геометрия постранства

[g______d]

Вопрос вполне корректный. Как топологическое пространство конус, действительно, неотличим от плоскости. Дальнейшее зависит от того, какую гладкую структуру мы введем (поскольку из вложения в пространство гладкой структуры не получается, то какой-то канонической $C^N$-структуры нет). Самое разумное --- это понять, что на самом деле вложение индуцирует структуру липшицего многообразия, это чуть хуже, чем $C^1$. Так что естественный класс гладкости конуса --- это липшицево многообразие.

[casualvisitor]

(g______d)

g______d в сообщении #670965 писал(а):

Как топологическое пространство конус, действительно, неотличим от плоскости.

А как липшицево многообразие отличим?

g______d в сообщении #670965 писал(а):

естественный класс гладкости конуса --- это липшицево многообразие

А каков "естественный класс гладкости" конуса без вершины?

g______d в сообщении #670965 писал(а):

Самое разумное --- это понять, что на самом деле вложение индуцирует структуру липшицего многообразия, это чуть хуже, чем $C^1$.

А почему это так важно понимать? ... Особенно человеку, который не очень уверенно применяет простейшие определения, да еще склонен к фантазированию насчет "сингулярных преобразований"?

(Оффтоп)

Вообще, структура, которая "хуже, чем $C^1$", но "лучше", чем $C^0$, физикам интересна?

Я отменил свой "вполне корректный" вопрос потому, что, по-моему, важнее объяснить этому человеку "на пальцах" чем плоскость отличается от конуса (гладкую структуру на котором можно запросто ввести при помощи одной карты, причем интуитивно довольно "естественной" - проекции конуса на плоскость ортогональную оси конуса, - не заморачиваясь вопросами о каноничности этой структуры и о "естественном классе гладкости" конуса). ... Вот как я рассуждал:

- человек только-только прочел определение гладкого многообразия,
- попробовал применить его к конусу,
- заметил, что проекция на плоскость ортогональную оси конуса суть гомеоморфизм, задающий тривиальный (из одной карты) гладкий атлас.

В этот момент человек должен спросить сам себя: "Чем построенное многообразие отличается от плоскости?" и ответить: "Ничем". А дальше человек должен как-то понять, о чем же говорит ему интуиция, подсказывающая, что какая-то разница все-таки есть.

[schekn]

Munin в сообщении #670875 писал(а):

Не нравится - придумывайте свою математику.

Я не о том. У меня сложилось впечатление, что покольку непрерывность перехода между картами требуется в обязательном порядке в определении многообразия, то использовать сингулярные преобразования даже в точке недопустимо, а Вы говорите, что можно.

casualvisitor в сообщении #670956 писал(а):

А в чем проблема? Почему Вы заговорили об "ошибке"?

А проблема в том, что когда я рассматриваю случай с физически-выколотой точкой в вершине конуса ( я мог взять и просто полусферу и выколоть какую-то точку), то в координатах (x`,y`) у меня бы создалась иллюзия, что никакой физической особенности нет, хотя она явно присутствует. Поэтому допустимость сингулярных преобразований вызывает большие сомнения.
Конус в качестве примера я взял, чтобы подчеркнуть, что в первом случае вершина является координатной особенностью и в классе $C^0$ он неотличим от плоскости. Если же Munin говорит о том, что можно использовать разрывные преобразования координат, то особенность во-втором (с выколотой вершиной) случае также получается координатной.

[casualvisitor]

schekn в сообщении #671075 писал(а):

проблема в том, что когда я рассматриваю случай с физически-выколотой точкой в вершине конуса ( я мог взять и просто полусферу и выколоть какую-то точку), то в координатах (x`,y`) у меня бы создалась иллюзия, что никакой физической особенности нет, хотя она явно присутствует.

