Анализ поведения материи на планковском масштабе

[aklimets]

Соотношение неопределенностей на планковском масштабе имеет вид

$$ \Delta r_g\,\Delta r \ge \ell^2_{pl}$$

где $r_g$ - гравитационный радиус частицы, $r$ - ее координата, $\ell_{pl}=l_{pl}/\sqrt {2\pi}$; $l_{pl}=\sqrt{G\,h/c^3}$ - фундаментальная планковская длина.
От него нетрудно перейти к соотношению неопределенностей Гейзенберга

$$\Delta P_r\,\Delta r \ge \hbar/2$$

Действительно, положим $r_g \, r\approx \ell^2_{pl}$ и подставим соответствующие выражения для $r_g=2G\,m/c^2$ и $\ell_{pl}=\sqrt{G\,\hbar/c^3}$. Получим

$$ \frac{2G\,m}{c^2}\,r=\frac{2G\,m\,c}{c^3}\,U_0\,r=\frac{2G}{c^3}\,P_0\, r \approx \frac{G\,\hbar}{c^3}$$

или, окончательно

$$P_r\,r\approx\hbar/2$$

Здесь $P_r=P_0=m\,c\,U_0$, $U_0$ -- 4-скорость, равная единице, все остальные компоненты импульса для статического центрально-симметричного поля частицы равны нулю.

В квантовой механике известное соотношение неопределенностей $\Delta P_x\Delta x\ge\hbar/2$ является полезным рабочим инструментом квантовой теории, позволяя довольно простым путем получать важные оценки. Аналогичным образом можно использовать установленное выше соотношение неопределенностей между гравитационным радиусом частицы $r_g$ и координатой $r$

$$ \Delta r_g\Delta r\ge \ell^2_{pl}$$

В качестве примера рассмотрим выражение для пространственно-временной метрики $dS^2$ для центрально-симметричного гравитационного поля. В классической общей теории относительности оно имеет вид

$$dS^2=\left( 1-\frac{r_g}{r}\right)c^2dt^2-\frac{dr^2}{ 1-{r_g}/{r}}-r^2(d\Theta^2+\sin^2\Theta d\varphi^2)$$

Чтобы использовать это выражение на планковском масштабе, будем рассматривать величины $r_g$ и $r$, входящие в него, как неопределенности соответственно гравитационного радиуса и координаты частицы. Согласно установленному выше соотношению неопределенностей, эти величины связаны друг с другом. Положим $r_g\,r\approx \ell^2_{pl}$, или проще $r_g\,r= \ell^2_{pl}$. Тогда $r_g=\ell^2_{pl}/r$, а отношение $ r_g/r$ будет иметь вид

$$ \frac{r_g}{r}=\frac{\ell^2_{pl}}{r^2}$$

Используя это выражение, заменим величину $r_g/r$ в метрике для $dS^2$. Получим

$$dS^2=\left( 1-\frac{\ell^2_{pl}}{r^2}\right)c^2dt^2-\frac{dr^2}{ 1-{\ell^2_{pl}}/{r^2}}-r^2(d\Theta^2+\sin^2\Theta d\varphi^2)$$

Отсюда видно, что на планковском масштабе метрика пространства-времени ограничена снизу планковской длиной $\ell_{pl}$. На этом масштабе материя (любая ее форма) переходит в чернодырное состояние, коллапсирует.

Аналогичным образом необходимо поступить и с другими выражениями, получаемыми в рамках общей теории относительности. Здесь мы, конечно, предполагаем, что канонические уравнения классической общей теории относительности сохраняют свой вид и на планковском масштабе.

В качестве еще одного примера рассмотрим движение частицы в центрально-симметричном гравитационном поле. Как и во всяком центральном поле, движение будет происходить в одной <<плоскости>>, проходящей через центр поля; выберем эту плоскость в качестве плоскости $\Theta=\pi/2$. Воспользуемся уравнением Гамильтона-Якоби

$$g^{ik}\frac{\partial S}{\partial x^i}\frac{\partial S}{\partial x^k}-m^2c^2=0$$

где $m$ -- масса частицы (массу же центрального тела обозначим здесь как $m'$), $S$ -- действие. С метрическим тензором $g_{00}=1-r_g/r$, где $r_g=2m'G/c^2$ -- гравитационный радиус центрального тела, это уравнение принимает вид

$$\left (1-\frac{r_g}{r}\right)^{-1}E^2-\left (1-\frac{r_g}{r}\right)P^2_rc^2-\frac{M^2c^2}{r^2}-m^2c^4=0$$

где $E=\partial S/\partial t$; $P_r=\partial S/\partial r$; $P_\varphi=\partial S/\partial \varphi=M/r$; $M$ -- момент импульса.

