Чем вообще занимаются современные математики?

[mihailm]

apriv в сообщении #708527 писал(а):

...Однако, представьте себе, математика — самостоятельная дисциплина, и математики сами определяют (исходя из эстетических предпочтений и структуры своей области деятельности), чем им заниматься. Невозможно заставить математика решать те задачи, которые «надо», а не те, которые ему нравятся...

После таких заявлений, налогоплатильщики, а вслед за ними законодатели начинают думать, что наверно зря платят зарплату математикам

[mserg]

apriv
В науке имеет место быть постановка целей, планирование, финансирование, контроль процесса и результатов, стимулирование творчества, создание условий (организация), работа с людьми, реклама, помощь во внедрении на практике, и т.д. Не вижу здесь даже намека на заговор. На низовом уровне существует «бесконечное» число тем – выбор огромен. Никто не заставляет конкретного человека заниматься конкретной темой.

Еще раз о премиях. Комиссия, которая присуждает премии, руководствуется некоторыми критериями. Люди, которые придумали критерии, и определяют, кто «самый умный». Они есть «высший разум», выставляющий оценки претендентам. Лауреаты – это люди, в которых комиссия по некоторым соображениям ткнула пальцем. Интересны не сами премии и лауреаты, а кто был в комиссии, как они туда попали, с кем «дружат», по каким критериям назначался очередной гений. Понимаю, что плюю в икону, но истина дороже.

Вы лучше скажите, когда разрабатываете математический аппарат, каковы критерии? Т.е. как выбираете темы, как оцениваете результат, и т.д. ? И можете ли ответить о критериях развития математики вообще? Желательно не общефилософски….

[Tor]

mserg в сообщении #708573 писал(а):

apriv
В науке имеет место быть постановка целей, планирование, финансирование, контроль процесса и результатов, стимулирование творчества, создание условий (организация), работа с людьми, реклама, помощь во внедрении на практике, и т.д. Не вижу здесь даже намека на заговор. На низовом уровне существует «бесконечное» число тем – выбор огромен. Никто не заставляет конкретного человека заниматься конкретной темой.

Еще раз о премиях. Комиссия, которая присуждает премии, руководствуется некоторыми критериями. Люди, которые придумали критерии, и определяют, кто «самый умный». Они есть «высший разум», выставляющий оценки претендентам. Лауреаты – это люди, в которых комиссия по некоторым соображениям ткнула пальцем. Интересны не сами премии и лауреаты, а кто был в комиссии, как они туда попали, с кем «дружат», по каким критериям назначался очередной гений. Понимаю, что плюю в икону, но истина дороже.

Вы смешали фундаментальную науку и ее приложения. Особенно это касается математики. Посмотрите филдсовских лауреатов. Чего и кто им планировал? Кто Перельмана стимулировал? Кто считал от их работ экономический эффект и занимался внедрением? Это же бред. Подход кто с кем дружит, ну это вообще не наука, а чиновничьи игры кто под кем лежит, в коих беспросветно погряз РАН. К счастью РАН это вымирающая организация в прямом смысле этого слова и для мировой науки имеющая небольшое значение. Стоило министру Ливанову заикнутся об этом, президиум РАН мобилизовал своих старцев и депутатских плагиаторов на всемирною борьбу с ним.

[Munin]

mserg в сообщении #708573 писал(а):

Вы лучше скажите, когда разрабатываете математический аппарат, каковы критерии? Т.е. как выбираете темы, как оцениваете результат, и т.д. ? И можете ли ответить о критериях развития математики вообще? Желательно не общефилософски….

Тоже интересный вопрос.

[Sonic86]

mserg в сообщении #708573 писал(а):

Вы лучше скажите, когда разрабатываете математический аппарат, каковы критерии? Т.е. как выбираете темы, как оцениваете результат, и т.д. ? И можете ли ответить о критериях развития математики вообще? Желательно не общефилософски….

Можно я попробую ответить? (но я не спец, могу чушь ляпнуть).
Есть 2 источника полезности: разные реальные факторы и рекурсивность.
Первое: есть куча разных источников, прежде всего практика (физика (самый важный источник, наверное)), производство, военное дело, Computer Science и еще многое понемногу. Есть также необходимость поддерживать маткультуру среди людей - преподавание. Вообще, математик всегда должен в принципе мочь понять, чем занимается прикладник. Есть и субъективные источники: интерес, желание познать, желание решить проблему.
Второе: если некая маттеория $T_1$ полезна и маттеория $T_2$ как-то связана с $T_1$, то $T_2$ полезна (возможно, полезна в меньшей степени). Связи могут быть самые разнообразные и неожиданные: желание аксиоматизации, обобщения, желание решить все задачи в рамках данной теории, уточнение понятий и их связей, выделение понятий и исследование их, упрощение формулировок, формализация, поиск общего языка и еще всякая всячина - все это друг на друга опирается и сильно отрывается от реальности, но потенциально может возвращаться в реальность (исторический пример: арифметика вычетов и простые числа изучались ради интереса, а потом, спустя 100 лет, были применены в криптографии. Или ВТФ: простая формулировка, но при попытке ее решить были придуманы несколько довольно сложных теорий, которые в конце-концов где-то в математике тоже применяются. Или теория групп).
И в конце концов, люди ведь не про... (не знаю, как тут культурно выразиться) какие-то бюджетные средства диким образом. Развитие математики стоит все равно немного.

