Теория о бесконечности простых чисел-близнецов.

[vorvalm]

Гораздо быстрее можно попасть в близнецов, если брать
суперпозицию $6k\pm1$. Здесь их больше.

[Ontt]

tango в сообщении #691653 писал(а):

Один пример ничего не доказывает в данном случае.

Он доказывает "всего лишь"

nnosipov в сообщении #691464 писал(а):

ошибку в своих рассуждениях

[tango]

Ontt
Принято, спасибо, уточним.

[Someone]

tango в сообщении #691653 писал(а):

Я бы сказал, что закономерности следует искать для больших (действительно больших)$ k$.

$7, 11, 209$ - это слишком близко к началу

Простые числа вида $p\#\pm 1$ встречаются очень редко. Полный список известных простых такого вида можно найти на сайте http://primes.utm.edu ( страничка Primorial), он содержит всего 42 числа. Последняя пара близнецов в этом списке - для $p=11$ ($2309$ и $2311$). Так что закономерность Вы там усмотрите только одну - чем дальше, тем реже.

[tango]

Someone
Наибольшую пару нашел такую: [9 999 929, 9 999 931]
Всего 58 980 пар близнецов на отрезке до 10 000 019
Или я какие-то не такие близнецы считаю?
**
Ага! Эти, наверное, по неполному ряду простых получаются. Ну, это усиливает уверенность, что их о-очень много
**
9 999 930 = 2 * 3 * 5 * 333 331

Т.е. от 333331 до 4999965 наши гиперболы не попали ни в одно из праймов, а там их много, но не настолько много

[tango]

Стоп! а почему это до 4999965? Для полного ряда мы бы ограничили верхнюю границу поиска произведением членов ряда без последнего члена. А в этом случае как быть?

Наверное, надо как-то разделить праймы по происхождению:
близнецы и первородные.

[vorvalm]

tango
Вы отклонились от своего первоначального вопроса.
Число 9 999 930 не является праймориалом. $19\#=9\; 699\; 690.$

[tango]

vorvalm
Отнюдь. Мой первый пост в теме был обозначен как "Ось близнецов"
Оказалось, что близнецы задаются не только произведением полного ряда простых, но и произведением неполных рядов - хороший результат, между прочим.
Близнецы "убиваются" перворожденными праймами. Но не все. Т.е. вопрос о бесконечности близнецов вообще не стоит - каждый "убийца" при своем рождении порождает конечное, но большое количество близнецов - поэтому вопрос можно переформулировать: как можно выразить отношение порождаемых и убиваемых?

-- 06.03.2013, 13:06 --

[Ontt]

tango в сообщении #691691 писал(а):

первородные

Что это?

[vorvalm]

tango
Поэтому я сразу предложил вам рассматривать близнецы в суперпозиции $6k\pm1$.
Здесь все близнецы, кроме 3,5.

[Someone]

tango в сообщении #691680 писал(а):

Наибольшую пару нашел такую: [9 999 929, 9 999 931]

Наибольшая известная пара близнецов - $3756801695685\cdot 2^{666669}\pm 1$. Но у Вас первоначально речь шла о праймориалах? Хотя нет, там ещё $a_1$ присутствует:

tango в сообщении #691463 писал(а):

Пусть $(2, 3,...m_k)$ - последовательность простых чисел.
Пусть $N$ кратно каждому отдельному члену последовательности, так что
$N = a_1 * 2$
$N = a_2 * 3$
$...$
$N = a_k * m_k$

$a_1 > a_3 > ... > a_k$

Тогда $(N+1)$ и $(N-1)$ имеют остаток при делении на любое $m_i$ и на любое между $m_k$ и $(N-1)$

Но последнее утверждение неверно.

-- Ср мар 06, 2013 14:35:37 --

tango в сообщении #691705 писал(а):

Оказалось, что близнецы задаются не только произведением полного ряда простых, но и произведением неполных рядов - хороший результат, между прочим.

Ну надо же, какое открытие! Ничего, что каждое натуральное число, большее $1$, разлагается в произведение "неполного ряда простых"? Или что Вы называете "неполным рядом простых"?

[tango]

Ой. Уважаемые господа, весьма неожидан интерес к изречению мыслей дилетантом. Можно, я попробую ответить на всё разом?

Someone

Цитата:

Но последнее утверждение неверно.

Да, участник Ontt обратил на это мое внимание, и я с ним согласился, спасибо.

-- 06.03.2013, 14:13 --

vorvalm, спасибо, я обратил внимание на ваш пост, но, признаться, не очень хорошо понял, как связать его со своими собственными мыслями

-- 06.03.2013, 14:18 --

Someone

Цитата:

Ну надо же, какое открытие!

ну, по ссылке http://primes.utm.edu ( страничка Primorial) и у Ребенбойма, говоря о близнецах, говорят почему-то только о "праймориал'ах"

Цитата:

Ничего, что каждое натуральное число, большее $1$, разлагается в произведение "неполного ряда простых"?

по мне - так и ничего

-- 06.03.2013, 14:20 --

Цитата:

Ontt

Цитата:

первородные
Что это?

Someone

Цитата:

что Вы называете "неполным рядом простых"

- на это чуть позже, пожалуйста

[vorvalm]

tango
Как показывает практика, дилетанты начинают искать среднюю плотность
близнецов на итервале $(2,p_r^2)$
С помощью решета легко находят, что средняя плотность близнецов на этом
интервале равна:
$1/2\frac{(p_2-2)(p_3-2)....(p_r-2)}{p_2\cdot p_3\cdot....p_r}=1/2\prod_2^{r}\frac{p_r-2}{p_r}$
Затем, ничтоже сумняшеся, умножают это выражение на $p_r^2$ и
получается, что близнецов на этом интервале больше 1. Ура!
Но на самом деле это совсем не так. Найдите другой метод.