Перепишем это уравнение следующим образом

$$E^2=\left (1-\frac{r_g}{r}\right)^2 P^2_rc^2+\left (1-\frac{r_g}{r}\right)\frac{M^2c^2}{r^2}+\left (1-\frac{r_g}{r}\right)m^2c^4$$

Полученное уравнение является уравнением для энергии частицы, движущейся в центрально-симметричном гравитационном поле. Гравитационное поле здесь учтено наличием множителя $(1-r_g/r)$.

На планковском масштабе при качественном анализе этого уравнения мы можем подставить в него вместо величины $r_g/r$ величину $\ell^2_{pl}/r^2$, вместо импульса $P_r$ величину $n\,\hbar/r$ (исходя из условия квантования момента Бора), вместо момента импульса $M^2$ величину $\hbar^2l(l+1)$, где $n,l=0,1,2,\dots$, $n$ -- главное квантовое число, $l$ -- орбитальное квантовое число. Получим

$$E^2(r)=\left (1-\frac{\ell^2_{pl}}{r^2}\right)^2 \frac{\hbar^2c^2}{r^2}n^2+\left (1-\frac{\ell^2_{pl}}{r^2}\right) \frac{\hbar^2c^2}{r^2}l(l+1)+\left (1-\frac{\ell^2_{pl}}{r^2}\right)m^2c^4$$

Полученное уравнение можно отобразить и в форме графика для функции $E(r)$, например, при $n=1,\, l=1$ и постоянном значении $mc^2$, причем точки пересечения графика с осью $r$, т.е. при $E=0$, будут характеризовать внешний (т. 1) и внутренний (т. 2) горизонты событий планковской черной дыры; $r=0$ -- сингулярность.



С помощью анализа Эренфеста предыдущего уравнения можно построить аналогичные графики для функций $E(r)$ в пространствах с размерностями $1,2,3,4,5,\dots,n$



Из последнего рисунка видно, что максимумы кривых $E(r)$ в пространствах $U^1,U^2,U^4$, $U^5,\dots,U^n$ лежат выше максимума кривой $E^{(3)}(r)$ в $U^3$. Это означает, что образование планковских черных дыр, с энергетической точки зрения, наиболее выгодно в $U^3$. Из рисунка видно, что планковские черные дыры могут образовываться и в пространствах других размерностей (кроме $U^1$), но минимальная полная энергия системы, необходимая для образования планковских черных дыр, присуща именно $3$-мерному пространству. В этом отношении трехмерное пространство выделено.

Всякая система стремится прийти в состояние с минимумом энергии, отдав при этом избыток имеющейся энергии. У системы, обладающей запасом энергии (возбужденной системы), всегда есть <<желание>> от нее избавиться, прийти в наинизшее энергетическое состояние. Системе это <<энергетически выгодно>>. Для пребывания в возбужденном энергетическом состоянии надо, чтобы была какая-то причина, мешающая системе освободиться от избытка энергии.

Если исходить из принципа, что любая физическая система стремиться реализоваться в состоянии с наименьшей энергией, то вполне очевидно, что, благодаря механизму образования планковских черных дыр в $n$ - мерных пространствах и тому обстоятельству, что планковский вакуум лежит в основе наблюдаемого мира, выбор трехмерного пространства из всех других возможностей при формировании нашей Метагалактики был заранее предрешен.

Действительно, согласно современным представлениям, наблюдаемая Метагалактика возникла 13,7 млрд. лет тому назад из сингулярной <<точки>> с размером $10^{-33}$ см, то есть, согласно предыдущим выводам, наша Метагалактика появилась из <<чернодырного>> состояния физической материи. Отсюда с неизбежностью следует трехмерность наблюдаемого пространства.

