Вместо эпиграфа:
Если же решаем задачу в общем виде, то лямбдя является скалярной функцией обобщённых координат, скоростей, времени.
Где конкретно такая буквальная глупость написана у Ольховского?
Все правильно, ламбда является функцией обобщенных координат, скоростей и времени
Повторяю вопрос: где эта глупость написана у Ольховского?
Рассмотрим систему с лагранжианом

. И пусть задана еще связь

Спрашивается, как написать уравнения Лагранжа со множителями и наийти множители?

Заметим, что правые части этих уравнений являются компонентами обобщенной силы реакции связи.
Уравнения Лагранжа приобретают вид

продифференцируем уравнение связи по времени:

и подставим сюда вторые производные из (*),
получим

Находим

(Формула написана специально для участника
myhand. Форум таки образовательный

)
Подставляя это выражение для

в уравнения (*) получаем замкнутую систему ДУ в нормальной форме на

, а заодно и компоненты обобщенной силы реакции связи.