Релятивистская квантовая теория

[Munin]

Наблюдаемое значение физической величины будет $\langle\text{state}|A|\text{state}\rangle.$ А то, что вы ввели, имеет несколько другой смысл.

$\mathbf{k},$ как я писал выше, совпадают, ничего не даёт нуль. Вы должны внятно дефинировать произведения (или коммутационные соотношения) для операторов в одной точке пространства импульсов (или координат). Можно для канонических переменных, как показывает espe, можно для операторов рождения-уничтожения, что просто даёт другой базис, от которого к каноническим переменным можно перейти обратно.

При "заменах руками" возникают проблемы упорядочения операторов.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #676257 писал(а):

А то, что вы ввели, имеет несколько другой смысл.

Так, если по порядку.

Берм задачу

EvilPhysicist в сообщении #675967 писал(а):

Двумерное простарнство-время: $t\in(-\infty,\infty)$, $x\in[0,L]$, метрика $g_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(+-)$. В нём массивное комплексное скалярное поле $L=\partial_\mu \psi^\ast \partial^\mu \psi - m^2 \psi^\ast \psi$.

Из неё получаем, что поле имеет вид

$$ \psi=a_n u_n + b_n \bar u_n $$

, где $u_n=e^{-iE_n t} \sin k_n x$, $k_n=\cfrac{\pi n}{L}$, $E_n=\sqrt{m^2+k_n^2}$, $\bar u_n$ - комплексно-сопряженная функция.

Тогда плотность энергиии будет

$$ \begin{matrix} w=a_k^+ a_s \partial_x \bar u_k \partial_x u_n + b_k^+ b_n \partial_x u_k \partial_x\bar u_n +b_k^+ a_n \partial_x u_k \partial_x u_n + a_k^+ b_n \partial_x \bar u_k \partial_x \bar u_n + \\ +m^2 (a_p^+ a_s u_p \bar u_s + b_p^+ b_s u_p \bar u_s + b_p^+ a_s u_p u_s + a^+_p b_s \bar u_p \bar u_s) \end{matrix} $$

Дальше, вычислим всю энергию $H=\int dt dx w$.
Формально обозначя $u_k=\lvert k \rangle$ и $\int dt dx \bar u_k u_s = \langle k \lvert s \rangle$ вычислим

$$\begin{matrix} \langle p \lvert s \rangle = \delta_{ps} \\ \int dt dx ( \partial_x \bar u_k \partial_x u_n )= \int dt dx \partial_x (\bar u_k \partial_x u_n) - \int dt dx (\bar u_k \partial_x^2 u_n)=-\langle k \rvert \partial_x^2 \lvert n \rangle = (k_n)^2 \int dt dx(\bar u_k u_n)=k_n^2 \delta_{kn} \end{matrix} $$

Члены же $\int dt dx (u_k u_n)$ - обратяться в нуль, так как в них возникнут множители вида $\int dt e^{-i t(E_n +E_k)}$ - которые при интегрировании дадут $\delta$ - функцию он аргемента $E_k +E_n$ который никогда в нуль не обратиться.

Таким образом все слагаемые с $u_k u_n, \bar u_k, \bar u_n$ выкидываем, остальное интегрируем.

Получаем $H= a_s^+ a_s k_s^2 + b_s^+ b_s k_s^2 +m^2 (a_s^+ a_s + b_s^+ b_s ) $
Вспонимая, что $E_s^2 = k_s^2 +m^2$ наводим марофет и получаем окончательно $H=E_s (a_s^+ a_s + b_s^+ b_s)$. Но выражение это классическое и ничего квантовог ов нем нет.

До сюда все верно?

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #676361 писал(а):

Munin в сообщении #676257 писал(а):

А то, что вы ввели, имеет несколько другой смысл.

Так, если по порядку.

Берм задачу

EvilPhysicist в сообщении #675967 писал(а):

Двумерное простарнство-время: $t\in(-\infty,\infty)$, $x\in[0,L]$, метрика $g_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(+-)$. В нём массивное комплексное скалярное поле $L=\partial_\mu \psi^\ast \partial^\mu \psi - m^2 \psi^\ast \psi$.

