Одноэлектронное поле Дирака: классическое или квантовое?

[SergeyGubanov]

Из пургаторного раздела выделяю интересную тему:

post689815.html#p689815

Утундрий писал(а):

Munin писал(а):

Я был уверен, что поле Дирака принципиально квантовое, и классическим быть не может - из-за двузначности спинорного представления. Ну да ладно. Я имел в виду квантовое.

Ну с какого перепугу оно вдруг квантовое? Частные производные, гладкие функции... Даже переход к грассмановым числам ещё не делает его квантованным. А вот вторичное квантование - делает. Только после этого уже нельзя обзывать его просто Дираковым, забывая о взаимодействии.

post689887.html#p689887

Утундрий писал(а):

Munin писал(а):

Лесенка из двух ступенек вас убеждает или нет?

Надо подумать.

Есть над чем подумать...

Формально одноэлектронное уравнение Дирака представляет собой классическую теорию поля (почти).

По крайней мере спектр частот в одноэлектронном атоме (водорода) получается формально методами классической теории поля (решается система дифференциальных уравнений в частных производных). То же самое со спектром частот одноэлектронного поля Дирака, например, в постоянном магнитном поле.

Непонятки начинаются (но не ограничиваются одним лишь этим) когда от спектра частот мы хотим перейти к спектру энергии по формулам классической теории поля. Вот в этом месте вдруг выясняется, что нужна нормировка на единицу $\int \bar\psi \psi d_3 x = 1$ иначе от частот к энергии по классической формуле правильно не перейдёшь.

В общем, надо бы прояснить вопрос...

[myhand]

SergeyGubanov в сообщении #691141 писал(а):

Формально одноэлектронное уравнение Дирака представляет собой классическую теорию поля (почти).

Почему "почти"? Самая обычная классическая теория поля - часть любого спецкурса с сим названием.

SergeyGubanov в сообщении #691141 писал(а):

По крайней мере спектр частот в одноэлектронном атоме (водорода) получается формально методами классической теории поля (решается система дифференциальных уравнений в частных производных).

С каких это пор "решение УРЧП" стало частью "методов классической теории поля"?

Выписали лагранжиан - получили уравнения. Вот и все методы. Ну, еще симметрии и теорема Нетер. Что там у вас в качестве "обобщенных координат" (спиноры али тензоры) - не суть.

SergeyGubanov в сообщении #691141 писал(а):

Непонятки начинаются (но не ограничиваются одним лишь этим) когда от спектра частот мы хотим перейти к спектру энергии по формулам классической теории поля.

Что-то не соображу сходу какие конкретно "формулы классической теории" имеются в виду. Не просветите больше?

[espe]

Зафиксируйте теорию и будет Вам счастье:

1) классическая теория поля: это обыкновенное поле
2) релятивистская квантовая механика: волновая функция
3) КТП: квантовое поле (операторнозначная функция)

Однородность не имеет значения.

-- Пн мар 04, 2013 20:06:10 --

Наличие взаимодействия тоже значения не имеет.

[SergeyGubanov]

myhand в сообщении #691159 писал(а):

Что-то не соображу сходу какие конкретно "формулы классической теории" имеются в виду. Не просветите больше?

Из Лагранжиана получаем Гамильтониан, который на уравнениях движения есть энергия, которая есть интеграл от плотности энергии, которая пропорциональна квадрату поля. А раз пропорциональна квадрату поля, то увеличиваем поле в два раза -- энергия увеличится в четыре раза (это если по классике). С электромагнитным полем именно так и будет. А вот с полем Дирака нестыковочка, его нельзя увеличить ни во сколько раз, его надо нормировать на единичку $\int \bar\psi\psi d_3 x = 1$.

[myhand]

SergeyGubanov в сообщении #691167 писал(а):

А вот с полем Дирака нестыковочка, его нельзя увеличить ни во сколько раз

С чего вы взяли что нельзя?

О физическом смысле вашего "поля" - речи еще пока не зашло. Нормировка же сохраняется. Ну вот, оказывается, нормированным решениям можно придать такой-то известный смысл.

Но ничто не мешает рассматривать теорию и без этого дополнительного условия. Более того, включать в лагранжиан слагаемые, которые поломают нафиг эту самую нормировку и смотреть что будет...

