Нахождение собственных значений линейного оператора

[Cat]

Имеется линейный оператор Ax=x(t)+\int\limits_{-1}^{1}{(ts+1)x(s)ds}, x(t)\in\{C}_{[-1,1]}. Составляю уравнение x(t)+\int\limits_{-1}^{1}{(ts+1)x(s)ds}=\lambda{x(t)}. Рассматриваю сначала случай, когда \lambda=1. Получаю, что \int\limits_{-1}^{1}{(ts+1)x(s)ds}=0, то есть должно быть одновременно \int\limits_{-1}^{1}{sx(s)ds}=0 и \int\limits_{-1}^{1}{x(s)ds}=0, что невозможно, то есть \lambda=1 не является собственным значением. Правильно ли я рассуждаю?

[незваный гость]

Да.

[Cat]

В другой задаче нужно найти собственные значения оператора x'(t)-\int\limits_{0}^{1}x(s)ds. Не могу вспомнить как решить уравнение x'(t)-\int\limits_{0}^{1}x(s)ds=\lambda x(t). Подскажите, пожалуйста, как начать.

Добавлено спустя 49 минут 38 секунд:

Дифференцирую его по t, получается, что x''(t)=\lambda x'(t) и из условий x(0)=0, x'(0)=0 получается, что х(t)=0. Получается, что собственных значений нет вообще?

[neo66]

Cat писал(а):

Дифференцирую его по t, получается, что x''(t)=\lambda x'(t) и из условий x(0)=0, x'(0)=0 получается, что х(t)=0. Получается, что собственных значений нет вообще?

А откуда взялись эти условия? Вы бы сформулировали задачу поаккуратней.

[Cat]

Изначально было задано, что x(0)=0, подставляя в уравнение, получаем еще одно условие x'(0)=0.

[RIP]

Cat писал(а):

...то есть должно быть одновременно \int\limits_{-1}^{1}{sx(s)ds}=0 и \int\limits_{-1}^{1}{x(s)ds}=0, что невозможно, ...

Чё-то я не могу догнать, почему это невозможно. Вроде бы $x(s)=s^2-\frac13$ удовлетворяет обоим условиям. Нет?

Добавлено спустя 11 минут 27 секунд:

Cat писал(а):

Изначально было задано, что x(0)=0, подставляя в уравнение, получаем еще одно условие x'(0)=0.

Как-то Вы странно подставляете. У меня получается

$$x'(0)=\int\limits_0^1x(s)\,ds$$

.

[Cat]

Да, действительно, в первой задаче, функция x(s)=s^2-1/3 подходит, спасибо. А под знаком интеграла ноль подставлять не надо во второй задаче?

[RIP]

Cat писал(а):

А под знаком интеграла ноль подставлять не надо во второй задаче?

Конечно, нет. Вы же полагаете $t=0$, а интеграл --- это постоянная, он от $t$ не зависит.

[Cat]

Тогда, получается, что \lambda выражается через этот интеграл?

[RIP]

Нет, интеграл не в том смысле постоянная.
Записываете общее решение диффура $x''(t)=\lambda x'(t)$ (повнимательнее со случаем $\lambda=0$), подставляете его в условия

$$\left\{\begin{aligned}x(0)&=0,\\x'(0)&=\int\limits_0^1x(s)\,ds,\end{aligned}\right.$$

и получаете условие на $\lambda$, при котором найдётся ненулевое решение.

[Cat]

Общее решение у меня получилось x(t)=c_1 e^{\lambda t}+c_2, При подстановке в условия получается с_1+c_2=0, \lambda c_1=\int\limits_{0}^{1}x(s)ds, откуда \int\limits_{0}^{1}x(s)ds=-\lambda c_2, что можно с последним сделать?

[RIP]

Во-первых,

RIP писал(а):

повнимательнее со случаем $\lambda=0$

Во-вторых, с последним можно сделать вот что: посчитать интеграл, учитывая, что $x(s)=c_1e^{\lambda s}+c_2$.

[Cat]

Вычисляю интеграл, получается $\frac{e^\lambda c_1-c_1}{\lambda}+c_2=\lambda c_1$, то есть c_2=c_1\frac{-e^\lambda+1+\lambda^2}{\lambda}, подставляя в первое условие, получим уравнение $\frac{-e^\lambda+1+\lambda^2+\lambda}{\lambda}$, которое не имеет решений, то есть остается случай \lambda=0?

[RIP]

Cat писал(а):

получим уравнение $\frac{-e^\lambda+1+\lambda^2+\lambda}{\lambda}[=0]$, которое не имеет решений,

У меня тоже получилось такое уравнение, и оно очевидно имеет единственный вещественный корень (положительный). Что до комплексных корней, то тут я так сходу не соображу.

Cat писал(а):

то есть остается случай \lambda=0?

Да, но этот случай надо ещё рассмотреть.

[Cat]

В уравнении предудыщем вроде же он только 0 может быть корнем.