Из неё получаем, что поле имеет вид

$$ \psi=a_n u_n + b_n \bar u_n $$

, где $u_n=e^{-iE_n t} \sin k_n x$, $k_n=\cfrac{\pi n}{L}$, $E_n=\sqrt{m^2+k_n^2}$, $\bar u_n$ - комплексно-сопряженная функция.

Так, с самого начала. Что такое в этом выражении $a_n$ и $b_n$? Если просто какие-то числовые коэффициенты, то неверно.

У меня на самых-самых первых лекциях такой же затык был. Пишут формулы, а я их воспринимаю как что-то смутно знакомое, и бегу дальше. Оказалось, зря. Оказалось, некоторые буковки означают намного больше, чем кажется.

Квантовое поле - это намного больше, чем просто какая-то функция от точки пространства-времени. То, есть, конечно, она функция, но не числовая. А операторная. Точнее, даже нет, всё ещё хуже. Квантовое поле - это МОНСТР. А операторная функция - это только способ посмотреть на этого МОНСТРА.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #676372 писал(а):

Что такое в этом выражении $a_n$ и $b_n$? Если просто какие-то числовые коэффициенты, то неверно.

Почему? У нас решение дифура $\square \psi + m^2 \psi=0$ с граничными условиями $\psi(t,0)=0, \psi(t,L)=0$ - линейная комбинация решений $u_k, \bar u_k$.

Munin в сообщении #676372 писал(а):

Квантовое поле - это намного больше, чем просто какая-то функция от точки пространства-времени. То, есть, конечно, она функция, но не числовая. А операторная. Точнее, даже нет, всё ещё хуже. Квантовое поле - это МОНСТР. А операторная функция - это только способ посмотреть на этого МОНСТРА.

Вы хотите сказать, что я должен оператор поля $\phi$ разложить по операторам "элементарных возмуждений поля" $\hat u_k, \hat u^+_k$ и в такой конструкции $a_k,b_k$ тоже станут операторами?

[Munin]

Начнём с квантовой механики. В квантовой механике волновая функция или вектор состояния - это $\psi(q_i).$ В скобочках - все-все-все обобщённые координаты системы, для конфигурационного пространства очень большой размерности. Скажем, если у нас $N$ частиц, то будет $3N$ координат. Как мы смотрим на отдельную частицу? Мы можем найти плотность вероятности этой частицы по её координатам, проинтегрировав по всем остальным координатам $\idotsint_{j\ne i_0}\psi^*\psi\,dq_j^{N-3}.$ Эта полная волновая функция системы - это наш будущий МОНСТР.

Дальше используем такую аналогию между механикой и полем. В механике мы имеем координаты частиц, и уравнения движения, которые по координатам частиц дают будущие координаты частиц. В поле мы имеем функцию поля, и уравнения поля, которые по функции поля дают будущую функцию поля. Эти две картины похожи, если считать, что функция поля - это точка в конфигурационном пространстве, которое бесконечномерное, а координаты этого пространства - это точки обычного пространства. Или, часто говорят, что точки обычного пространства нумеруют координаты конфигурационного пространства, то есть мы переходим к бесконечному множеству индексов, $q_i\to q_{(x,y,z)}.$ В конфигурационном пространстве можно выбрать другой базис, тогда у нас будут не точки обычного пространства, а после преобразования Фурье - точки пространства волновых векторов, например, $q_{\mathbf{k}}.$ Одно хорошо: хотя в механике бывают какие угодно потенциалы и лагранжианы, в теории поля обычно встречаются только очень простые уравнения поля.

