Нахождение собственных значений линейного оператора

[RIP]

Существование положительного корня очевидно, поскольку вблизи нуля $-e^\lambda+1+\lambda+\lambda^2=\frac{\lambda^2}2+O(\lambda^3)>0$, а при больших $\lambda$, напротив, $-e^\lambda+1+\lambda+\lambda^2<0$. Единственность корня легко проверить с помощью производной.

[Cat]

А найти его можно?

Добавлено спустя 2 минуты 24 секунды:

Пытаюсь график в мэпле строить, не получается корень увидеть, он близко к нулю.

[RIP]

Точно его посчитать вряд ли удастся, а примерно он равен 1.793.

[Cat]

Точно, сейчас построила, увидела. Спасибо. А при \lambda=0 у меня получилось нулевое решение.

[RIP]

Cat писал(а):

А при \lambda=0 у меня получилось нулевое решение.

У меня тоже.

P.S. Как и следовало ожидать, комплексных корней оказалось бесконечно много.

[Cat]

Возник еще один вопрос. Дан оператор $Ax=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-|t-s|}x(s)ds$, задание также найти собственные значения. Путем дифференцирования ур-ия $Ax=\lambda x$, у меня получилось уравнение $x, вот только не могу понять какие надо на него условия, не брать же x(\infty).

[незваный гость]

RIP писал(а):

Чё-то я не могу догнать, почему это невозможно. Вроде бы $x(s)=s^2-\frac13$ удовлетворяет обоим условиям. Нет?

Я почему-то имел в виду $\forall x$.

[RIP]

Cat писал(а):

Возник еще один вопрос. Дан оператор $Ax=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-|t-s|}x(s)ds$, задание также найти собственные значения. Путем дифференцирования ур-ия $Ax=\lambda x$, у меня получилось уравнение $x, вот только не могу понять какие надо на него условия, не брать же x(\infty).

А не надо на него никаких условий брать. Из этого уравнения следует, что собственная функция (если таковая есть) обязана иметь вид $x(t)=...$. Теперь надо просто взять это ..., подставить в $Ax$ и посмотреть, а будет ли выполняться $Ax=\lambda x$, попутно установив ограничения на $\lambda$ (интеграл должен сходиться).

[Cat]

У меня получилось, что x(t)=c_1e^{\sqrt{\frac 2\lambda -1}}+c_2e^{-\sqrt{\frac 2\lambda -1}},\lambda\leqslant 2, нужно теперь сам интеграл

Цитата:

$Ax=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-|t-s|}x(s)ds$

при этом x(t) вычислить и приравнять к \lambda x(t)?

Добавлено спустя 22 минуты 35 секунд:

Интеграл получился равен $2*(c_1e^{\sqrt{\frac 2\lambda -1}}+c_2e^{-\sqrt{\frac 2\lambda -1}})$, то есть выходит, что
\lambda=2?.

[RIP]

Cat писал(а):

У меня получилось, что x(t)=c_1e^{\sqrt{\frac 2\lambda -1}}+c_2e^{-\sqrt{\frac 2\lambda -1}},\lambda\leqslant 2,

Пара замечаний. Во-первых, у Вас получается, что $x(t)$ не зависит от $t$. Подозрительно как-то, не считаете? Во-вторых, при $\lambda=2$ общее решение выглядит немного по-другому, впрочем это мелочи. В-третьих, почему Вы отбрасываете значения $\lambda>2$? В-четвёртых, Вы уверены, что под корнем стоит $\frac2\lambda-1$?

P.S. А в каком пространстве всё происходит?

[Cat]

Да ошибочка вышла, общее решение получилось при $\lambda> 2 x(t)=c_1e^{\sqrt{-\frac 2\lambda +1}t}+c_2e^{-\sqrt{-\frac 2\lambda +1}t}$. Интеграл равен $2*(c_1e^{\sqrt{-\frac 2\lambda +1}t}+c_2e^{-\sqrt{-\frac 2\lambda +1}t})$, то есть \lambda может быть только 2, но общее решение тогда имеет вид x(t)=c_1t+c_2, а константы получаются любые. При \lambda<2 общее решение имеет вид $x(t)=c_1cos(\sqrt{-\frac 2\lambda +1}t)+c_2sin(\sqrt{-\frac 2\lambda +1}t)$ и опять же при подстановке получается, что \lambda=2, что не удовлетворяет условию. Выходит только одно характеристическое значение остается \lambda=2?
P.S Пространство L_\infty(R)

[RIP]

1. У меня такое чувство, что Вы всё время считаете

$$\int\limits_{\mathbb{R}}e^{-|t-s|}x(t)\,ds=2x(t)$$

вместо

$$\int\limits_{\mathbb{R}}e^{-|t-s|}x(s)\,ds$$

. Проверьте свои вычисления.

2. Общее решение $x(t)=C_1e^{\alpha t}+C_2e^{-\alpha t}$, $\alpha:=\sqrt{1-\frac2\lambda}$, получается при всех $\lambda\ne0;2$, просто $\alpha\in\mathbb{R}$ только при $\lambda\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$, а при $\lambda\in(0;2)$ получается $\alpha\in i\mathbb{R}$, и решение можно переписать в виде $x(t)=C_1\cos\left(\sqrt{\frac2\lambda-1}\,t\right)+C_2\sin\left(\sqrt{\frac2\lambda-1}\,t\right)$ (с другими постоянными), чтобы ограничиться только вещественными функциями, но я бы на Вашем месте не торопился этого делать, поскольку интеграл

$$\int\limits_{\mathbb{R}}e^{-|t-s|}x(s)\,ds$$

проще считать, когда решение записано в экспоненциальной форме.

3. Раз действие разворачивается в $\mathrm{L}_\infty(\mathbb{R})$, то некоторые значения $\lambda$ (и легко понять, какие) сразу идут лесом, поскольку для них ненулевых ограниченных решений диффура не существует.