Или Вам не это нужно?

[Denis Russkih]

Большое спасибо всем за очень интересные посты!

Я даже избегал писать что-либо в этой теме, чтобы не увести обсуждение куда-нибудь не туда. :)


Однако очень хочется задать вопрос по поводу "разработки математического аппарата". Я вдруг осознал, что совершенно не понимаю, как происходит подобный процесс. :) Как математики умудряются создать что-то, чего не было?.. Как вообще можно придумать новое жизнеспособное математическое понятие, новую операцию?..

Хорошо использовать всякие детерминанты и дискриминанты, когда они уже изобретены. Просто следуешь определённым правилам и получаешь то, что и ожидал. (Если нигде ничего не напутаешь.)

А как создаётся то, что ещё не известно? Есть ли какие-то правила открытия нового?.. Я не знаю, как точно сформулировать... Ну вот, как будто бы решаешь уравнение и находишь значение "икс", но только вместо "икс" - новое математическое понятие! Есть ли в математике раздел о том, как открывать новые разделы математики? :) Или это до сих пор остаётся делом интуиции?

[Doil-byle]

(Оффтоп)

Denis Russkih в сообщении #708856 писал(а):

Есть ли в математике раздел о том, как открывать новые разделы математики? :) Или это до сих пор остаётся делом интуиции?

О Боже, кажется, Вы перечитались про роботов, ии, научную фантастику и тому подобное. Вернитесь на Землю. Есть теория доказательств, но это совсем другое.

[Munin]

Denis Russkih в сообщении #708856 писал(а):

Как математики умудряются создать что-то, чего не было?.. Как вообще можно придумать новое жизнеспособное математическое понятие, новую операцию?..

Ну вот на эту тему, вроде бы, как раз только что говорили:

Sonic86 в сообщении #708729 писал(а):

желание аксиоматизации, обобщения, желание решить все задачи в рамках данной теории, уточнение понятий и их связей, выделение понятий и исследование их, упрощение формулировок, формализация, поиск общего языка и еще всякая всячина

Я, конечно, ещё подожду, может, кто более рублеными формулировками на эту тему выскажется...

[Denis Russkih]

Doil-byle

Не совсем улавливаю, при чём здесь роботы. :) Я интересовался, как создаются новые математические понятия.

(К примеру, нельзя ли написать такие "уравнения", где вместо чисел - различные известные математические объекты, а вместо "икса" - ещё не открытый математический объект, который может быть связан с ними определённым образом. А затем решить это "уравнение", найти хотя бы некоторые свойства неизвестного объекта, основываясь на свойствах известных объектов...)

Ну ладно, наверное, действительно я глупость ляпнул. Опять красивая идея захватила мозг. Пора уже отучаться мыслить аналогиями.


Munin

Да, спасибо, это понятно, однако отвечает на вопрос лишь отчасти. Сначала говорится о побудительных мотивах математиков, а затем о том, как "причёсывают" уже готовые теории. При этом сам момент озарения остаётся за кадром.

-- 12.04.2013, 01:12 --

Во! Я тут погуглил, и похоже, что теория категорий ближе всего к тому, что я имел в виду! :) Именно это я смутно чувствовал и пытался выразить корявыми наивными примерами. Только в реальности всё гораздо сложнее, круче и непонятнее. Класс! :)

[Aritaborian]

Denis Russkih в сообщении #708870 писал(а):

ещё не открытый математический объект

Вся математика основана на небольшом числе понятий и объектов. Если выражаться не очень строго, можно сказать, что любой офигительно новый и ранее никому в голову не приходивший объект — это всё равно просто множество. Обладающее присоединённой к нему некоей (возможно, чертовски сложной) структурой.

Denis Russkih в сообщении #708870 писал(а):

Опять красивая идея захватила мозг.

