Да, все верно. Если

- одноточечное, то на на

существует всего одна топология. В остальных случаях дискретное пространство не связно.
Спасибо. Тогда понятно, что если

- одноточечное, то оно еще линейно связно.
А в остальных случаях -- не будет линейно связно (если пространство не связно, то оно и линейно не связно)
3) Топология стрелка. Открытые множества -- интервалы вида

Если попытаться разбить

на два подмножества
![$(a;+\infty)=(a;b]\cup (b;+\infty)$ $(a;+\infty)=(a;b]\cup (b;+\infty)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/e/f8eafecec4258ce1836fc4bec135b8d282.png)
, то полуинтервал
![$(a;b]$ $(a;b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/f/37fae05ccd306ff1f2000df3721edee082.png)
не будет открытым в заданной топологии, каким мы

не выбрали, а значит топология стрелка не является связно, а линейно связной -- тем более. Верно?
4) Топология Зарисского на прямой. Открытые множества - дополнения к конечному числу точек прямой.
Если это дополнение к 1 и более точек, то понятно, что полученные интервалы не пересекаются и они открыты, а значит пространство не является связным, а линейно связным - тем более.
P.S. а можно ли топологию Зарисского задать как дополнение к нулю точек (то есть просто как вещественная прямая или это бессмыслица?)
-- Пн янв 07, 2013 06:17:17 --5) Метрическая топология на плоскости.
Открытые множества - круги (или лучше шарами их все-таки называть?).
Если у кругов будет фиксирован единый центр, то нельзя будет разбить на 2 непересекающихся круга (связность). А если можно выбирать разный центр круга, то можно найти непересекающихся шара (несвязность). Или как это можно еще описать?
Кстати, а верно ли, что в метрической топологии, если пространство связно, то оно линейно связно?