[vicvolf]

Someone в сообщении #691671 писал(а):

Простые числа вида $p\#\pm 1$ встречаются очень редко. Полный список известных простых такого вида можно найти на сайте http://primes.utm.edu ( страничка Primorial), он содержит всего 42 числа.

Спасибо за ссылку. Интересный факт. Дело в том, что асимптотическая плотность простых в арифметической прогрессии $f(n)=kn+1$, определяется формулой $P(f,2,x)\sim k/(\varphi(k) \ln(x))$. Поэтому наибольший рост такой плотности в арифметической прогрессии получается тогда, когда $k=2 \cdot 3...p_{s-1} \cdot p_s$, т.е асимптотическая плотность простых в прогрессии 2n+1 меньше, чем 6n+1 и.т.д. $(2 \cdot 3...p_{s-1})n+1$ меньше, чем в арифметической прогрессии $k=(2 \cdot 3...p_{s-} \cdot p_s)n+1$.
C ростом n плотность простых убывает, поэтому можно предположить, что наибольшая вероятность быть простым числом у первых членов данных прогрессий.
На практике оказывается не так. Дело в том, что ассимптотическая плотность говорит только о соотношениях при очень больших х.

[tango]

Среди натуральных прародителем является единица.
Подставляя в ее в форму $n + 1$, получим перворожденную двойку,
которая по-честному делится только на себя и единицу.
Она (двойка) при рождении становится первой ячейкой общества
Эратосфена и тем самым навсегда исключает из семьи все четные.
Кроме того, подставлясь в форму $n + 1$, она порождает тройку, но
место $n - 1$ уже занято, и тройка - не близнец.
Поэтому она - тоже перворожденная.
Тройка становится второй ячейкой решета. Попытка подставить ее в форму, во-первых, дает
первого убитого решетом близнеца, и, во-вторых, место минус-близнеца тоже оказывается занято.

Но у нас уже, помимо прародителя, есть два члена семьи, что обогащает форму,
в которую можно подставить их произведение $2n + 1$
Так на свет появляются первые настоящие близнецы, 5 и 7, которые не являются перворожденными по определению.
5 и 7 сами по себе не порождают близнецов, которые еще до рождения были бы четны.

Но путем кровосмешения в форме они таки дадут новую жизнь:
$2\cdot5 + 1 = 11$ - нет близнеца, убитого при попытке рождения тройкой из решета, считаем перворожденным де-юре
$2\cdot3\cdot5 - 1 = 29; 2\cdot3\cdot5 + 1 = 31$ - получилась нормальная такая двойняшка
$2\cdot7 - 1 = 13$ - та же история, близнец убит и тройкой, и пятеркой сразу

Тут интересно, пара пара $(11,13)$ - все-таки близнецы по общепринятому определению (как и $(3,5)$, кстати).
Быть может , при рождении целых следует учитывать и формы вида $(n-1)^k \cdot n^l + 1$,
в данном случае $2\cdot2\cdot3$?
Интерес в том, как далеко по числовой оси мы можем зайти при подобном производстве близнецов,
и где все-таки следует остановиться.
Не отсюда ли столь широкая распространенность форм вида $2^n+1$?

$2\cdot3\cdot7 - 1 = 41; 2\cdot3\cdot7 + 1 = 43$ - мне показалось, или близнецы появляются на свет как-то уж очень часто?
$2\cdot3\cdot5\cdot7 + 1 = 211$ - близнец убит
Выжившего близнеца можно назвать бастардом.
Этимология не очень, но стиль терминологии выдерживается.
$2\cdot5\cdot7 + 1 = 71$ - близнец убит


$2\cdot11 + 1 = 23$ - близнец убит
$2\cdot3\cdot11 + 1 = 67$ - близнец убит
$2\cdot3\cdot5\cdot11 + 1 = 331$ - близнец убит
$2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11 + 1 = 2309; 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11 - 1 = 2311$ - с днем рождения
$2\cdot5\cdot7\cdot11 - 1 = 769$ - близнец убит
$2\cdot3\cdot7\cdot11 + 1 = 463; 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11 - 1 = 4611$ - с днем рождения

$17$ - первое простое по-настоящему перворожденное, как 2 и 3. Даже лучше, чем они,
поскольку там, в начале, речь шла более об определениях, чем о закономерностях.

Ну, наверное, хватит.
Мы уже поняли, что большую часть простых составляют именно бастарды - близнецы, у которых брат
попал под решето.

Это значит, что вопрос о бесконечности близнецов на самом деле - это вопрос о том,
настигнет ли когда-нибудь решето каждую пару близнецов.

Почему-то кажется, что никогда.

А вот что интересно - определить ряд "перворожденных".
Перворожденные простые - это простые числа, ... над формулировкой надо поработать....
Вопрос, в какой степени можно (или нужно) брать члены этого произведения, открыт.

Да: произведением неполного ряда я называл произведение с опущенными какими-нибудь членами, так в
$2\cdot3\cdot11 + 1 = 67$ опущены $5$ и $7$

-- 06.03.2013, 17:10 --

vorvalm
спасибо. Как-то это далеко от меня. "среднюю плотность
близнецов" я пока не искал