Это - не иллюзия! Выколов точку, Вы буквально выбросили Вашу "физическую особенность". Зато получили более простое для математическоого изучения пространство ... наверное ... . Ну, можете посмотреть, что происходит в этом пространстве, если какая-то "текущая" точка приближается к "выколотой" ... Только, знаете, наш разговор становится (уже стал) малоосмысленным; если у Вас есть конкретный "случай с физически-выколотой точкой в вершине конуса", то опишите этот "случай" и задайте конкретные вопросы.

schekn в сообщении #671075 писал(а):

Поэтому допустимость сингулярных преобразований вызывает большие сомнения.

Мне вообще кажется, что о "сингулярных" преобразованиях, а заодно и о липшицевых (пардон, g______d) пока Вам лучше забыть.

schekn в сообщении #671075 писал(а):

Munin говорит о том, что можно использовать разрывные преобразования координат

По-моему, он сказал не это. По-моему, он советовал Вам не модернизировать определение многообразия. И я Вам только что (парой строчек выше) посоветовал то же самое.

[schekn]

casualvisitor в сообщении #671098 писал(а):

Только, знаете, наш разговор становится (уже стал) малоосмысленным; если у Вас есть конкретный "случай с физически-выколотой точкой в вершине конуса", то опишите этот "случай" и задайте конкретные вопросы.

Да есть. Несколько другой, но конкретно в ОТО. Но если считаете, что малоосмысленный, то прекращаю, хотя ответ так и не получил. Munin явно говоил о сингулярных преобразованиях.

-- 13.01.2013, 15:50 --

schekn в сообщении #671116 писал(а):

Выколов точку, Вы буквально выбросили Вашу "физическую особенность".

По видимому я не понимаю смысл вот этой фразы.

[Munin]

schekn в сообщении #671075 писал(а):

Я не о том. У меня сложилось впечатление, что покольку непрерывность перехода между картами требуется в обязательном порядке в определении многообразия, то использовать сингулярные преобразования даже в точке недопустимо, а Вы говорите, что можно.

Стоп. Когда это я говорил, что можно?

Если вас до сих пор интересует решение Шварцшильда, и как из него получается чёрная дыра, то там речь о другом.

1. Прежде всего, ОТО - математическая физическая теория нового типа (по сравнению с теми, которые были до неё). Все прежние матфизические теории работали на многообразии $\mathbb{R}^1\times\mathbb{R}^3.$ Его можно покрыть одной картой $\mathbb{R}^4.$ И даже если какие-то конкретные задачи работали только с областями или подпространствами этого многообразия, то всегда можно было сказать, что в конечном счёте это всё подмножества данного многообразия, и именно его. ОТО поставила новую проблему: на каком многообразии "живёт" решение уравнений матфизики - но её не решила. ОТО только дала уравнение - уравнение Эйнштейна - которое позволяет найти решение в пределах одной карты. А из каких карт состоит покрытие многообразия, как они между собой должны быть сшиты - неизвестно. "В старом смысле" ОТО - логически полная теория, "в новом смысле" - неполная. Это всё было понято сильно не сразу. Шварцшильд, видимо, об этом не задумывался.

2. Решение Шварцшильда на одной координатной плоскости оказалось обращающимся в бесконечность, так что оно поделило эту плоскость на несколько кусков (внутренняя и внешняя часть). Как карта имеет смысл только один из таких кусков, взятый по отдельности. Каково при этом многообразие в целом - решение Шварцшильда не отвечает. При этом, на самом деле физический смысл имеет именно многообразие пространства-времени. Так что, встаёт вопрос о том, какое оно. Есть две, в принципе, возможности:

- многообразие покрыто одной картой;
- многообразие покрыто несколькими картами, из которых нам пока известны не все.

Похоже, что первые годы после получения решения Шварцшильда, многие физики думали по первому варианту. Но тогда, к краю карты решения Шварцшильда, и само многообразие пространства-времени должно "естественно заканчиваться". Должен возникать какой-то "край земли". А когда его исследовали, оказалось, что на самом деле, края там не возникает. Само пространство-время становится искривлённым, но до конечных величин, и проблемы в том, чтобы "подойти пешком к краю, и попытаться сделать шаг ещё дальше", нет. Пришлось рассматривать второй вариант.

