Фильтрация фантомных решений

[Ontt]

ishhan в сообщении #689133 писал(а):

Тут уж всё ясно, так как мультипликативный скелет уравнения $x^3+y^3=0$ это не что иное как:
$(x+y)^3=3xy(x+y)$

Забавно, ведь можно по-другому: "Тут уж всё ясно, так как мультипликативный скелет уравнения $x^3+y^3+z^3=0$ это не что иное как:
$(x+y+z)^3=3(x+y)(x+z)(y+z)$".

Осталось понять, что тут ясно, и что такое "мультипликативный скелет уравнения".

[ishhan]

Ontt в сообщении #689135 писал(а):

Осталось понять, что тут ясно, и что такое "мультипликативный скелет уравнения".

Мультипликативный вид алгебраической записи уравнения это значит, что в одной из частей уравнения, правой или левой, имеется произведение множителей.

[Ontt]

ishhan в сообщении #689144 писал(а):

Мультипликативный вид алгебраической записи уравнения это значит, что в одной из частей уравнения, правой или левой, имеется произведение множителей.

Соответственно вопросы:
1. Почему Вы множитель называете "скелетом"?
2. Почему Вы некий множитель записываете странном способом $u=v$?
3. Чем конкретно случай с $x^3+y^3=0$ отличается от случая с $x^3+y^3+z^3=0$?

[ishhan]

Ontt в сообщении #689147 писал(а):

ishhan в сообщении #689144 писал(а):

Мультипликативный вид алгебраической записи уравнения это значит, что в одной из частей уравнения, правой или левой, имеется произведение множителей.

Соответственно вопросы:
1. Почему Вы множитель называете "скелетом"?
2. Почему Вы некий множитель записываете странном способом $u=v$?
3. Чем конкретно случай с $x^3+y^3=0$ отличается от случая с $x^3+y^3+z^3=0$?

Ответ:
1) Вместо "скелет" подразумевалось " алгебраический вид"
2)$u=v$- не понял ваш вопрос, переформулируйте пожалуйста.
3) Отличие в геометрическим смысле.

[Ontt]

ishhan в сообщении #689295 писал(а):

1) Вместо "скелет" подразумевалось " алгебраический вид"

Итого имеем: "мультипликативный алгебраический вид уравнения $x^3+y^3=0$ это не что иное как: $(x+y)^3=3xy(x+y)$". Ясности не прибавилось. Вы можете пояснить, что Вы имели ввиду?

ishhan в сообщении #689295 писал(а):

2)$u=v$- не понял ваш вопрос, переформулируйте пожалуйста.

Имеем $(a+b)^3-3ab(a+b)=a^3+b^3$, что можно представить как $1\cdot ((a+b)^3-3ab(a+b))=(a^3+b^3)$. Если принять $u=(a+b)^3, v=3ab(a+b)$, то получим $1\cdot (u-v)=(a^3+b^3)$. В итоге $(u-v)$ - некий множитель. Почему-то Вы его записываете как $u=v$ (хотя я знаю почему: снова неявно приравняли множитель к нулю, составив систему уравнений, и я в третий раз вынужден обратить Ваше внимание на эту ошибку).

ishhan в сообщении #689295 писал(а):

3) Отличие в геометрическим смысле.

Это не ответ.

[TR63]

Ontt в сообщении #689069 писал(а):

ishhan в сообщении #689006 писал(а):

Естественно, что у $(a + b)^3$ и $3 a b (a+b)$ имеются "различия в симметрии".

Мне не понятно, почему этот факт следует считать очевидным. Выполняем преобразование левой части, заменяя $(a)$ на $(-a-b)$ получаем $(-a^3)$. Это выражение есть суперпозиция двух не инвариантных преобразований. Следует доказать, что она не инвариантна. (Если бы имели суперпозицию двух инвариантных преобразований, то тогда факт инвариантности являлся бы очевидным.) Если, всё-таки, факт неинвариантности очевиден, то возникают другие вопросы.

[Ontt]

TR63 в сообщении #689471 писал(а):

Мне не понятно, почему этот факт следует считать очевидным. Выполняем преобразование левой части, заменяя $(a)$ на $(-a-b)$ получаем $(-a^3)$.

Обозначим $T_3(x_1,x_2)=(x_1+x_2)^3$, тогда $T_3(a,b)=(a+b)^3$, $T_3(s,b)=(-a)^3$.
Сравним результат: $(a+b)^3 \ne (-a)^3$, значит $T_3(a,b) \ne T_3(s,b)$.

[TR63]

Ontt,
спасибо. Опять просто и понятно. А, если $a=b$? Факт неинвариантности очевиден или нет. Мне нужен однозначный ответ.

-- 01.03.2013, 14:52 --

Тогда обе части инвариантны.

-- 01.03.2013, 15:02 --

Т.е. факт можно считать очевидным. (Это можно обобщить. И, возможно, у меня есть интересный пример, подтверждаемый математикой. Но это уже другая тема.)

[Ontt]

TR63 в сообщении #689489 писал(а):

А, если $a=b$?