С другой стороны, вакуум, согласно найденному выше соотношению неопределенностей, на планковском масштабе состоит из виртуальных планковских черных дыр, возникновение которых также энергетически наиболее выгодно в пространстве размерности три. Поэтому трехмерность наблюдаемого пространства (или четырехмерность пространства-времени) обусловлена исключительно <<кипением>> планковского вакуума. В планковских масштабах длин пустое пространство вовсе не является пустым - оно представляет собой вместилище самых бурных физических процессов. Причем эти процессы есть не что иное, как гравитационный коллапс, который непрерывно и всюду совершается, но вместе с тем совершается процесс, обратный коллапсу. Коллапс при планковском масштабе длин происходит всюду и непрерывно в виде квантовой флуктуации геометрии и, по-видимому, топологии пространства. В этом смысле коллапс постоянно протекает, но вместе с тем постоянно идет обратный процесс. Из всего вышеизложенного следует:
1. В микромире масштаб Планка является пределом расстояния.
2. При достижении масштаба Планка появляются планковские черные дыры, на планковском масштабе длин материя существует в чернодырном состоянии.
3. На планковском уровне вакуум состоит из виртуальных планковских черных дыр.
4. Ниже планковской длины операции измерения длины теряют смысл.
5. Трехмерность пространства является следствием энергетической выгодности образования планковского вакуума (виртуальных планковских черных дыр) на планковском масштабе.

Как можно видеть, на планковском масштабе энергий $10^{19} Gev$ такие гипотетические объекты, как <<струны>>. , <<браны>> и т.п., не должны существовать, однако это не исключает их наличие при масштабе энергий от $10^{16} Gev$ до $10^{18} Gev$.

Понятно, что изложенный анализ не строг, но он нужен для понимания сути дела, и здесь его нельзя заменить никакими расчетами, даже самыми точными вычислениями. Такие расчеты не заменяют, а дополняют ясное понимание качественной стороны, понимание физического смысла явления. Физическая картина явления и его математическое описание дополнительны. Создание физической картины мира требует пренебрежения деталями и уводит от математической точности. И наоборот, попытка точного математического описания явления затрудняет ясное понимание. На вопрос «Что дополнительно понятию истины?» Бор ответил «Ясность».

Более полную информацию можно найти в статье http://apklimets.narod.ru/Kvantovaja_gravitacia41.pdf

[Утундрий]

Рассуждая подобным способом, из $E=mc^2$ получается $x=at^2/2$, откуда немедленно следует, что масса равна только половине ускорения ($m=a/2$), а оставшуюся половину она тратит на "отемнение", вследствие чего замедляющееся было разбегание галактик со временем становится ускоряющимся...

Ну, в общем, уже догадываетесь, куда скоро тема переселится, да?

[aklimets]

Утундрий в сообщении #686939 писал(а):

Рассуждая подобным способом, из $E=mc^2$ получается $x=at^2/2$, откуда немедленно следует, что масса равна только половине ускорения ($m=a/2$), а оставшуюся половину она тратит на "отемнение", вследствие чего замедляющееся было разбегание галактик со временем становится ускоряющимся...

Ну, в общем, уже догадываетесь, куда скоро тема переселится, да?

Можно поконкретнее, где у меня рассуждение идет подобным способом.

[Sh18]

aklimets в сообщении #686728 писал(а):

Соотношение неопределенностей на планковском масштабе имеет вид

$$ \Delta r_g\,\Delta r \ge \ell^2_{pl}$$

где $r_g$ - гравитационный радиус частицы, $r$ - ее координата, $\ell_{pl}=l_{pl}/\sqrt {2\pi}$; $l_{pl}=\sqrt{G\,h/c^3}$ - фундаментальная планковская длина.
От него нетрудно перейти к соотношению неопределенностей Гейзенберга

$$\Delta P_r\,\Delta r \ge \hbar/2$$

Действительно, положим $r_g \, r\approx \ell^2_{pl}$...

Видимо, я туповат несколько, но уже ваши первые строки для меня темны. Можно пару вопросов?

Вот тут " \Delta r_g\,\Delta r \ge \ell^2_{pl} " что означает \Delta r_g? То есть, у вас написано, мне не понятно вот что: масса - это характеристика частицы, $r_g$ - производная от массы, та же масса в несколько ином выражении, что такое неопределенность $r_g$? У массы никакой неопределенности, вроде, нет, коэффициент.

А тут " $r_g \, r\approx \ell^2_{pl}$ " ? У вас "$r$ - ее координата", да? Ну так я возьму начало координат на километр левее и тут же нарушу ваше приблизительное равенство.

Дальше, соответственно, разбираться не получилось...

[myhand]

Sh18 в сообщении #687096 писал(а):

Дальше, соответственно, разбираться не получилось...

Аналогично.

Я рекоммендовал бы ограничиться сперва пояснением откуда есть пошла самая первая формула:

$$ \Delta r_g\,\Delta r \ge \ell^2_{pl}$$

- все обозначения ($\Delta r_g$?!), вывод данного соотношения.

[lek]

myhand в сообщении #687124 писал(а):

Я рекоммендовал бы ограничиться сперва пояснением откуда есть пошла самая первая формула...

Начало здесь...