Так вот. Возвращаясь к квантовой механике. Уже волновая функция от нескольких частиц - это функция в многомерном пространстве. Представить себе её можно с трудом, в ней бывают в принципе какие угодно запутанные волны, сочетающие между собой координаты разных частиц, так что частицы движутся скоррелированно или не скоррелированно, и в произвольных суперпозициях таких состояний. А теперь представим себе, что у нас не многомерное пространство, а бесконечномерное. Тогда наша волновая функция будет просто МОНСТР. Что такое "координаты разных частиц"? Это значения поля в разных точках пространства. Они бывают как угодно движущимися, причём как угодно запутанными, и в произвольных суперпозициях. Как мы можем вообще посмотреть на то, что имеем? Допустим, в МОНСТРЕ значения поля в разных точках как угодно запутаны, но нас это не интересует, нас интересует только значение поля в одной данной точке. Тогда мы поступаем так же, как в квантовой механике - интегрируем все остальные точки: $\idotsint_{\mathbf{r}\ne \mathbf{r}_0}M^*M\,dq_{\mathbf{r}}^{\infty-1}.$ Что у нас в результате получается? Плотность распределения - по чему? По возможным значениям "конфигурационной координаты", которая у нас - значение поля в данной точке, переменная поля. То есть, в классической физике мы меряли, скажем, электрический потенциал в данной точке (или напряжённость, или индукция, или тому подобное), и получали число. А тут мы тыкаем в данную точку, и получаем целое вероятностное распределение по всем возможным значениям потенциала. Причём это ещё неполная информация, как мы помним, мы проинтегрировали по остальным переменным, позабыв про все корреляции. То есть, в МОНСТРЕ информации неизмеримо больше. В нём есть корреляции пар точек: $\idotsint_{\mathbf{r}\ne \mathbf{r}_0,\mathbf{r}_1}M^*M\,dq_{\mathbf{r}}^{\infty-2}.$ В нём есть корреляции троек точек, четвёрок точек, и так далее - до бесконечности... (22.10.2018: Заменил 3, 6 на 1, 2.)

С этим МОНСТРОМ надо как-то работать. Поэтому с ним почти не обращаются напрямую, выписывая интегралы типа тех, которые я рисовал (для МОНСТРА даже буквы отдельной нет, так что мне пришлось изобретать $M$). Вместо этого, работают с операторами, которые как-то по-разному выбирают из МОНСТРА разные интересующие нас вещи. Например, в обычной КМ мы можем спросить: а какое у нас среднее значение координаты данной частицы? Тогда, мы пишем $\idotsint_{\forall j}\psi^*\hat{q}_{i_0}\psi\,dq_j^{N}.$ Вот это самое $\hat{q}_{i_0}$ - это тот самый оператор. Из него, можно составить операторы разных других физвеличин, касающихся данной частицы (нужен ещё оператор сопряжённого импульса $\hat{p}_{i_0}$). В случае нашего МОНСТРА мы можем спросить: а какое у нас среднее значение переменной поля в данной точке? И делаем то же самое: $\idotsint_{\forall \mathbf{r}}M^*\hat{\psi}_{\mathbf{r}_0}M\,dq_{\mathbf{r}}^{\infty}.$ Вот тут используется похожая буква $\psi,$ но у неё совершенно другой смысл. Это оператор, позволяющий задать определённый "вопрос" к нашему МОНСТРУ. У espe он обозначен $\hat{\varphi}^A({\mathbf{r}_0,t)$ (про время я пока даже не заикался).

Проблема именно в том, что буква используется та же. У этого есть исторические причины. Сначала была квантовая механика Шрёдингера, с буквой $\psi,$ потом из неё сделали релятивистскую квантовую механику Дирака, тоже с буквой $\psi,$ где эта буква обрела смысл "значение волновой функции фермиона Дирака в данной точке пространства-времени". А потом оказалось, что релятивистская квантовая механика сама по себе несостоятельна, и требует замены на теорию поля, и чтобы не переделывать много формул, заменили смысл у буквы, на "оператор значения фермионного поля Дирака в данной точке пространства-времени". А за этим стоит замена чисел на операторы, а основного объекта изучения - на МОНСТРА.

Кстати, вспомнил. У МОНСТРА-таки есть обозначение. Это $|\text{state}\rangle.$ Но только в бра-кет-обозначениях...

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #676379 писал(а):

Как мы смотрим на отдельную частицу? Мы можем найти плотность вероятности этой частицы по её координатам, проинтегрировав по всем остальным координатам

То есть посчитав матрицу плотности для этой частицы?

Если резюмировать вами написанное.
Кванты: система описывается вектором состояния $\lvert state \rangle$ - который функция конечного числа переменных.
КТП: систем описывается веткором состояния $\lvert state \rangle$ - который функция бесконечного числа переменных.