[Munin]

(Оффтоп)

myhand в сообщении #691159 писал(а):

С каких это пор "решение УРЧП" стало частью "методов классической теории поля"?

Жалко, вас не оказалось рядом, когда Ландау этому полкнижки посвятил...

[myhand]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #691278 писал(а):

Жалко, вас не оказалось рядом, когда Ландау этому полкнижки посвятил...

Жаль если вы математику изучали по физическим учебникам. Я бы посоветовал делать это так, как учат нормальных людей - курс с названием типа "уравнения математической физики" читают для всех физических специальностей. Есть и книжки соответствующие, математические (напр. одноименный толмуд Тихонова-Свешникова).

[Munin]

(Оффтоп)

myhand в сообщении #691285 писал(а):

Жаль если вы математику изучали по физическим учебникам.

Речь не об этом. А о том, что из классической теории поля эту математику выкидывать некорректно.

[myhand]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #691334 писал(а):

Речь не об этом.

Ага. А о том, что теория ОДУ - часть ньютоновской механики?!

[Munin]

(Оффтоп)

myhand в сообщении #691338 писал(а):

Ага. А о том, что теория ОДУ - часть ньютоновской механики?!

Ну вот, вы снова чисто ради пустой ругани начали выдумывать чушь, приписывать её оппонентам, и яростно спорить. Скучно. На этом разговор закончен.
Сторонним читателям: частью классической теории поля являются такие аспекты теории уравнений матфизики, как постановки граничных и внешних задач, изучение излучения, принцип причинности, и другие подобные вещи. Ландау в этом деле чуть более авторитетен, чем myhand (подождём, когда он напишет свою книгу "Теория поля", и она завоюет такую же популярность).

[SergeyGubanov]

myhand в сообщении #691175 писал(а):

С чего вы взяли что нельзя?

В самом деле, откуда? Наверное это просто догма... Давайте порассуждаем вместе. Если классическое поле поместить в ящик, то получится поле с дискретным спектром частот. Однако спектр энергии останется непрерывным в силу того, что энергия поля зависит от его нормировки, которая произвольна в случае линейных уравнений.

Если мы хотим чтобы вслед за дискретным спектром частот появился и дискретный спектр энергии классического поля, то какие у нас есть варианты:
1) перестать этого хотеть;
2) наложить нормировку поля "руками" $\int \bar\psi\psi d_3 x = 1$;
3) сделать уравнения нелинейными.

В принципе, вариант (3) у нас и так есть. Ведь уравнения Максвелла и Дирака линейны только по-отдельности, а взятые вместе они дают нелинейную систему уравнений Максвелла-Дирака (плотность тока квадратична по $\psi$).

Ага, значит если решать задачу про атом водорода по-честному, то есть решать систему уравнений Максвелла-Дирака, а не просто одно лишь уранение Дирака во внешнем электрическом поле, то проблемы с нормировкой $\psi$ вообще не будет ибо система нелинейна... а если ещё гравитацию включить...

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #691370 писал(а):

Если мы хотим чтобы вслед за дискретным спектром частот появился и дискретный спектр энергии классического поля, то какие у нас есть варианты:
3) сделать уравнения нелинейными.

И как вы себе это представляете?

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #691386 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #691370 писал(а):

3) сделать уравнения нелинейными.

И как вы себе это представляете?

Дык, написал же уже. Свободное поле Дирака предать анафеме. Вместо него рассматривать систему уравнений Максвелла-Дирака, которая нелинейна.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #691404 писал(а):

Дык, написал же уже. Свободное поле Дирака предать анафеме. Вместо него рассматривать систему уравнений Максвелла-Дирака, которая нелинейна.

Нет, каким боком там дискретный спектр получается? Вы исказили цитату, у меня вопрос звучал к другим вашим словам.

[SergeyGubanov]

Я говорил про устранение непрерывной степени свободы связанной с произвольностью нормировки поля, которое удовлетворяет линейной системе уравнений. Если уравнения нелинейны, то никакой произвольности в нормировке поля нет. В этом случае из дискретного спектра частот (если он вообще есть) может следовать и дискретный спектр энергии поля.