Одноэлектронное поле Дирака: классическое или квантовое?

[VladimirKalitvianski]

SergeyGubanov в сообщении #696154 писал(а):

Второй шаг.

А откуда взялись интегралы? Вы вычисляли через функцию Грина или по формуле Мицкевича? По формуле Мицкевича (4.9.5) интегралов не должно быть:

$A_{\mu}=g_{\mu\nu} (e\bar{\psi}{\psi})^{-1}\left[\frac{i}{2}\left(\frac{\partial\bar{\psi}}{\partial x_{\lambda}}\gamma_{\lambda}\gamma_{\nu}\psi-\bar{\psi}\gamma_{\nu}\gamma_{\lambda}\frac{\partial\psi}{\partial x_{\lambda}}\right) +m\bar{\psi}\gamma_{\nu}\psi\right]$

Если вычисляли через функцию Грина, то интересно сравнить исходный скалярный потенциал с "поправкой" в зависимисти от $r$ (графически, например).

[SergeyGubanov]

VladimirKalitvianski в сообщении #696270 писал(а):

Если вычисляли через функцию Грина, то интересно сравнить исходный скалярный потенциал с "поправкой" в зависимисти от $r$ (графически, например).

По заданному $\psi$ нашёл ток $J^{\mu} = Q \bar\psi\gamma^{(a)}\psi \, e_{(a)}^{\mu}$, подставил его в уравнения Максвелла, решил их и нашёл $A_{\mu}$.

Ранее я поленился выписать нормировочную константу, сейчас выпишу, вот она:

$$C^2 = \frac{k^3}{ 2^{-1+2\alpha\beta} \pi (1+\beta^2) \Gamma(3-2\alpha\beta)}$$

С учётом нормировочной константы, компонента $A_0 = \frac{Q}{r}+\Phi(r)$ такова:

$$A_0 = \frac{Q}{r}\left( 1 + \frac{2 kr \Gamma(2-2\alpha\beta, 2kr)-\Gamma(3-2\alpha\beta, 2kr)}{\Gamma(3-2\alpha\beta)} \right)$$

Графически это выглядит так:

[VladTK]

SergeyGubanov в сообщении #696628 писал(а):

По заданному нашёл ток , подставил его в уравнения Максвелла...

А еще одну итерацию слабо?

SergeyGubanov в сообщении #696628 писал(а):

...Графически это выглядит так...

В нуле конечный потенциал???

[SergeyGubanov]

VladTK в сообщении #696646 писал(а):

А еще одну итерацию слабо?

Нельзя, ерунда получится. Далее надо самосогласовывать.

VladTK в сообщении #696646 писал(а):

В нуле конечный потенциал???

Там поле электрона, но только его надо ещё на $-1$ умножить, так как у электрона заряд отрицательный, а в целом для атома надо добавить ещё поле протона $\frac{Q}{r}$.

В целом для атома так:

На первом графике потенциал электрона, протона и сумма потенциалов.
На втором графике суммарный заряд атома в зависимости от расстояния.

[VladimirKalitvianski]

SergeyGubanov в сообщении #696628 писал(а):

По заданному $\psi$ нашёл ток $J^{\mu} = Q \bar\psi\gamma^{(a)}\psi \, e_{(a)}^{\mu}$, подставил его в уравнения Максвелла, решил их и нашёл $A_{\mu}$.

Я так понимаю, что Вы решали уравнения Максвелла не правильно. Я в конце объясню, что я имею ввиду, а сейчас, даже не обсуждая, правилен ли график или формула, я сакжу, что полученная Вами поправка существенно модифицирует исходный Кулон, и это существенно сдвигает уровни энергии и волновые функции. Я боялся, что люди так и думают об учете эффекта самодействия в атоме водорода и не зря написал в посте о неправильности такого понимания:

Цитата:

... Взять хотя бы нерелятивистское уравнение Шредингера и подставить туда потенциал самодействия $V(r)\propto 1/r$ при $r=0$. Или это слишком? Может тогда сосчитаем поправку к энергии атома водорода из-за самодействия электрона, как $\Delta E_n\propto \int d^3 r d^3 r' |\psi_n(\vec{r})|^2 |\psi_n(\vec{r'})|^2 /|\vec{r}-\vec{r'}|\propto e^2/a_n$? Может эту конечную поправку есть куда пристроить?

Ясно, что это не тот эффект и где-то ошибка. Так вот, правильные уравнения Максвелла пишутся и решаются в конфигурационном пространстве, координату которого я обозначу $\vec{x}$. В атоме водорода есть две заряженные частицы с абсолютными координатами $\vec{x}_N$ и $\vec{x}_e$. Атом водорода описывают координатами центра масс $\vec{R}$ и относительной координатой $\vec{r}=\vec{x}_N-\vec{x}_e$. В частности, волновая функция зависит от $r$.