Все остальное так же:
наблюдаемое значение величины $A$ это $\langle state \rvert \hat A \lvert state \rangle$
вероятность перехода из состояния А в состояни В - $\langle state B \rvert state A \rangle$
так?

[Munin]

К МОНСТРУ есть несколько дорог. Я изложил пока одну - "каноническое квантование классического поля". Попробую рассказать, что такое "вторичное квантование".

Как мы помним, в КМ волновая функция нескольких частиц - это функция в многомерном конфигурационном пространстве $\psi(q_i).$ Но тут считается, что эти частицы предзаданы - вот они есть, и всё. В квантовом поле у нас бывает переменное число частиц, частицы могут возникать и исчезать (почему, отложим на потом). Получается, у нас должно быть много разных многомерных конфигурационных пространств: для одной частицы, для двух частиц, ... до бесконечности. Полное состояние системы - (это наш МОНСТР, вид сбоку) - это суперпозиция всех таких разночастичных функций, с разными комплексными весовыми коэффициентами. Что значит "суперпозиция"? Мы знаем, как делать суперпозицию двух состояний, которые выражены в одном конфигурационном пространстве - надо просто сложить функции, а здесь что складывать? Мы берём формальную сумму $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)+\ldots$ и так до бесконечности. Ведь что нам нужно от суперпозиции? Чтобы можно было находить комплексную амплитуду вклада одного слагаемого, и другого слагаемого. Формальная сумма это вполне позволяет. Пространство всех таких формальных сумм называется пространство Фока.

Теперь мы можем "пощупать", что означает состояние квантового поля, конкретное значение нашего МОНСТРА, на языке частиц. У нас есть понятие, что такое вакуум - когда нет вообще частиц ($\psi_0$ выше - это не стандартное обозначение, не забивайте голову); что такое одночастичное состояние, что такое двухчастичное состояние, и так далее. Но есть одна незадача. Когда в КМ мы обсуждали систему нескольких частиц, мы знали все эти частицы "по именам", могли сказать "а вот тут у нас протон был - а где он?", и выбрать то, что касается именно этой частицы. А здесь у нас отдельные "имена" частиц пропали, в общем состоянии системы мы не знаем, как обратиться к какой-то одной конкретной частице. Но есть другой вид вопросов, который мы могли задать к многочастичной системе: "а вот тут у нас точка пространства - какова вероятность, что в ней мы найдём протон?". Понятно, что это было $\idotsint_{j\ne i_0}\psi^*\psi\,dq_j^{N-3}.$ Допустим, что у нас в системе было несколько одинаковых протонов - тогда надо было взять сумму таких интегралов по всем протонам, соответственно симметризованную. И вот такие вопросы мы можем задать ко всем многочастичным функциям на всех этажах пространства Фока. Разумеется, для вакуума ответ всегда будет 0, а вот для $n$-го этажа, для $n$-частичной функции - симметризованный по $n$ частицам аналогичный интеграл.

Ещё у нас есть способ построить в явном виде состояние МОНСТРА, какое нам надо. Для этого, мы должны уметь переходить от состояния с $n$ частицами к состоянию с $n+1$ частицей. Потом это можно будет повторить, и всё сложить. Допустим, у нас есть состояние с $n+1$ частицей, такого вида: все частицы, кроме последней, летают как хотят, а последняя - расположена точно в точке $\mathbf{r}_0.$ Если мы возьмём плотность вероятности для неё - то это будет $\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0).$ Такое состояние можно получить из состояния с $n$ частицами, просто добавив ещё одну частицу в заданной точке. То есть, мы имеем некоторое "действие", увеличивающее число частиц $n\to n+1,$ причём последняя частица - в заданном месте. Назовём его "оператор рождения", $\psi_n(\mathbf{r}_i)\to\psi_{n+1}(\mathbf{r}_i,\mathbf{r})=\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)=\psi_n(\mathbf{r}_i)\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0).$ Если мы захотим добавить частицу в "размазанном виде", мы можем просто взять интеграл $\int_{\mathbf{r}_0}\psi(\mathbf{r}_0)\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)\,d\mathbf{r}_0=\bigl(\int_{\mathbf{r}_0}\psi(\mathbf{r}_0)\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\,d\mathbf{r}_0\bigr)\psi_n(\mathbf{r}_i),$ где $\psi(\mathbf{r}_0)$ - просто числовые весовые коэффициенты в суперпозиции. Обратным к оператору рождения будет оператор уничтожения $\hat{a}_{\mathbf{r}_0},$ который будет "вынимать" частицу из данной точки, если она там окажется. А если не окажется? На это в гильбертовом пространстве есть хороший ответ - применение оператора к вектору даёт нуль. Тут нужно внимательно различать и не путать нуль как "неправильный" вектор состояния, и вакуум как "правильное" состояние, но только с нулём частиц. Обозначаются они по-разному, $0$ и $|0\rangle.$

