2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Уравнения Лагранжа со множителями пример решения задачи
Сообщение26.03.2013, 18:19 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Oleg Zubelevich в сообщении #701661 писал(а):
myhand в сообщении #701432 писал(а):
Можно полюбопытствовать - откуда сие определение?

бытует в нашем сообществе
В каком таком "вашем"?

Oleg Zubelevich в сообщении #701661 писал(а):
Ее определитель автоматически отличен от нуля, если строки линейно независимы, а это предполагается.
Да, это я упустил. Но примеров с $\det G=0$ это не затрагивает.

Oleg Zubelevich в сообщении #701661 писал(а):
Рассмотрите систему с лагранжианом $\tilde L={\dot x(t)}^2 - {\dot y(t)}^2$ на уровне энергии ${\dot x(t)}^2 - {\dot y(t)}^2=1$ и перепараметризуйте время если надо
Это вы мне на птичьем языке пытаетесь мне объяснить, что если фиксировать калибровку, то... Но суть в том, что ваша $\lambda$ будет тогда зависеть от этого выбора. Напр. ${\dot x(t)}^2 - {\dot y(t)}^2=g(t)$ - ничем не хуже...

Oleg Zubelevich в сообщении #701661 писал(а):
Кстати (я не специалист), а в ТО бывают лагранжианы с неголономной связью?
Собственно, калибровочные теории (полюбопытствуйте - что сие такое "калибровка Лоренца" в электродинамике)...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Лагранжа со множителями пример решения задачи
Сообщение26.03.2013, 19:35 


10/02/11
6786
myhand в сообщении #701714 писал(а):
Но суть в том, что ваша $\lambda$ будет тогда зависеть от этого выбора

Суть не в этом. Суть в том, что существование решения гарантировано в общем случае только для систем в нормальной форме Коши. И уравнения Лагранжа со связями имеют решение именно потому, что приводимы к системе в нормальной форме Коши. Эту приводимость гарантирует сформулированная мной теорема. И ваши любимые системы с параметрическими лагранжианами имеют решение именно потому, что тоже выражаются в терминах нормальных систем.
Бессмысленно пытаться выискать примеры, которые в принципе не сводятся к системам в нормальной форме. Потому, что в этих примерах и корректность потеряется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Лагранжа со множителями пример решения задачи
Сообщение26.03.2013, 20:05 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Бла-бла-бла. Суть не изменилась: вам предьявили пример, где $\lambda$ через координаты и скорости не выражается. Подобное "выражение" у вас - зависит от выбора калибровки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Лагранжа со множителями пример решения задачи
Сообщение26.03.2013, 21:04 


10/02/11
6786
myhand в сообщении #701767 писал(а):
Суть не изменилась: вам предьявили пример, где $\lambda$ через координаты и скорости не выражается. Подобное "выражение" у вас - зависит от выбора калибровки



ага, а этот пример мгновенно сводится к системе, которая от калибровок не зависит и удовлетворяет условиям теоремы :mrgreen: не смешите

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Лагранжа со множителями пример решения задачи
Сообщение26.03.2013, 22:27 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Oleg Zubelevich в сообщении #701791 писал(а):
ага, а этот пример мгновенно сводится к системе, которая от калибровок не зависит
Каким образом калибровочно-инвариантную систему можно "свести" к системе, которая "от калибровок не зависит"?!

Можно фиксировать калибровку. По-разному. При этом механическая система - одна и та же. А вот ваши лямбды - получатся разными. Мой тапок, наверное, к этому моменту объяснения уже понял...
Oleg Zubelevich в сообщении #701791 писал(а):
не смешите
"Уж я хохоталась" (ц) Подумать лучше попробуйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Лагранжа со множителями пример решения задачи
Сообщение27.03.2013, 00:24 


10/02/11
6786
myhand в сообщении #701831 писал(а):
Каким образом калибровочно-инвариантную систему можно "свести" к системе, которая "от калибровок не зависит"?!


Теорема. 1) Любое решение системы с лагранжианом $L=\sqrt{g_{ij}\dot x^i\dot x^j}$ может быть получено из решения системы с лагранжианом $\tilde L=g_{ij}\dot x^i\dot x^j$ путем перепараметризации времени.
2) Любое решение системы $\tilde L$ на котором положительна энергия является решением системы $L$.

И вот именно то, что система $\tilde L$ удовлетворяет условиям теоремы о множителях Лагранжа и позволяет доказать коректность в системе с лагранжианом $L$
вы напрасно так держитесь за этот пример. на самом деле, он только еще борльше проявляет глупость ваших попыток доказать ограниченность теоремы о множителях Лагранжа

myhand в сообщении #701831 писал(а):
А вот ваши лямбды - получатся разными.