Источник же поля в уравнении Максвелла зависит от абсолютных значений координат зарядов в атоме, то есть, от $\vec{x}_N$ и $\vec{x}_e$, а не от $\vec{r}$. Но даже с $\vec{r}$ поправка к исходному потенциалу чрезмерна, вредна и не нужна. А если все делать честно, то и подавно - поправка получается бесконечной.

[VladimirKalitvianski]

SergeyGubanov в сообщении #696669 писал(а):

Нельзя, ерунда получится. Далее надо самосогласовывать.

Вклад "самодействия", после вычитания (перенормировки), должен быть очень маленьким - Лэмбовский сдвиг уровней и совсем незначительная модификация волновых функций. Барут именно это и получил.

Что касается заряда и потенциала в атоме, то надо использовать третью пробную частицу, не влияющую на атомную конфигурацию. Это возможно лишь при рассеянии быстрой налетающей частицы, когда первого Борновского приближения достаточно. В атоме имеется два "заряженных облака", описываемых двумя атомными формфакторами (подробности см. здесь (опубликовано в УФЖ и CEJP) или здесь).

[VladimirKalitvianski]

Насчет "добавления поля протона" - потенциал $Q/r$ есть потенциал взаимодействия ядра с электроном (или грубо потенциал ядра в точке нахождения электрона). Входит лишь в уравнение для описания относительного движения ядра и электрона.

[SergeyGubanov]

VladimirKalitvianski у меня нет ни точечных частиц, ни волновой функции, а самодействие это будет Третий шаг, которого я ещё не делал.

У меня классическая теория поля, поэтому нет ни точечных частиц, ни волновых функций.

Моя программа:

Первый шаг: по заданному классическому полю $A_{\mu}$ я решил уравнение Дирака и нашёл классическое поле $\psi$.

Второй шаг: по заданному классическому полю $\psi$ я решил уравнения Максвелла и нашёл классическое поле ${A'}_{\mu}$.

Третий шаг: найти такое точное решение системы уравнений Максвелла-Дирака, которое в приближённом варианте переходило бы в поля найденные на шагах 1 и 2.

[VladimirKalitvianski]

SergeyGubanov в сообщении #696835 писал(а):

...у меня нет ни точечных частиц, ни волновой функции, а самодействие это будет Третий шаг, которого я ещё не делал. У меня классическая теория поля, поэтому нет ни точечных частиц, ни волновых функций.

Ошибаестесь. Если Вы решаете уравнение Дирака, содержащее постоянную Планка и записанное для волновой функции $\psi$, то Вы имеете дело с (релятивистской) квантовой механикой, с точечным электроном и вероятностной интерпретацией волновой функции. Неправильно думать, что Ваш электрон классически размазан, с непрерывной плотностью заряда $\rho(\vec{r})$.

Допустим, мы закрепили ядро в начале координат, придав ему бесконечную массу. Тогда его положение известно и для него мы не пишем никаких уравнений. Остается уравнение для волновой функции электрона и уравнение для электромагнитного поля. Если электрон находится на расстоянии $\vec{r}$ от ядра, то электромагнитное поле может быть и в других точках пространства, поэтому уравнения Максвелла пишутся в координатах конфигурационного пространства $\vec{x}$, а не в сферических координатах с $\vec{r}$. Я боюсь, Вы написали неправильные уравнения Максвелла. Это просто понять, рассмотрев нерелятивистский случай статического поля бесспиновых зарядов. Скалярный потенциал в точке $\vec{x}$ есть $Q_N/x +e/|\vec{x}-\vec{r}|$ - он зависит и от $\vec{x}$, и от $\vec{r}$. Уравнение для электрона содержит только потенциальную энергию взаимодействия электрона с ядром, то есть первый член, а "поле электрона" $e/|\vec{x}-\vec{r}|$ может входить лишь в уравнение движения третьего заряда, но не самого электрона. Глупость самодействия состоит в том, чтобы подставить в уравнения движения электрона поле самого электрона, и тогда получается $1/0$. Такой член, конечно, всегда выкидывают, то есть, выкидывают основную часть "самодействия" (всю в нерелятивистском случае).