3. Итак, задача стояла такая: есть многообразие, но оно в целом неизвестно. Известна одна карта, частично его покрывающая. (Или две карты, тоже частично его покрывающие.) Что там дальше? И вот тут пришли на помощь "сингулярные преобразования". Преобразование от координат Шварцшильда к координатам Эддингтона-Финкельштейна

$$t\to t'=t+2M\ln\left\lvert\dfrac{r}{2M}-1\right\lvert$$

не играет роли "сингулярного преобразования", справедливого в том числе на $r=2M.$ На самом деле, его следует понимать так: карте Шваршцильда на $r>2M$ (мы должны помнить, что это одна карта, а при $r<2M$ там уже другая карта) ставится в соответствие карта Эддингтона-Финкельштейна, вот этой как раз функцией перехода. Но сама карта Эддингтона-Финкельштейна покрывает искомое многообразие дальше, чем исходная карта Шварцшильда, в том числе, она покрывает его на $r_{EF}=2M$ и на $r_{EF}<2M$ - я подчёркиваю, что здесь речь идёт о координате $r$ карты Эддингтона-Финкельштейна. Это утверждение (что "покрывает дальше"), на самом деле, ниоткуда не следует, но мы так думаем, на основе того, что физически решение Эддингтона-Финкельштейна отвечает всем тем же условиям задачи, что и решение Шварцшильда, за исключением одного: "неподвижности" (диагональность с сигнатурой диагональных элементов по порядку $(+---)$). Таким образом, на $r=2M$ никто не совершает "сингулярного преобразования". Вместо этого, "по болоту прокладывается новая гать", не имеющая уже никакого отношения к карте Шварцшильда.

И наконец, дальше оказывается, что на $r_{EF}<2M$ можно сопоставить новую карту Эддингтона-Финкельштейна с другой старой картой - с "внутренней" картой Шварцшильда. Причём ровно тем же, по формуле, преобразованием, что на самом деле не имеет физического значения. Просто сопоставили, и всё. Приятный бонус.

И в итоге, карта Эддингтона-Финкельштейна оказывается картой, полностью покрывающей интересующее нас многообразие. Её хватило одной. Это приятно. Но тоже не обязательно. Бывают такие многообразия ОТО, которые одной картой не покрываются, как ни крути.

Второй итог: операция, которую мы совершили, неоднозначна. Мы произвольно решили, что карта Эддингтона-Финкельштейна на на $r_{EF}\leqslant 2M$ - это то, что нам надо. Мы могли решить иначе. И de facto другие такие решения построены и известны: "белая дыра", "полное решение Крускала-Секереша", "червоточина", и другие. "Чёрная дыра" - только одно из них, наиболее известное, по сути первое построенное, и видимо, наиболее важное в реальном мире и в астрофизике. Это всё разные многообразия.

[g______d]

casualvisitor в сообщении #671098 писал(а):

Мне вообще кажется, что о "сингулярных" преобразованиях, а заодно и о липшицевых (пардон, g______d) пока Вам лучше забыть.

С этим согласен. schekn, я бы серьезно посоветовал Вам почитать какие-нибудь математически строгие тексты по ОТО (а лучше сначала по дифференциальной геометрии), чтобы придать точный смысл понятиям "формально устранить особенность", "допустимые преобразования" и т. д. Если четко поставить математическую задачу и пытаться ее честно решать, то половина вопросов отпадет, честное слово. На половину из оставшихся вопросов Вы сами сможете ответить, когда их корректно поставите.

Тем не менее, два слова про липшицевы многообразия. Если конус вложен в $\mathbb R^3$, то под "естественной гладкой структурой" я понимаю такую гладкую структуру, относительно которой конус будет подмногообразием в $\mathbb R^3$ той же гладкости. Т. е. может сделать так, как Вы (casualvisitor) говорите, но тогда конус не будет гладким подмногообразием в $\mathbb R^3$, и структура не будет согласована с вложением. В общем, в остальном все это не очень важно.

Не знаю, насколько они интересны чистым физикам (поскольку гладкость их обычно мало волнует), но матфизикам они интересны, поскольку, несмотря на наличие углов, на них часто можно естественным образом определять дифференциальные операторы второго порядка (типа оператора Лапласа) и решать задачи матфизики.

