Период хитрой функции

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #689843 писал(а):

Получится система уравнений вида $c_ke^{\omega_k T}=w_k$ относительно $T$.

Опечатки: получится система $e^{\omega_k T}=1$, $k=1,\dots,N$. В частности, числа $\omega_k$ должны быть попарно соизмеримы. Если это условие выполнено, то наименьший период находится как НОК периодов.

[Oleg Zubelevich]

nnosipov в сообщении #690125 писал(а):

Опечатки: получится система $e^{\omega_k T}=1$, $k=1,\dots,N$. В частности, числа $\omega_k$ должны быть попарно соизмеримы.

ну да, это мгновенно следует из того, что я написал. коль скоро решение единственно, кроме очевидного решения других нет. только причем тут опечатки? систему можно рассматривать и начиная с нулевой производной -- результат не изменится

-- Сб мар 02, 2013 16:18:07 --

а Вы кажется перепутали $w_k$ и $\omega_k$

[champion12]

$f(x)=f(x+T)$

$\sin\left(\dfrac{3\pi x}{2}\right)+4\cos\left(\dfrac{5\pi x}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{3\pi (x+T)}{2}\right)+4\cos\left(\dfrac{5\pi (x+T)}{3}\right)$

$\sin\left(\dfrac{3\pi x}{2}\right)-\sin\left(\dfrac{3\pi (x+T)}{2}\right)=4\cos\left(\dfrac{5\pi (x+T)}{3}\right)-4\cos\left(\dfrac{5\pi x}{3}\right)$

$\cos\left(\dfrac{3\pi x}{2}+\dfrac{T}{4}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{T}{4}\right)=-4\sin\left(\dfrac{5\pi x}{3}+\dfrac{T}{6}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{T}{6}\right)$

Что-то мне кажется, что тут должно быть что-то вроде $T=12\pi$

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #690132 писал(а):

причем тут опечатки?

Вы хотите сказать, что в этой формуле $c_ke^{\omega_k T}=w_k$ всё правильно?

[Oleg Zubelevich]

а что в ней может быть неправильно, при том, что я не уточнял значение $w_k$?

[arseniiv]

iifat в сообщении #689942 писал(а):

Если ну очень интересен именно минимальный, то он либо равен нулю (константа)

Если рассматривать нулевые периоды, то такой есть у каждой функции. Потому период обычно определяют ненулевым.

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #690140 писал(а):

при том, что я не уточнял значение $w_k$?

Выкрутился А если по делу, то я бы акцент сделал на линейной независимости функций $e^{\omega_kz}$ (сводится, естественно, к Вандермонду дифференцированием и подстановкой $z=0$).

[Oleg Zubelevich]

nnosipov в сообщении #690145 писал(а):

Выкрутился

читать надо как следует, а не бросаться критиковать любые формулы, которые не совпадают с Вашими

nnosipov в сообщении #690145 писал(а):

сводится, естественно, к Вандермонду дифференцированием и подстановкой $z=0$)

что я и написал вчера ночью

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #690146 писал(а):

читать надо как следует, а не бросаться критиковать любые формулы, которые не совпадают с Вашими

Ну я честно не понял про это странное и непонятно откуда появившееся $w_k$, подумал, что банальная опечатка. А это, видимо, тонкий методический ход был. Или что-то другое? Теряюсь в догадках. Вообще, очень забавно смотрелось, особенно после 9 редактирований.

[Oleg Zubelevich]

nnosipov в сообщении #690151 писал(а):

особенно после 9 редактирований.

сильный аргумент, спустя полсуток особенно

nnosipov в сообщении #690151 писал(а):

А это, видимо, тонкий методический ход был. Или что-то другое? Теряюсь в догадках.

очевидно, надо по слогам.
система

Oleg Zubelevich в сообщении #689843 писал(а):

е $f^{(n)}(T)=f^{(n)}(0),\quad n=0,\ldots, N-1$

однозначно разрешима относительно переменных $w_k=c_ke^{\omega_kT}$ поскольку определитель матрицы этой системы это в точности определитель Вандермонда. Решение $w_k=c_k$ является очевидным, и других нет в силу написанного выше. Этому решению соответствует $e^{\omega_kT}=1$ ($c_k\ne 0$).

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #690154 писал(а):

система
Oleg Zubelevich в сообщении #689843 писал(а):
е $f^{(n)}(T)=f^{(n)}(0),\quad n=0,\ldots, N-1$

однозначно разрешима относительно переменных $w_k=c_ke^{\omega_kT}$

Вот так бы и написали с самого начала. Думаете, кто-то будет разбираться в той Вашей абракадабре? Лучше бы я её и сам не читал (просто случайно наткнулся). Впрочем, я совсем не настаиваю, пишите, как хотите.

[champion12]

Вообщем, забили все на меня и ушли в другое русло

[Алексей К.]

Ну вычислите же наконец период отдельно для каждого из двух слагаемых Вашей функции.
Не надо этих громоздкостей для суммы, что Вы выше написали.
Отложите по оси абсцисс десяток периодов первой функции (красными точечками) и десяток периодов второй функции (синими точечками).

-- 02 мар 2013, 18:28:09 --

Если период функции $\sin x$ равен $2\pi$, то чему равен период функции $\sin kx$?

[champion12]

Алексей К. в сообщении #690167 писал(а):

Если период функции $\sin x$ равен $2\pi$, то чему равен период функции $\sin kx$?

$\dfrac{2\pi}{k}$

Там получаются периоды $\dfrac{4}{3}$ и $\dfrac{4}{5}$, если считать по-отдельности.

[nnosipov]

champion12 в сообщении #690173 писал(а):

Там получаются периоды $\dfrac{4}{3}$ и $\dfrac{4}{5}$, если считать по-отдельности.

Теперь приведите эти дроби к общему знаменателю. Хотя откуда период $4/5$ взялся? Ох ...