Но в релятивистском случае имеется и "остаток" после выкидывания - помимо квазистатического поля электрон создает и распространяющееся поле, уносящее энергию. Этот остаток должен обсепечивать "закон сохранения энергии" при излучении заряда, то есть, быть некоей силой "торможения" (дополнительный член в уравнении движения электрона). Собственно, ради этого дополнительного члена торможения и вводится пресловутое самодействие. Просто других идей нет, как ввести тормозящию силу излучения. В классической электродинамике (а ля ЛЛ) остаток, пропорциональный $\dddot{\vec{r}}$ получается плохим - он ведет к самоускоряющимся точным решениям, так что идея самодействия терпит двойное фиаско. Выход был найден не в пересмотре и переформулировке уравнений, а в использовании вместо неизвестной функции $\dddot{\vec{r}}$ некоей заданной функции времени $\vec{f}(t)$.

То, что Вы решаете в координатах $\vec{r}$, не уравнения Максвелла в истинном смысле, поэтому Вы и не получаете бесконечного члена типа $1/0$. Квантовая механика (см.последний абзац на первой странице) не спасает от данной расходимости, и даже если бы расходимости не было, то поправка к полю (массе, заряду) не нужна, поэтому и делают перенормировки (вычитания).

Товарищ Радфорд не понимал ничего этого, думал о самодействующем электроне, как о классической системе (наподобии ОТО) и получил в своих "оценках" нейтральный электрон с магнитным зарядом и луковой структурой на малых расстояниях. Он решал "правильные самодействующие уравнения", но его аналитические оценки не верны.

[myhand]

VladimirKalitvianski в сообщении #696933 писал(а):

Неправильно думать, что Ваш электрон классически размазан, с непрерывной плотностью заряда $\rho(\vec{r})$.

Почему неправильно-то - потому что ваш бзик мешает? Так у SergeyGubanov'а и нет оного...

[VladimirKalitvianski]

myhand в сообщении #697012 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #696933 писал(а):

Неправильно думать, что Ваш электрон классически размазан, с непрерывной плотностью заряда $\rho(\vec{r})$.

Почему неправильно-то - потому что ваш бзик мешает? Так у SergeyGubanov'а и нет оного...

Я не приветствую Ваше не конструктивное участие и Ваше мнение обо мне меня не интересует. А тем, кто думает, что уровни энергии атома водорода можно получить в классической электродинамике с непрерывной плотностью заряда электрона, советую их получить самостоятельно и только после этого вмешиваться.

[VladimirKalitvianski]

SergeyGubanov в сообщении #696835 писал(а):

Моя программа:

Первый шаг: по заданному классическому полю $A_{\mu}$ я решил уравнение Дирака и нашёл классическое поле $\psi$.

Второй шаг: по заданному классическому полю $\psi$ я решил уравнения Максвелла и нашёл классическое поле ${A'}_{\mu}$.

Третий шаг: найти такое точное решение системы уравнений Максвелла-Дирака, которое в приближённом варианте переходило бы в поля найденные на шагах 1 и 2.

Я нашел множество статей на эту тему. Вот одна, которая называется "Солитоны Дирака-Максвелла". Авторы решают связанную систему в приближении сферической симметрии искомого потенциала и искомой волновой функции, а также в приближении доминирования электростатического потенциала над векторным потенциалом. Полученную систему уравнений решают численно. Правда, там есть "свободные параметры" и мне все еще не ясно, как искалось численное решение. Я еще не во всем разобрался, но для общей дискуссии важно, что авторы совершенно однозначно говорят об электромагнитной и механической массах, а myhand еще спорил со мной.

[SergeyGubanov]

VladimirKalitvianski в сообщении #702439 писал(а):

в приближении доминирования электростатического потенциала над векторным потенциалом

Вот я на этом и завис делая третий шаг. Дело в том, что при наличии $A_{\varphi}$ в уравнениях переменные ($r$, $\theta$) не разделяются. Решать системы дифференциальных уравнений в частных производных когда переменные не разделяются я как-то не очень умею. С другой стороны по уравнениям видно, что вклад $A_{\varphi}$ как бы "в $\alpha$ раз" меньше чем вклад $A_{0}$. Поэтому "приближение доминирования" $A_{0}$ над $A_{\varphi}$ рассмотреть можно было, но мне этого делать не захотелось.

[VladimirKalitvianski]

Гаррет Лизи построил численные решения (приближенные и точные) в 1994 и даже качественно обсудил, почему отталкивающий потенциал (а он, конечно, отталкивающий) дает "связанные" (локализованные) состояния (http://arxiv.org/abs/hep-th/9410244v2). Я, правда, еще не особенно разобрался, так как нигде так и не смог добыть третий рисунок. Возможно, он есть в журнальном варианте статьи.

[VladimirKalitvianski]

Да, в журнальном варианте есть больше рисунков.