-- 13.01.2013, 20:43 --

Munin в сообщении #671127 писал(а):

1. Прежде всего, ОТО - математическая физическая теория нового типа (по сравнению с теми, которые были до неё). Все прежние матфизические теории работали на многообразии $\mathbb{R}^1\times\mathbb{R}^3.$ Его можно покрыть одной картой $\mathbb{R}^4.$ И даже если какие-то конкретные задачи работали только с областями или подпространствами этого многообразия, то всегда можно было сказать, что в конечном счёте это всё подмножества данного многообразия, и именно его. ОТО поставила новую проблему: на каком многообразии "живёт" решение уравнений матфизики - но её не решила. ОТО только дала уравнение - уравнение Эйнштейна - которое позволяет найти решение в пределах одной карты. А из каких карт состоит покрытие многообразия, как они между собой должны быть сшиты - неизвестно. "В старом смысле" ОТО - логически полная теория, "в новом смысле" - неполная. Это всё было понято сильно не сразу. Шварцшильд, видимо, об этом не задумывался.

Уравнения Эйнштена --- это уравнения на метрику сразу на всем многообразии. И их можно написать, только если само многообразие уже дано (ну или часть этого многообразия). В этом смысле все так, как Вы сказали, о топологии надо догадываться как-то отдельно. Другое дело, что если у решения есть сингулярности, то их можно интерпретировать как то, что из многообразия надо выкинуть соответствующий кусок и считать, что оно там уходит на бесконечность (поскольку физически точка, в которой метрика обращается в бесконечность, все равно не достижима). Это примерно то же самое, что и считать точечный электрический заряд дыркой в пространстве.

------------------

Еще 2 слова про конус. Поскольку в исходной задаче это не просто многообразие, а риманово многообразие, то можно индуцировать гладкую структуру не как из липшицева подмногообразия, а, действительно, из проекции на плоскость. Тогда это будет гладким многообразием. Но метрику при этом надо индуцировать из вложения. Т. е. это будет гладкое многообразие, но с негладкой метрикой. Это тоже стандартная процедура --- запихать негладкость в метрику.

[Munin]

g______d в сообщении #671207 писал(а):

schekn, я бы серьезно посоветовал Вам почитать какие-нибудь математически строгие тексты по ОТО

Ну, это не обязательно, тем более, что таких текстов не слишком много. (Те, которые я знаю, содержат в названии не "ОТО", а "пространства Эйнштейна".) Просто достаточно быть в курсе про два уровня обсуждения - физический и математический - и понимать разницу между ними, и отслеживать, о чём идёт речь. С некоторым навыком и в том и в другом, можно автоматически в голове "переводить" текст с одного на другое.

g______d в сообщении #671207 писал(а):

Не знаю, насколько они интересны чистым физикам (поскольку гладкость их обычно мало волнует)

Ничо себе! :-)

[g______d]

Munin в сообщении #671215 писал(а):

g______d в сообщении #671207 писал(а):

Не знаю, насколько они интересны чистым физикам (поскольку гладкость их обычно мало волнует)

Ничо себе!

Ну скажем так, метрики с сингулярностями их, конечно, интересуют, но слово "липшицево многообразие" вряд ли при этом произносится :) Впрочем, без него можно обойтись.

-- 13.01.2013, 21:10 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #671215 писал(а):

Ну, это не обязательно, тем более, что таких текстов не слишком много. (Те, которые я знаю, содержат в названии не "ОТО", а "пространства Эйнштейна".)

Есть двухтомник Бессе "Многообразия Эйнштейна" (которая в основном про риманов случай, но там много нетривиальных результатов) а также книга Бима и Эрлиха "Глобальная лоренцева геометрия".

Оффтопик --- потому что для их чтения надо довольно хорошо знать дифференциальную геометрию.