Теперь мы можем построить наш "оператор измерения" наличия частицы в данном месте. Мы должны всего лишь "взять" частицу, если она есть, и "положить обратно". И получить ответ единица. А вот если её не окажется - получить нуль. Это образуется операторным произведением $\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\hat{a}_{\mathbf{r}_0}$ (не забываем, что операторы применяются в порядке справа налево). На самом деле, за счёт нормировочных множителей при симметризации, такой оператор делает ещё кое-что: он говорит нам, сколько раз можно было бы "вынуть" частицу из данной точки, с учётом того, что у нас в ней может быть много тождественных частиц - много фотонов, например. Поэтому официально он называется "оператор числа частиц".

Теперь пора сшивать всё вместе. Мы умеем, посмотрев на точку пространства-времени, узнать, сколько в ней частиц. Мы умеем, посмотрев на точку, узнать, какое в ней распределение вероятностей для разных значений величины поля. Как они соотносятся между собой? Ответ в теории гармонического осциллятора - "грузика на пружинке", с функцией Гамильтона $H=p^2+\omega^2x^2.$ Если мы берём квантовый гармонический осциллятор, то он будет иметь лесенку уровней, равномерно отстоящих по энергии. На него можно смотреть с двух сторон: как на волновую функцию от одной координаты $x,$ и как на суперпозицию множества собственных энергетических (то есть стационарных) состояний. Эта суперпозиция может быть рассмотрена как формальная сумма $c_0\psi_0+c_1\psi_1+\ldots$ Чтобы строить эту формальную сумму, вводятся операторы повышения и понижения состояния, которые позволяют от основного состояния $\psi_0$ (оно известно как координатная волновая функция, но для формального взгляда это неважно, главное, что его можно принять за константу) перейти к следующему, от него ещё к следующему, и так далее. Эти операторы повышения и понижения (уровня) в точности аналогичны операторам рождения и уничтожения (частицы). Таким образом, создавая частицу в нашем МОНСТРЕ, мы вносим в поле некоторое возбуждение, которое отражается в вероятностях значений полевых переменных. Удаляя частицу, мы тоже производим некое действие с этими вероятностями. В этом смысле понимается фраза, что квантовая частица - это элементарное возбуждение квантового поля, квант поля. (В сторону, упомяну, что на самом деле для того, чтобы увидеть в поле осцилляторы, надо преобразовать его от пространственных координат к координатам волновых векторов, и тогда уравнения поля, такие как уравнения Максвелла, превратятся ровно в уравнения "грузиков на пружинках". Так что на самом деле осцилляторным возбуждениям отвечают операторы рождения $\hat{a}^+_{\mathbf{k}},$ которые представляют собой интегралы - преобразования Фурье от операторов рождения $\hat{a}^+_{\mathbf{r}}$)

Остался ещё вопрос о том, на что именно накладываются эти наши возбуждения. К сожалению, это тёмное место КТП. Вспомним квантовый осциллятор: у него есть наинизшее состояние, которое на самом деле "размазано" по координате, и энергия у него не нулевая, а $\tfrac{1}{2}\hbar\omega.$ Когда мы смотрим на один такой осциллятор, ну что тут такого? Всё обычно. Но потом мы видим, что таких осцилляторов в пространстве $\mathbf{k}$ бесконечное количество, и уже тут мы получаем суммарную энергию вакуума бесконечность. А потом мы хотим узнать, а какие у нас вероятности значений полей в пространственных точках, в случае вакуума? И мы должны взять интеграл Фурье по всему пространству $\mathbf{k}$ от этих "размазанных" состояний, который по значениям полей будет распределением суммы вероятностей - то есть свёрткой. И он расходится. Получается, что вакуум, в понимании полевых переменных - нечто "бессмысленное", но мы с ним можем работать, добавляя частицы и убирая их. Так что всё "нормально", если быть осторожным и не пытаться вычислять некоторых вещей.