почему они должны быть разными в системе $\tilde L$ которая не подвергается перепараметризациям? :mrgreen:


myhand в сообщении #701831 писал(а):
Мой тапок, наверное, к этому моменту объяснения уже понял...

значит ваши тапки не так безнадежны как вы

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Лагранжа со множителями пример решения задачи
Сообщение27.03.2013, 13:11 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Oleg Zubelevich в сообщении #701885 писал(а):
вы напрасно так держитесь за этот пример
Это просто простейший пример того, что $\det G \ne 0$ - исключение, а не правило.

Не нравится, могу еще с десяток примеров придумать. Боюсь, вам при этом лекции по физике придется читать - иначе вы скажете, что я все это с потолка взял... Как вам такой: $L = k \left(x \dot y - y \dot x\right) - V(x, y)$?

Oleg Zubelevich в сообщении #701885 писал(а):
почему они должны быть разными в системе $\tilde L$ которая не подвергается перепараметризациям?
Потому что вы должны включать эту перепараметризацию. Иначе ваша модель с $\tilde L$ может опишет только часть дела. Она эквивалентна физическому лагранжиану $L$, только если вы говорите в конце: а $t=t(\tau)$. Физическая модель включает свободу репараметризации. И ваша $\lambda$ зависит еще и от этой (достаточно произвольной) функции, а не от $x(\tau)$, $\dot x(\tau)$ и $\tau$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Лагранжа со множителями пример решения задачи
Сообщение27.03.2013, 16:26 


10/02/11
6786
myhand в сообщении #702050 писал(а):
Как вам такой: $L = k \left(x \dot y - y \dot x\right) - V(x, y)$?

а никак. При наложении дополнительных связей мы опять получим $\lambda=\lambda(t,x,y,\dot x,\dot y)$ только это будет еще проще чем в головном посте -- не придется дифференцировать связь.
Т.е. это опять не пример системы в которой $\lambda$ нельзя выразить через координаты и скорости.



myhand в сообщении #702050 писал(а):
Потому что вы должны включать эту перепараметризацию. Иначе ваша модель с $\tilde L$ может опишет только часть дела.

Возьмите свой $L=\sqrt{\dot x^2-\dot y^2}$ наложите дополнительную связь и докажите теорему существования решения в полученной системе со связью

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Лагранжа со множителями пример решения задачи
Сообщение27.03.2013, 16:39 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
Oleg Zubelevich в сообщении #702169 писал(а):
Т.е. это опять не пример системы в которой $\lambda$ нельзя выразить через координаты и скорости.
Это пример, который явно не попадает под проведенные вами выше "рассуждения". Можете обобщить теорему на подобный класс задач, с вырожденной матрицей $G$ - валяйте. До кучи, вот еще пример: $L(x,\dot x,\dots, \dot z)= \frac{{\dot x}^2}{2} - \dot y z$

Oleg Zubelevich в сообщении #702169 писал(а):
Возьмите свой $L=\sqrt{\dot x^2-\dot y^2}$ наложите дополнительную связь и докажите теорему существования решения. в полученной системе со связью
Зачем это мне? Я и без этого знаю, что калибровочный произвол никуда не денется и будет влиять на выражения для ваших множителей. Только если вы фиксируете калибровку - в данном частном примере вы можете свести дело к доказанному вами выше утверждению. А то, что общее решение для $\lambda$ не зависит от этого произвола - неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Лагранжа со множителями пример решения задачи
Сообщение24.04.2013, 17:19 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
myhand в сообщении #701432 писал(а):
Я, в принципе, догадался о чем речь - а вот книжку с подходящим словоупотреблением не могу вспомнить...

Ну, к примеру Ф.Р. Гантмахер "Лекции по аналитической механике" 1966 г. стр. 81 и её окрестности
или Я.В. Татаринов "Лекции по классической динамике" 1984 г. стр.95 и т.д. Тут, пожалуй труднее не вспомнить, чем вспомнить.
Кстати, проколов в тексте у Oleg Zubelevich не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Лагранжа со множителями пример решения задачи
Сообщение28.04.2013, 19:08 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/03/10

4558
scwec в сообщении #715069 писал(а):
Кстати, проколов в тексте у Oleg Zubelevich не нашел.
Прокол состоит в том, что возможный калибровочный произвол - игнорируется. Можно "обобщить" результат, доказанный выше на вырожденную $G$ - но сей калибровочный произвол потребуется зафиксировать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group