А вы попробуйте увлечь мозг не менее красивой, но более конкретной идеей. Кем-то давным-давно разработанной. И попытайтесь проследить, как там появлялись новые объекты. Не придумал пока, что именно вам предложить ;-)

[Doil-byle]

Denis Russkih в сообщении #708870 писал(а):

(К примеру, нельзя ли написать такие "уравнения", где вместо чисел - различные известные математические объекты, а вместо "икса" - ещё не открытый математический объект, который может быть связан с ними определённым образом. А затем решить это "уравнение", найти хотя бы некоторые свойства неизвестного объекта, основываясь на свойствах известных объектов...)

Вообще-то в математике и так постоянно рассматриваются уравнения над нечисловыми множествами. "Ещё не открытый математический объект" - это вообще странная фраза в данном контексте. Ну, допустим, я запишу функциональное уравнение, даже решу его (хотя непростые они, заразы), получу функцию. И как бы, ежели её никто в глаза не видал, то это типа "ещё не открытый математический объект"? Просто неизвестных объектов можно сколько угодно настрогать. А нужно, чтобы они обладали полезными свойствами, были осмысленными, а это всё это сводится к решению уравнений, как обычно, ну или там попытке доказательства существования множества с заданными свойствами, либо вообще непонятно, что Вы там придумали себе.

[Nemiroff]

Doil-byle в сообщении #708886 писал(а):

Ну, допустим, я запишу функциональное уравнение, даже решу его (хотя непростые они, заразы), получу функцию. И как бы, ежели её никто в глаза не видал, то это типа "ещё не открытый математический объект"?

Мне кажется, человек не об этом.
Вот не было какой-нибудь римановой геометрии - появилась. Как?

Aritaborian в сообщении #708878 писал(а):

Если выражаться не очень строго, можно сказать, что любой офигительно новый и ранее никому в голову не приходивший объект — это всё равно просто множество.

Кстати вот - с множествами есть некоторые "проблемы" - парадоксы теории множеств. И кто-то придумал классы, чтоб как-то разрулить ситуацию.

[Aritaborian]

Nemiroff, я и говорю: «Не очень строго». И не хочу касаться теории категорий.

[Munin]

Denis Russkih в сообщении #708870 писал(а):

Да, спасибо, это понятно, однако отвечает на вопрос лишь отчасти. Сначала говорится о побудительных мотивах математиков, а затем о том, как "причёсывают" уже готовые теории. При этом сам момент озарения остаётся за кадром.

Нет, вы не поняли. Это не побудительные мотивы, а буквально то, что математики делают, чтобы получить новые теории. По буквам:
аксиоматизация, обобщение, решение всех задач в рамках данной теории, уточнение понятий и их связей, выделение понятий и исследование их, упрощение формулировок, формализация, поиск общего языка.

Denis Russkih в сообщении #708870 писал(а):

(К примеру, нельзя ли написать такие "уравнения", где вместо чисел - различные известные математические объекты, а вместо "икса" - ещё не открытый математический объект, который может быть связан с ними определённым образом. А затем решить это "уравнение", найти хотя бы некоторые свойства неизвестного объекта, основываясь на свойствах известных объектов...)

Нечто сходное можно проделывать, но не с "уравнениями", а с аксиоматиками и категориями. Но обычно так не поступают. Потому что если бесцельно искать всякие "иксы", то получаются в большинстве своём объекты неинтересные, или слишком простые, или слишком сложные. Математиков интересуют объекты достаточно содержательные, и с другой стороны - для которых можно с обозримыми затратами труда разобраться, или хотя бы начать разбираться.

[apriv]

mserg в сообщении #708573 писал(а):

Вы лучше скажите, когда разрабатываете математический аппарат, каковы критерии? Т.е. как выбираете темы, как оцениваете результат, и т.д. ? И можете ли ответить о критериях развития математики вообще? Желательно не общефилософски….

Это сложный вопрос. Пока могу сказать, что один из важных критериев такой: теорема интересна, если она устанавливает связи между разными областями математики, применяется в нескольких принципиально разных ситуациях. Ну и вообще, область математики тем интереснее, чем сильнее она связана с другими.

-- 12.04.2013, 13:19 --

Denis Russkih в сообщении #708856 писал(а):

Я вдруг осознал, что совершенно не понимаю, как происходит подобный процесс. :) Как математики умудряются создать что-то, чего не было?.. Как вообще можно придумать новое жизнеспособное математическое понятие, новую операцию?..

Есть две причины, по которым появляются новые понятия в математике (и вообще идет развитие теории): первая — это решение совершенно конкретных математических задач. Вторая — это упрощения изложения уже известных теорий. Любой понятие жизнеспособно только тогда, когда оно помогает решать новые задачи, или объясняет на концептуально более простом языке решения старых.