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #676385 писал(а):

Если резюмировать вами написанное.
Кванты: система описывается вектором состояния $\lvert state \rangle$ - который функция конечного числа переменных.
КТП: систем описывается веткором состояния $\lvert state \rangle$ - который функция бесконечного числа переменных.

Все остальное так же:
наблюдаемое значение величины $A$ это $\langle state \rvert \hat A \lvert state \rangle$
вероятность перехода из состояния А в состояни В - $\langle state B \rvert state A \rangle$
так?

Все так. В общем тут проблема в довольно обычной терминологической путанице, когда полевую функцию называют волновой функцией (эта путаница довольно распространенна в книгах и имеет чисто исторические корни). Надо различать эти две совершенно разные вещи! Волновая функция это "монстр", о котором писал Мунин. А полевая функция -- это наблюдаемая. Т.е., в полной аналогии с квантовой механикой, оператор. Кстати этот "монстр" -- это функционал. Т.е. отображение функции в число. В квантовой механике есть амплитуда вероятности дискрентого конечного набора величин, характеризующих систему (например координат частицы). Отображение, например, трех кооординат в амплитуду вероятности -- это обычная функция. Точно также и в КТП есть амплитуда вероятности, но уже "полевой конфигурации", т.е. распределения поля в пространстве. Вот это отображение полевой конфигурации (т.е. обычной функции координат) в число (амплитуду вероятности этой конфигурации) и есть "монстр" Мунина. Т.о. обычная функция, называемая в КМ волновой, в КТП заменяется на функционал -- амплитуду полевой конфигурации.

В общем у Мунина все правильно написано. И это крайне важно ясно понимать.

[espe]

EvilPhysicist в сообщении #676361 писал(а):

Дальше, вычислим всю энергию $H=\int dt dx w$.

Интегрирования по $t$ здесь быть не должно. И соответственно этого не будет

EvilPhysicist в сообщении #676361 писал(а):

в них возникнут множители вида $\int dt e^{-i t(E_n +E_k)}$ - которые при интегрировании дадут $\delta$ - функцию он аргемента $E_k +E_n$

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #676385 писал(а):

То есть посчитав матрицу плотности для этой частицы?

Нет, не матрицу плотности, а всего лишь её диагональ. Это тоже момент, где мы теряем информацию.

EvilPhysicist в сообщении #676385 писал(а):

Если резюмировать вами написанное.
Кванты

Не "кванты", а КМ. Дело в том, что "кванты" в целом - это и то и другое, и объединённо называется "квантовая физика". Некоторые общие правила, типа принципа суперпозиции, верны и там и там, и если писать только бра- и кет-векторы, можно делать много выкладок, не обращая даже особого внимания, с чем работаешь.

EvilPhysicist в сообщении #676385 писал(а):

Все остальное так же

Да, но при этом сами по себе наблюдаемые величины и переходы - другие. Появляются такие величины, как "число частиц в данной точке", "напряжённость поля в данной точке" - все они выражаются операторами, и эти операторы записываются как выражения от базисных операторов - от $a^+,a$ или от $\varphi,\pi.$ В качестве переходов, появляются такие процессы, как возникновения и исчезновения частиц: излучения и поглощения, взаимопревращения, распады и реакции, рождения пар и аннигиляции. И с другой стороны, все эти процессы становятся "локализованы в точке", в отличие от, скажем, перехода атома между уровнями.

-- 26.01.2013 15:40:18 --

Alex-Yu в сообщении #676408 писал(а):

Кстати этот "монстр" -- это функционал. Т.е. отображение функции в число.

Это функционал, функция бесконечного числа переменных, в разных представлениях, но поначалу удобно просто думать, что это вектор состояния - в гильбертовом пространстве, которому, в общем, всё равно. (Все бесконечномерные гильбертовы пространства изоморфны.) По крайней мере, пока не появится беглости и понимания "разных языков".