[Sh18]

Увы, это никак не проясняет заданные вопросы.

[aklimets]

Sh18 в сообщении #687096 писал(а):

Вот тут " " что означает ? То есть, у вас написано, мне не понятно вот что: масса - это характеристика частицы, - производная от массы, та же масса в несколько ином выражении, что такое неопределенность ? У массы никакой неопределенности, вроде, нет, коэффициент.

А тут " " ? У вас " - ее координата", да? Ну так я возьму начало координат на километр левее и тут же нарушу ваше приблизительное равенство.

Дальше, соответственно, разбираться не получилось...

А Вы не с понятия "масса" начинайте, а с понятия "импульс". Ведь в соотношении неопределенностей Гейзенберга не о неопределенности массы говорят, а о неопределенности импульса, хотя импульс можно записать через массу как $P=mV$. Распишем, что такое $r_g$. Не сразу видно, что гравитационный радиус частицы $r_g$ это, с точностью до числового множителя $2G/c^3$, нулевая компонента 4-импульса $P_i$. То есть

$$r_g=\frac{2G}{c^3}mc=\frac{2G}{c^3}mcU_0=\frac{2G}{c^3}P_0$$

Здесь $U_0=1$, остальные компоненты 4-импульса $P_i$ для статического центрально-симметричного гравитационного поля равны нулю.
Все это можно обосновать из простых соображений размерности. Но можно и более строго. Действительно, если проинтегрировать известное уравнение Эйнштейна для слабого поля по 3-мерной гиперповерхности $S_i$, то получим следующее уравнение

$$R_i=\frac{2G}{c^3}P_i$$

где $R_i$ - нужно трактовать как 4-радиус кривизны пространства-времени. Как видите, выражение для гравитационного радиуса $r_g$ есть лишь частный случай этого уравнения, а именно

$$r_g=R_0=\frac{2G}{c^3}P_0$$

Все это более подробно расписано в статье, на которую я давал ссылку в первом сообщении. Почитайте.
Координата $r$ определяется здесь также как, например, в атоме. Чем точнее мы знаем координату электрона, тем более неопределенным становится его импульс и наоборот. В данном случае, говоря об $r$, нужно подразумевать размер той области, которую мы намерены "прощупать". Любая попытка исследовать существование более коротких расстояний (меньше, чем $10^{-33}$см), осуществляя столкновения при более высоких энергиях, неизбежно закончилась бы рождением черной дыры. Столкновения при больших энергиях, вместо того, чтобы дробить вещество на более мелкие кусочки, приведут к рождению черных дыр все большего размера. Об этом и говорит соотношение неопределенностей: чем меньше $r$, тем больше $r_g$ и наоборот.

[Утундрий]

(Оффтоп)

А, так это уже вторая часть мерлезонского балета. Жаль, что я её не пропустил, как и первую...

[Munin]

lek
На самом деле, первую часть марлезонского балета вы указали неправильно. Вот более правильные ссылки:

post632369.html#p632369
post653443.html#p653443

Ну и надо сказать, что aklimets - застарелый убеждённый "альт", а то, что он начитался ОТО, не изменило его убеждений...

[myhand]

aklimets в сообщении #687220 писал(а):

Все это можно обосновать из простых соображений размерности.

Пока большего и не видно. Увы, этого мало. Я тоже могу начать с умным видом заменять массы на "нулевые компоненты импульса". Да хоть в формулах для расчета скоростей после упругого столкновения... "Смысла" в этом - не меньше чем в данном вашем "выводе".

aklimets в сообщении #687220 писал(а):

Но можно и более строго.

Нужно. Вас об этом и просили.

aklimets в сообщении #687220 писал(а):

Как видите, выражение для гравитационного радиуса $r_g$ есть лишь частный случай этого уравнения, а именно

$$r_g=R_0=\frac{2G}{c^3}P_0$$

А я не вижу. Новое уравнение, выковырянное из носу, с потолка. Объясняйте, вместе с вашими новыми обозначениями.

В том месте у ЛЛ, на которое вы ссылаетесь - нет такой формулы ("Смотрите, например, "Теория поля", Ландау, Лифшиц, 2003, с.470.").

aklimets в сообщении #687220 писал(а):

где $R_i$ - нужно трактовать как 4-радиус кривизны пространства-времени.

Мне такое не нужно. Поясняйте, какой общепринятый смысл несет данное обозначение.

[aklimets]

myhand в сообщении #687287 писал(а):

aklimets в сообщении #687220 писал(а):

Все это можно обосновать из простых соображений размерности.

