нужны цветные числа, все понимают, что они не тождественны простым, для которых цвет не определён, и не смешивают их.

[Xaositect]

jurij в сообщении #713359 писал(а):

Спрашивается, а к чему все это на математическом форуме? А вот к чему. Не может ли оказаться так, что не решаемость некоторых математических задач связана с лингвистикой, только математической. То есть, задача является не решаемой в силу некорректности (неопределенности) понятий, в которых она сформулирована.

Если понятия, в которых сформулирована задача, не определены, то эта задача не имеет права называться математической.


Кстати, когда Вы говорите об объединении гравитационного и электрического взаимодействия, Вы тоже не понимаете, о чем говорите.

[jurij]

Xaositect в сообщении #713371 писал(а):

Если понятия, в которых сформулирована задача, не определены...

arseniiv в сообщении #713366 писал(а):

Не может, поверьте. Сейчас в математике достаточно строгости, чтобы знать, какие свойства у используемых понятий определены...

Если какое либо понятие не определено, или не имеет смысла применительно к какой либо задаче, то проблем нет. Хуже, если понятие определено и им давно, много и успешно пользуются. Но определено оно не совсем корректно. И эта некорректность если и проявляется то в каком-то частном случае.

Например (не сочтите за навязчивость), гравитационные массы и закон всемирного тяготения в терминах которых он записан, позволяют без проблем описать небесную механику. Тоже самое об электрических зарядах и законе Кулона. А вот при сопоставлении этих физических величин возникают разночтения, которые в общем-то никому пока не мешают. Более того, большинство (физиков) об этой проблеме даже не подозревают. Не подозревают потому, что считают, что закон всемирного тяготения следует записывать в терминах инертных масс. В этом случае проблема соотношения гравитационных масс и электрических зарядов просто маскируется.

Xaositect в сообщении #713371 писал(а):

Кстати, когда Вы говорите об объединении гравитационного и электрического взаимодействия, Вы тоже не понимаете, о чем говорите.

Может быть.

[Xaositect]

jurij в сообщении #713510 писал(а):

Если какое либо понятие не определено, или не имеет смысла применительно к какой либо задаче, то проблем нет. Хуже, если понятие определено и им давно, много и успешно пользуются. Но определено оно не совсем корректно. И эта некорректность если и проявляется то в каком-то частном случае.

Я не понимаю, что Вы понимаете под некорректно определенным понятием? Несоответствие математической модели реальному положению дел?

[epros]

jurij в сообщении #713359 писал(а):

Я больше интересуюсь физикой. Точнее ролью математики в физике. А еще точнее переходом от реальности к физическим (математическим) моделям ее описывающим.

И что Вам непонятно в этом переходе на примере натуральных чисел? Когда люди научились считать разные предметы, у них возникла потребность в обобщающем понятии, выражающем количество любых предметов. После некоторой достаточно длительной истории размышлений и обсуждений в конечном итоге сформулировали те свойства, которые принято считать существенными для этого понятия. Эти формулировки существенных свойств — и есть аксиомы Пеано.

[jurij]

Xaositect в сообщении #713527 писал(а):

Я не понимаю, что Вы понимаете под некорректно определенным понятием? Несоответствие математической модели реальному положению дел?

Для ответа Вам пытаюсь найти как назначать верхние и нижние индексы.

epros в сообщении #713648 писал(а):

Эти формулировки существенных свойств — и есть аксиомы Пеано.

Ну, если честно, то я не совсем понимаю смысла аксиом Пеано.


1. «1 есть натуральное число»;
2. «следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
3. «1 не следует ни за каким натуральным числом»;
4. «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
5. Аксиома полной индукции.

1. Первую аксиому я понимаю так: есть множество натуральных чисел и аксиоматически утверждается, что к этому множеству принадлежит и единица. Вопрос: а где определение самих натуральных чисел и почему из этого определения выпала единица?

2. Вторая аксиома утверждает, что множество натуральных чисел упорядочено в виде очереди. А каков порядок следования называется очередью?


3. Третья аксиома утверждает, что эта очередь имеет начало – единицу.
Я стою одновременно в трех очередях: на жилье, автомашину и покупку мебели. (Люди постарше помнят эти времена.) Во всех трех очередях я крайний, т.е. меня можно считать единицей.

Такая тройная очередь жилых, автомобильных и мебельных (числовых?) элементов не противоречит четвертой аксиоме.

[Xaositect]

jurij в сообщении #714229 писал(а):

Для ответа Вам пытаюсь найти как назначать верхние и нижние индексы.

$a_1$ - $a_1$
$a^1$ - $a^1$

[jurij]

Спасибо, пробую $a_2$, $b^1$. Еще раз спасибо, получилось. Начну составлять Вам ответ.

[Sonic86]

jurij в сообщении #714229 писал(а):

Первую аксиому я понимаю так: есть множество натуральных чисел и аксиоматически утверждается, что к этому множеству принадлежит и единица. Вопрос: а где определение самих натуральных чисел и почему из этого определения выпала единица?