Alex-Yu в сообщении #676408 писал(а):

Точно также и в КТП есть амплитуда вероятности, но уже "полевой конфигурации", т.е. распределения поля в пространстве. Вот это отображение полевой конфигурации (т.е. обычной функции координат) в число (амплитуду вероятности этой конфигурации) и есть "монстр" Мунина. Т.о. обычная функция, называемая в КМ волновой, в КТП заменяется на функционал -- амплитуду полевой конфигурации.

Спасибо, очень существенное дополнение. Отсюда можно перекинуть мостик к третьей дороге к МОНСТРУ - "фейнмановскому интегралу по траекториям". А то я не брался за него, да и не знаю, стоит ли - не вызовем ли мы "переполнение мозга" за раз? :-) Со всем этим долго сживаться и свыкаться надо... Буквально учиться читать заново.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #676411 писал(а):

Отсюда можно перекинуть мостик к третьей дороге к МОНСТРУ - "фейнмановскому интегралу по траекториям".

Который, кстати, вовсе даже и не интеграл по траекториям (как в КМ) а интеграл по полевым конфигурациям И опять же довольно распространенная путаница в книжках. Особенно в англоязычных. В русских -- континуальный интеграл (что и по траекториям, и по полевым конфигурациям -- общее название). А как по-английски общепринято называть "континуальный интеграл" я даже и не знаю Везде "path integral" и все тут...

[espe]

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #676413 писал(а):

А как по-английски общепринято называть "континуальный интеграл" я даже и не знаю Везде "path integral" и все тут...

functional integral --- функциональный интеграл

[EvilPhysicist]

Опять резюмируя:
В КМ вектор состояния системы - $\lvert state \rangle$ - это функция
В КТП веткор состояния системы - $\lvert state \rangle$ - функционал

Правила вычисления наблюдаемых в КТП такие же как в КМ. В том смысле, что $A_\text{наблюдаемое значение}=\langle state \rvert \hat A \lvert state \rangle$?

Munin в сообщении #676411 писал(а):

А то я не брался за него, да и не знаю, стоит ли - не вызовем ли мы "переполнение мозга" за раз?

Мозг зараз не переполнить!

Но мне будет куда приятнее, если вы мне расскажете о "меркантильной" стороне - как посчитать.

А лучше ответьте на вопрос. Рас уж вектор состояния системы в КТП - функционал, то записать явно мы его не можем. Но каждому функционалу можем сопоставить обобщенную функцию.

Пусть $\psi_\text{state}$ - вектор состояния $\lvert state \rangle$, записанный как обобщенная функция. Получается $\langle \text{state B} \rvert \text{state A} \rangle$ - это свертка $\psi_\text{state B} * \psi_{\text{state A}}$? Соответсвенно наблюдаемое значение $\langle state \rvert \hat A \lvert state \rangle$ это свертка $\psi_\text{state} * (\hat A \psi_\text{state})$? А матричные элементы $\langle \test{state B} \rvert \hat A \lvert \text{state A} \rangle $ это свертка $\psi_\text{state B} * (\hat A \psi_\text{state A})$.

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #676418 писал(а):

Но каждому функционалу можем сопоставить обобщенную функцию.

Линейному функционалу -- да. Вообще говоря -- нет. В том-то и дело, что он нелинейный. Вы же в обычной КМ одной частицы не ограничиваетесь лишь линеными функциями трех координат...

В принципе нелинейный функционал можно (во всяком случае формально) представить в виде функционального разложения в ряд типа Маклорена. Но в реальных расчетах, как правило (я даже не знаю исключений), явный вид "волногого функционала" обходят. Не надо это никому! Но упомянутое разложение в функциональный аналог ряда Маклорена широко применяется при введении так называемых функций Грина. Вводят внешний классический источник, действующий на поле, и рассматривают амплитуду перехода вакуум-вакуум при условии наличия такого источника (тоже функционал, но уже от источника, Швингер придумал). Оказывается, что все реально интересное физически можно отсюда "добыть".

[EvilPhysicist]

Alex-Yu в сообщении #676420 писал(а):

явный вид "волногого функционала" обходят. Не надо это никому!

Как тогда считают?