[schekn]

g______d в сообщении #671207 писал(а):

С этим согласен. schekn, я бы серьезно посоветовал Вам почитать какие-нибудь математически строгие тексты по ОТО (а лучше сначала по дифференциальной геометрии), чтобы придать точный смысл понятиям "формально устранить особенность", "допустимые преобразования" и т. д. Если четко поставить математическую задачу и пытаться ее честно решать, то половина вопросов отпадет, честное слово. На половину из оставшихся вопросов Вы сами сможете ответить, когда их корректно поставите.

Вот я и читаю не первый раз Рашевского, но весь бес сидит в нюансах.

-- 13.01.2013, 22:05 --

Munin в сообщении #671127 писал(а):

Если вас до сих пор интересует решение Шварцшильда, и как из него получается чёрная дыра, то там речь о другом.

Я тогда ряд вопросов про горизонт задам может в своей теме, поскольку мы сильно отклонились.
Поскольку Вы считаете, и в учебниках это написано, что "горизонт" это координатная особенность, а у меня сильные подозрения, что нет.

-- 13.01.2013, 22:21 --

Когда Вы пишете вот это:

Munin в сообщении #671127 писал(а):

Что там дальше? И вот тут пришли на помощь "сингулярные преобразования". Преобразование от координат Шварцшильда к координатам Эддингтона-Финкельштейна

$$t\to t'=t+2M\ln\left\lvert\dfrac{r}{2M}-1\right\lvert$$

не играет роли "сингулярного преобразования", справедливого в том числе на $r=2M.$

Разве это не сингулярные преобразования? Это словосочетание есть и в монографии Иваненко-Сарданашвили в вопросе про "горизонт".

[Munin]

schekn в сообщении #671276 писал(а):

азве это не сингулярные преобразования?

В области $r>2M$ - это не сингулярные преобразования. В области $r<2M$ - это не сингулярные преобразования. А в $r=2M$ - это не преобразования вообще, потому что точек прообраза не существует: решение Шварцшильда при координате $r=2M$ не задано.

Это если говорить аккуратно и "математически". "Физически" здесь могут произноситься слова типа "сингулярные преобразования", но это неаккуратно, и надо понимать не более чем как фигуру речи.

schekn в сообщении #671276 писал(а):

Поскольку Вы считаете, и в учебниках это написано, что "горизонт" это координатная особенность, а у меня сильные подозрения, что нет.

Разберитесь с тем, какое многообразие вы обсуждаете. В многообразии "чёрная дыра", описываемом одной картой Эддингтона-Финкельштейна, и только ей, это координатная особенность (в координатах Шварцшильда). А в других многообразиях там можно чего-нибудь другого налепить. Уравнение Эйнштейна не заставляет принимать однозначных решений по этому поводу.

[Someone]

schekn в сообщении #671276 писал(а):

Разве это не сингулярные преобразования? Это словосочетание есть и в монографии Иваненко-Сарданашвили в вопросе про "горизонт".

Если особенность исчезает при преобразованиях координат, то это координатная особенность.

Подумайте, может быть, Вы принимаете преобразования координат за отображения многообразия? Это разные вещи.

[casualvisitor]

(schekn)

schekn в сообщении #671276 писал(а):

читаю не первый раз Рашевского

Попробуйте почитать что-нибудь другое. ... Может быть, Wald или Carroll ...
А вот здесь есть список учебников по геометрии.

[schekn]

Someone в сообщении #671326 писал(а):

Если особенность исчезает при преобразованиях координат, то это координатная особенность.Подумайте, может быть, Вы принимаете преобразования координат за отображения многообразия? Это разные вещи.

Вы совершенно правы. Надо только понять, является ли данная особенность на поверхности $r=r_g$ координатной или физической. То, что Munin рассмотрел два диапазона, где преобразования, о которых он пишет, регулярны, говорит о том, что он рассматривает несвязную область. На поверхности r=2M они не "сшиваются". Уже настораживает.

Munin в сообщении #671298 писал(а):

Разберитесь с тем, какое многообразие вы обсуждаете. В многообразии "чёрная дыра", описываемом одной картой Эддингтона-Финкельштейна, и только ей, это координатная особенность (в координатах Шварцшильда).