Пока большего и не видно. Увы, этого мало. Я тоже могу начать с умным видом заменять массы на "нулевые компоненты импульса". Да хоть в формулах для расчета скоростей после упругого столкновения... "Смысла" в этом - не меньше чем в данном вашем "выводе".

aklimets в сообщении #687220 писал(а):

Но можно и более строго.

Нужно. Вас об этом и просили.

aklimets в сообщении #687220 писал(а):

Как видите, выражение для гравитационного радиуса $r_g$ есть лишь частный случай этого уравнения, а именно

$$r_g=R_0=\frac{2G}{c^3}P_0$$

А я не вижу. Новое уравнение, выковырянное из носу, с потолка. Объясняйте, вместе с вашими новыми обозначениями.

В том месте у ЛЛ, на которое вы ссылаетесь - нет такой формулы ("Смотрите, например, "Теория поля", Ландау, Лифшиц, 2003, с.470.").

aklimets в сообщении #687220 писал(а):

где $R_i$ - нужно трактовать как 4-радиус кривизны пространства-времени.

Мне такое не нужно. Поясняйте, какой общепринятый смысл несет данное обозначение.

Смотрите в том же издании, стр.447, после формулы (105.22), цитирую: "Взяв достаточно удаленную поверхность интегрирования и воспользовавшись на ней выражениями (105.6) для $g_{ik}$, получим после простого вычисления

$$\int R^0_0\sqrt{-g}dV=\frac{4\pi G}{c^2}m=\frac{4\pi G}{c^3}P^0=2\pi r_g$$

"
Здесь рассматривается постоянное гравитационное поле, и $P^0=mc$, $P^{\alpha}=0$
Очевидно, что $\frac{4\pi G}{c^3}P^0$ не коммутирует с c координатой $x_0$, которая в данном случае совпадает с $r$. Их коммутатор равен $-4i l^2_{pl}$. Отсюда получаем соотношение неопределенностей $\Delta r_g\Delta r \ge\ell^2_{pl}$
Замечу, что достаточно удаленная поверхность интегрирования и малая (планковская) область риманова пространства (даже если поле сильное) близки к плоскому, а посему соотношение неопределенностей, установленное выше для слабого поля, справедливо и для планковской области риманова пространства сильного поля.

[myhand]

aklimets в сообщении #687333 писал(а):

Смотрите в том же издании, стр.447, после формулы (105.22), цитирую: "Взяв достаточно удаленную поверхность интегрирования и воспользовавшись на ней выражениями (105.6) для $g_{ik}$, получим после простого вычисления

$$\int R^0_0\sqrt{-g}dV=\frac{4\pi G}{c^2}m=\frac{4\pi G}{c^3}P^0=2\pi r_g$$

"

Эту формулу я видел, несмотря на то что вы "промахнулись" почти на десяток страниц. Однако, там написано вовсе не $R_0$ слева, тем более - не $R_i$. Букв больше, они другие, формула другая - вы этого не видите?!

aklimets в сообщении #687333 писал(а):

Очевидно, что $\frac{4\pi G}{c^3}P^0$ не коммутирует с c координатой $x_0$, которая в данном случае совпадает с $r$.

Очевидно, что это не очевидно. Что очевидно - в вашей голове какая-то каша и вы ее пытаетесь вывалить на окружающих. $P_0$ - полная энергия материи+гравитационного поля (см. обозначения в том же ландавшице). $r$ - одна из координат точки пространства (даже не частицы или чего-то подобного) в специальным образом выбранной (с учетом симметрии) системе координат. $x_0$ - еще новое невесть что.

(Оффтоп)

Мне кажется, данная тема имеет отношение больше к психиатрии, чем к физике...

[ivanhabalin]

Опыт всё расставит по местам и если нет опыта, то это просто говорильня. Обменялись мнениями и каждый при своём.

[aklimets]

myhand в сообщении #687361 писал(а):

Эту формулу я видел, несмотря на то что вы "промахнулись" почти на десяток страниц. Однако, там написано вовсе не слева, тем более - не . Букв больше, они другие, формула другая - вы этого не видите?!

Блин, ну обозначил я этот интеграл буквой $R$, так как он имеет размерность длины и трактую эту величину как радиус кривизны, тем более, что так оно и есть. Что тут крамольного? Как трактовать $r$ в полученном соотношении неопределенностей я писал выше - как размер исследуемой области пространства.

ivanhabalin в сообщении #687371 писал(а):

Опыт всё расставит по местам и если нет опыта, то это просто говорильня. Обменялись мнениями и каждый при своём.

Согласен, но это нереально.