Это стандартный порочный круг, который всем известен (с этого вообще начинается описание аксиом в книжках, Вы их читали?).
Пусть мы хотим определить термин $T_1$. Пусть мы определили $T_1$, но через пустое пустое множество терминов определить $T_1$ нельзя, значит определили $T_1$ через некий термин $T_2$. Но тогда $T_2$ тоже должен быть определен. Значит надо определить $T_2$. Пусть мы определили $T_2$, но через пустое пустое множество терминов определить $T_2$ нельзя, значит определили $T_2$ через некий термин $T_3$. Но тогда $T_3$ тоже должен быть определен. Значит надо определить $T_3$. Пусть мы определили $T_3$, но через пустое пустое множество терминов определить $T_3$ нельзя, значит определили $T_3$ через некий термин $T_4$. Но тогда $T_4$ тоже должен быть определен. Значит....
Т.е. это как бы не вопрос. Т.е. он если и решается частично, то не так.

jurij в сообщении #714229 писал(а):

2. Вторая аксиома утверждает, что множество натуральных чисел упорядочено в виде очереди. А каков порядок следования называется очередью?

Ничего подобного 2-я аксиома не утверждает. Вы сами вводите новый термин и создаете себе проблемы. Есть эквивалентные логические описания, которые являются формально различными (по числу параметров, по схематичности, по богатству использованного языка). Если используется одно описание, то это не значит, что нужно с ним тащить все эквивалентные ему описания и все проблемы, связанные со всеми этими описаниями.

jurij в сообщении #714229 писал(а):

3. Третья аксиома утверждает, что эта очередь имеет начало – единицу.
Я стою одновременно в трех очередях: на жилье, автомашину и покупку мебели. (Люди постарше помнят эти времена.) Во всех трех очередях я крайний, т.е. меня можно считать единицей.

Такая тройная очередь жилых, автомобильных и мебельных (числовых?) элементов не противоречит четвертой аксиоме.

Значит стояние Вас в очереди не описывается аксиоматикой Пеано, только и всего.

Повторяю и настоятельно рекомендую: читайте приведенные книжки. Особенно хорошо понимается суть на аксиомах алгебраических объектов или на геометрических - там с моделями и инетпретациями и со сложностью полегче.

jurij в сообщении #713359 писал(а):

А вот к чему. Не может ли оказаться так, что не решаемость некоторых математических задач связана с лингвистикой, только математической. То есть, задача является не решаемой в силу некорректности (неопределенности) понятий, в которых она сформулирована.

Сформулировано крайне мутно, непонятно, о чем речь. Что значит "не решаемая задача"? Алгоритмически неразрешимая что-ли?

(Оффтоп)

jurij в сообщении #713359 писал(а):

Со времен Исаака Ньютона этот переход осуществляется интуитивно. То есть, каждый исследователь определяет, как отображается то, или иное свойство реального тела в виде физической величины, по-своему.

Можно возразить, что «Это никому неинтересно и не нужно. Кроме того, это тривиально и общеизвестно». Sonic86.

Демагогия детектед.

[jurij]

Пожалуй я неправ.

jurij в сообщении #714229 писал(а):

2. «следующее за натуральным числом есть натуральное число»;

Собственно это и есть определения следования чего либо, например натуральных чисел, в порядке очереди.

Sonic86 в сообщении #714240 писал(а):

Т.е. это как бы не вопрос.

Этот порочный круг легко разрывается практикой. Намного хуже, когда и практика не помощник. Например, сообщение: ученые такой-то лаборатории создали новые сверхточные часы, которые за столько-то тысяч (миллионов) лет отстанут всего на одну секунду. Это утверждение надо понимать так: существуют абсолютные часы, которые стоят, например в прихожей у Бога, с которыми парни сравнили свои новые сверхточные часы.

[Xaositect]

jurij в сообщении #714229 писал(а):

1. «1 есть натуральное число»;
2. «следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
3. «1 не следует ни за каким натуральным числом»;
4. «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
5. Аксиома полной индукции.