Я рассматриваю гипотезу, что вещество можно сконцентрировать в точке. Такое многобразие (r>0) можно покрыть одной картой Леметра ( мне проще с этой картой, потому что я ее именно и рассматривал в последнее время, но думаю это не сильно принципиально в моем вопросе). Но ведь я могу любую задачу решать с помощью метрики Шварцшильда в диапазоне $r>r_g$ это ничему не противоречит, ведь так (если тело совершает сферически симметриные движения)? Осталось понять, что есть физическая особенность. Мне видится несколько таких случаев: геодезическая обрывается в данной точке ( поверхности), какая-либо физическая величина обращается в бесконечность (например скалярная кривизна), физическая скорость массивного тела достигает скорости света.

Те несколько задач, которые мне попадались в литературе , приводят меня к мысли, что "горизонт" не совсем координатная особенность. У Ландау-Лифшица рассматривается случай радиального падения тела на горизонт. Они приходят к выводу, что с точки зрения шварцшильдовского наблюдателя скорость тела стремится к скорости света. Это значит , что в бесконечно удаленной временной точке оно все таки достигнет с. Уже не здорово. Наверное в Системе Отсчета Леметра все благополучно и тело спокойно пересекает горизонт, но это значит, что решение задачи в этих СО будут разными. Причем настолько разные, что в одной СО есть физическая особенность, а в другой нет.

Далее, если рассмотреть два радиально падающих друг за другом наблюдателя, можно заключить, что они без проблем будут обмениваться сигналами, находясь в области $r>r_g$ в любой СО. Но стоит одному пересечь горизонт, второй не сможет получить сигнал от первого, в какой бы СО он не находился, если он находится по-прежнему в $r>r_g$. Это значит особенность физическая присутствует. Это значит, что второй наблюдатель никаким способом не сможет извлечь информацию о том, что находится внутри ЧД, если он вне горизонта. Слабое утешение, что если второй попадет также под горизонт, он сможет установить связь с первым наблюдателем. Что там будет - гадание на кофейной гущи.

Далее задача, которые рассматривали Оппенгеймер и Снайдер о коллапсе сферического тела. Они ее решали в сопутствующей "падающей" СО, метрику им предоставил Толмен. Они нашли частное решение, из которого сделали глобальный вывод о неотвратимости коллапса. Мне тут не очень понятно, откуда такой вывод, ведь там фигурировали три неизвестные функции и в общем виде они не получили выражение, но пусть это так. А вот если бы они решали ту же задачу в Шварцшильдовской СО , то граница шара неминуемо уперлась бы в горизонт. Опять разный физический результат. И когда они честно нашли связь метрики Толмена и метрикой Шварцшильда, то возникла все та же логарифмическая сингулярность в $r=r_g$.

Еще пример. Пока вещество не сколапсировало и поверхность $r=r_g$ находится внутри вещества, никакой сингулярности в r=0 нет. Она теоретически возникает только в случае когда вещество полностью ушло под горизонт и "упало" за конченое время в центр.

[g______d]

Munin в сообщении #671127 писал(а):

И наконец, дальше оказывается, что на $r_{EF}<2M$ можно сопоставить новую карту Эддингтона-Финкельштейна с другой старой картой - с "внутренней" картой Шварцшильда. Причём ровно тем же, по формуле, преобразованием, что на самом деле не имеет физического значения. Просто сопоставили, и всё. Приятный бонус.

Т. е. утверждение такое: многообразие Шварцшильда вкладывается (как псевдориманово подмногообразие) в некоторое большее многообразие, которое называется многообразием/решением Эддингтона-Филькенштейна?

Munin в сообщении #671127 писал(а):

И в итоге, карта Эддингтона-Финкельштейна оказывается картой, полностью покрывающей интересующее нас многообразие. Её хватило одной. Это приятно. Но тоже не обязательно. Бывают такие многообразия ОТО, которые одной картой не покрываются, как ни крути.

Что такое "интересующее нас многообразие"? Мы как-то заранее его знаем?

Вообще интересно, насколько (не)однозначна процедура продолжения решений уравнений Эйнштейна с данного многообразия на большее.