Я не о том. У меня сложилось впечатление, что покольку непрерывность перехода между картами требуется в обязательном порядке в определении многообразия, то использовать сингулярные преобразования даже в точке недопустимо, а Вы говорите, что можно.
Стоп. Когда это я говорил, что можно?
Если вас до сих пор интересует решение Шварцшильда, и как из него получается чёрная дыра, то там речь о другом.
1. Прежде всего, ОТО - математическая физическая теория нового типа (по сравнению с теми, которые были до неё). Все прежние матфизические теории работали на многообразии
Его можно покрыть одной картой
И даже если какие-то конкретные задачи работали только с областями или подпространствами этого многообразия, то всегда можно было сказать, что в конечном счёте это всё подмножества данного многообразия, и именно его. ОТО поставила новую проблему: на каком многообразии "живёт" решение уравнений матфизики -
но её не решила. ОТО только дала уравнение - уравнение Эйнштейна - которое позволяет найти решение
в пределах одной карты. А из каких карт состоит покрытие многообразия, как они между собой должны быть сшиты - неизвестно. "В старом смысле" ОТО - логически полная теория, "в новом смысле" - неполная. Это всё было понято сильно не сразу. Шварцшильд, видимо, об этом не задумывался.
2. Решение Шварцшильда на одной координатной плоскости оказалось обращающимся в бесконечность, так что оно поделило эту плоскость на несколько кусков (внутренняя и внешняя часть). Как карта имеет смысл только один из таких кусков, взятый по отдельности. Каково при этом многообразие в целом - решение Шварцшильда
не отвечает. При этом,
на самом деле физический смысл имеет именно многообразие пространства-времени. Так что, встаёт вопрос о том, какое оно. Есть две, в принципе, возможности:
- многообразие покрыто одной картой;
- многообразие покрыто несколькими картами, из которых нам пока известны не все.
Похоже, что первые годы после получения решения Шварцшильда, многие физики думали по первому варианту. Но тогда, к краю карты решения Шварцшильда, и само многообразие пространства-времени должно "естественно заканчиваться". Должен возникать какой-то "край земли". А когда его исследовали, оказалось, что на самом деле, края там не возникает. Само пространство-время становится искривлённым, но до конечных величин, и проблемы в том, чтобы "подойти пешком к краю, и попытаться сделать шаг ещё дальше", нет. Пришлось рассматривать второй вариант.
3. Итак, задача стояла такая: есть многообразие, но
оно в целом неизвестно. Известна одна карта, частично его покрывающая. (Или две карты, тоже частично его покрывающие.) Что там дальше? И вот тут пришли на помощь "сингулярные преобразования". Преобразование от координат Шварцшильда к координатам Эддингтона-Финкельштейна
не играет роли "сингулярного преобразования", справедливого в том числе на
На самом деле, его следует понимать так: карте Шваршцильда на
(мы должны помнить, что это одна карта, а при
там уже другая карта) ставится в соответствие карта Эддингтона-Финкельштейна, вот этой как раз функцией перехода. Но сама карта Эддингтона-Финкельштейна покрывает искомое многообразие дальше, чем исходная карта Шварцшильда, в том числе, она покрывает его на
и на
- я подчёркиваю, что здесь речь идёт о координате
карты Эддингтона-Финкельштейна. Это утверждение (что "покрывает дальше"), на самом деле, ниоткуда не следует, но мы так думаем, на основе того, что физически решение Эддингтона-Финкельштейна отвечает всем тем же условиям задачи, что и решение Шварцшильда, за исключением одного: "неподвижности" (диагональность с сигнатурой диагональных элементов по порядку
). Таким образом, на
никто не совершает "сингулярного преобразования". Вместо этого, "по болоту прокладывается новая гать", не имеющая уже никакого отношения к карте Шварцшильда.
И наконец, дальше оказывается, что на
можно сопоставить новую карту Эддингтона-Финкельштейна с другой старой картой - с "внутренней" картой Шварцшильда. Причём ровно тем же, по формуле, преобразованием, что на самом деле не имеет физического значения. Просто сопоставили, и всё. Приятный бонус.
И в итоге, карта Эддингтона-Финкельштейна оказывается картой, полностью покрывающей интересующее нас многообразие. Её хватило одной. Это приятно. Но тоже не обязательно. Бывают такие многообразия ОТО, которые одной картой не покрываются, как ни крути.
Второй итог: операция, которую мы совершили, неоднозначна. Мы произвольно решили, что карта Эддингтона-Финкельштейна на на
- это то, что нам надо. Мы могли решить иначе. И de facto другие такие решения построены и известны: "белая дыра", "полное решение Крускала-Секереша", "червоточина", и другие. "Чёрная дыра" - только одно из них, наиболее известное, по сути первое построенное, и видимо, наиболее важное в реальном мире и в астрофизике. Это всё разные многообразия.