Тогда $s=-2a$, и ничего не поменяется: $T_3(a,a) \ne T_3(a,-2a)$. Факт "неинвариантности" снова подтвержден.

(Оффтоп)

TR63 в сообщении #689489 писал(а):

И, возможно, у меня есть интересный пример, подтверждаемый математикой. Но это уже другая тема.

Мы всё равно значительно удалились от темы фильтрации фантомных решений, уж больно тема, предложенная ishhan, оказалась захватывающей. Но как бы нас не выгнал модератор.

[TR63]

Ontt,
на этот раз-опечатка. Надо так: $a=b=0$. Спасибо. Главное, факт очевиден.

(Оффтоп)

Мне тоже тема ishhan понравилась. А пример я уже сообщала на другом форуме. Надо продумать детали, как увязать с возникшей новой гипотезой.

[ishhan]

Ontt в сообщении #689465 писал(а):

ishhan в сообщении #689295 писал(а):
3) Отличие в геометрическим смысле.
Это не ответ.

Представьте себе не плоский, а объёмный рисунок. Кубики $x,y$ вложены в кубик $z$ так что главные диагонали кубиков $x,y,z$ лежат на одной прямой. Пусть$ x+y-z>0$ тогда кубики $x,y $пересекаются.
Геометрический смысл ВТФ3 состоит в том, что объём(тёмно-серая заливка) кубика со стороной $V= x+y-z$ равен объёму свободной области $V=3(x+y)(z-x)(z-y) $(белая заливка).
Если же кубики $x,y$ не пересекаются, но имеют общую вершину, тогда другое дело:)
P.S. Почему именно в теме уважаемого ananova, потому что именно он упомянул о целочисленных делителях и связал их с формулой числа делителей от Леонарда Эйлера.
Моя же пусть и дерзкая научно фантастическая гипотеза состоит в том, что различные свойства инвариантности (правой и левой частей уравнения относительно замены переменных) подобны различным признакам делимости целых чисел.

[TR63]

ishhan,
1). Я против этой гипотезы ничего не имею. Сама аналогичную использовала в "Олимпиадном разделе", но получила "от ворот поворот". Поэтому сомневаюсь в возможности использовать такие гипотезы в качестве теоремы, хотя законных оснований тому не вижу.(Интересно: кто-нибудь видит?)
2). ishhan, Вы согласны с тем, что в данном случае мы имеем дело с системой (как пишет Ontt), а не с уравнением? Меня интересует пока только "да" или "нет".

[ishhan]

TR63 в сообщении #690508 писал(а):

2). ishhan, Вы согласны с тем, что в данном случае мы имеем дело с системой (как пишет Ontt), а не с уравнением? Меня интересует пока только "да" или "нет".

Нет, это одно и то же уравнение (правда сначала показалось, что это независимые уравнения ...).
Что бы это понять, достаточно привести подобные члены в уравнениях:

$$(x+y-z)^2=2(z-x)(z-y)$$

$$(x+y-z)^3=3(z-x)(z-y)(x+y)$$

И вы получите знакомые уравнения Пифагора (или ВТФ2) или оно же но с показателем $n=3$, названное в честь Ферма (или ВТФ3).
Предполагаю, что секрет спрятан в $n$- степени целого числа записанного при помощи формы $ s=x+y-z$.
После линейной замены переменных форму $x+y-z $можно привести к симметрическому виду $x_1+y_1+z_1$.

[TR63]

ishhan,
в последние два поста я ещё не вникала. В качестве системы я имела в виду следующее:

Ontt в сообщении #689069 писал(а):

ishhan в сообщении #689006 писал(а):

Приведу аналогичные Вашим рассуждения для $x^3+y^3=0$.

Возьмем $-a^3 - b^3 + (a + b)^3=3 a b (a+b)$. Мы "получили" форму, которая "инвариантна не только от перестановки переменных $a,b$ но и относительно замены любого переменного на обратную сумму всех остальных".
Дальше предположим, что для некоторых $a, b$ соблюдается исходное равенство, в данном случае это $a^3+b^3=0$. Записывая явно, имеем:
$\begin{cases} -a^3 - b^3 + (a + b)^3=3 a b (a+b) \\ a^3+b^3=0 \end{cases}$
или
$\begin{cases} (a + b)^3=3 a b (a+b) \\ a^3+b^3=0 \end{cases}$

-- 03.03.2013, 17:43 --

$(x+y-z)^2=2(z-x)(z-y)$
Справа (x) во второй степени, а слева в первой. Как это понимать?

-- 03.03.2013, 17:45 --

Право, лево следует поменять местами (перепутала).

[Ontt]

ishhan в сообщении #690615 писал(а):

И вы получите знакомые уравнения Пифагор

Не получим.

-- 03.03.2013, 17:03 --

TR63 в сообщении #690633 писал(а):

Справа (x) во второй степени, а слева в первой. Как это понимать?

ishhan снова неявно сделал систему уравнений, введя к уравнению $(x+y-z)^2-x^2-y^2+z^2=2 (x - z) (y - z)$ еще одно $x^2+y^2=z^2$, но "забыл" об этом написать.