Опять этот список. Откуда Вы его взяли? Почему-то когда-то появился миф о том, что в оригинале аксиомы звучат именно так. На самом деле скан "Arithmetices principia ..." Пеано найти в интернете не так сложно, и там аксиомы словами вообще не формулируются.
Поскольку вы все-таки не математик, я сформулирую аксиомы из исходного текста Пеано и пояснения, если считать что они определяют множество натуральных чисел.
А1. $1\in\mathbb{N}$.
"$1$ --- натуральное число."
Следует понимать это так, что постулируется существование некоторого объекта, обозначаемого символом 1, который является натуральным числом. (точнее, существование объекта $1$ постулируется даже не самой аксиомой, а вообще присутствием символа $1$ в нашей теории. Сама аксиома утверждает, что этот объект - одно из натуральных чисел. Другими словами, приняв эту аксиому, мы знаем, что существует по крайней мере одно натуральное число, которое обозначается $1$.)
А2. $a\in \mathbb{N}\to a = a$
A3. $a,b\in\mathbb{N}\to (a = b \leftrightarrow b = a)$
A4. $a,b,c\in\mathbb{N}\to(a = b\&b = c\to a = c)$
Эти три аксиомы утверждают свойства равенства - каждое число равно самому себе, равенство симметрично, и два числа, равные третьему, равны между собой.
A5. $a = b\& b\in\mathbb{N}\to a\in\mathbb{N}$.
Это техническая аксиома для понятия равенства. Она говорит, что если два объекта равны, и один из них - натуральное число, то и другой - тоже натуральное число. Это утверждение очевидно, но в формальной теории мы всегда должны все эти мелочи записывать.
A6. $a\in\mathbb{N}\to a + 1\in\mathbb{N}$.
"Для любого натурального числа существует следующее за ним натуральное число"
Вот тут мы наконец-то добираемся до следования. Как и в случае первой аксиомы, тут надо отметить следующее: уже просто из того, что в нашей теории есть функция $+1$ (в тексте ранее Пеано поясняет, что этот символ у него является именно обозначением функции), мы можем построить из любого числа $a$ объект $a+1$. Аксиома говорит нам, что этот объект тоже будет натуральным числом. То есть теперь мы уже можем записать кроме уже имеющейся единицы такие объекты, как $1 + 1$, $1 + 1 + 1$ и т.д. Мы знаем, что они все будут натуральными числами, но пока не знаем, могут ли они быть равны между собой.
A7. $a,b\in\mathbb{N}\to (a = b\leftrightarrow a + 1 = b+1)$
"У каждого натурального числа ровно одно следующее за ним и не более одного предшествующего"
Дословный перевод - "если два числа равны, то равны и следующие за ними, и наоборот"
A8. $a\in\mathbb{N}\to a+1\neq 1$
"$1$ не следует ни за каким натуральным числом"
Из двух последних аксиом мы, немного подумав, можем доказать, что два произвольных числа из последовательности $1$, $1+1$, $1+1+1$... различны.
A9. $K\in \mathrm{Set}\& 1\in K \& (x\in\mathbb{N}\&x\in K\to x + 1\in K)\to \mathbb{N}\subset K$
Аксиома индукции. Она говорит нам, что наша последовательность $1$, $1+1$, $1+1+1$... - это на самом деле все натуральные числа.

[epros]

jurij в сообщении #714229 писал(а):

1. Первую аксиому я понимаю так: есть множество натуральных чисел и аксиоматически утверждается, что к этому множеству принадлежит и единица. Вопрос: а где определение самих натуральных чисел и почему из этого определения выпала единица?

Как Вы себе представляете "определение самих натуральных чисел"? Вообще, понятия обычно определяются либо по объёму (перечислением по именам собственным всех объектов, выражаемых этим понятием: "Мои домашние животные - это Шарик, Мурка и Гоша"), либо по содержанию (указанием всех свойств, которыми должен обладать объект, выражаемый данным понятием: "Большая зелёная камнеедка - это большое животное зелёного цвета, которое питается камнями"). С формальной точки зрения первый способ является разновидностью второго.

Введение в язык имени собственного "единица" плюс утверждение, что этот объект является натуральным числом, является частью определения понятия натурального числа.

jurij в сообщении #714229 писал(а):

2. Вторая аксиома утверждает, что множество натуральных чисел упорядочено в виде очереди. А каков порядок следования называется очередью?

В формулировке, которую Вы взяли из русской статьи википедии, упоминается не "очередь" а "следование". Следование - это операция, выполняемая над числом. Её ещё иногда называют "инкремент". А по существу - это прибавление единицы. Т.е. данная аксиома (в списке, приведённом Xaositect, это A6) утверждает, что функция инкремента отображает натуральные числа в натуральные числа.

Понятие "инкремента натурального числа" тоже является частью определения понятия натурального числа.

jurij в сообщении #714229 писал(а):

Я стою одновременно в трех очередях: на жилье, автомашину и покупку мебели. (Люди постарше помнят эти времена.) Во всех трех очередях я крайний, т.е. меня можно считать единицей.

Такая тройная очередь жилых, автомобильных и мебельных (числовых?) элементов не противоречит четвертой аксиоме.

Этот случай отсекается не теми формулировками, которые Вы почерпнули из русской статьи википедии, а однозначностью функции инкремента. Т.е. "следующий за конкретным объектом" - это конкретный объект. В формальных теориях это обычно даже не формулируется в качестве аксимомы, поскольку однозначность любой функции, определённой в языке, следует из общих правил логики первого порядка. В списке, приведённом Xaositect, однозначность функции инкремента следует из аксиомы A7.

jurij в сообщении #714253 писал(а):

Этот порочный круг легко разрывается практикой.

Мне кажется, что Вы не понимаете о чём говорите. Практика - это совсем не о том.

jurij в сообщении #714253 писал(а):

Например, сообщение: ученые такой-то лаборатории создали новые сверхточные часы, которые за столько-то тысяч (миллионов) лет отстанут всего на одну секунду. Это утверждение надо понимать так: существуют абсолютные часы, которые стоят, например в прихожей у Бога, с которыми парни сравнили свои новые сверхточные часы.

Нет, это следует понимать так, что случайный разброс показаний нескольких таких часов между собой не превышает указанную величину.