Связность, линейная связность.

[xmaister]

Да, все верно. Если $X$- одноточечное, то на на $X$ существует всего одна топология. В остальных случаях дискретное пространство не связно.

[integral2009]

xmaister в сообщении #668213 писал(а):

Да, все верно. Если $X$- одноточечное, то на на $X$ существует всего одна топология. В остальных случаях дискретное пространство не связно.

Спасибо. Тогда понятно, что если $X$ - одноточечное, то оно еще линейно связно.
А в остальных случаях -- не будет линейно связно (если пространство не связно, то оно и линейно не связно)

3) Топология стрелка. Открытые множества -- интервалы вида $A_{\alpha}=(a;+\infty)$

Если попытаться разбить $(a;+\infty)$ на два подмножества $(a;+\infty)=(a;b]\cup (b;+\infty)$, то полуинтервал $(a;b]$ не будет открытым в заданной топологии, каким мы $b>a$ не выбрали, а значит топология стрелка не является связно, а линейно связной -- тем более. Верно?

4) Топология Зарисского на прямой. Открытые множества - дополнения к конечному числу точек прямой.
Если это дополнение к 1 и более точек, то понятно, что полученные интервалы не пересекаются и они открыты, а значит пространство не является связным, а линейно связным - тем более.
P.S. а можно ли топологию Зарисского задать как дополнение к нулю точек (то есть просто как вещественная прямая или это бессмыслица?)

-- Пн янв 07, 2013 06:17:17 --

5) Метрическая топология на плоскости.
Открытые множества - круги (или лучше шарами их все-таки называть?).
Если у кругов будет фиксирован единый центр, то нельзя будет разбить на 2 непересекающихся круга (связность). А если можно выбирать разный центр круга, то можно найти непересекающихся шара (несвязность). Или как это можно еще описать?
Кстати, а верно ли, что в метрической топологии, если пространство связно, то оно линейно связно?

[xmaister]

integral2009 в сообщении #668215 писал(а):

3) Топология стрелка. Открытые множества -- интервалы вида $A_alpha=(a;+\infty)$

Если попытаться разбить $(a;+\infty)$ на два подмножества $(a;+\infty)=(a;b]\cup (b;+\infty)$, то полуинтервал $(a;b]$ не будет открытым в заданной топологии, каким мы $b>a$ не выбрали, а значит топология стрелка не является связно, а линейно связной -- тем более. Верно?

Не понял, на каком множестве задана топология? На $\mathbb{R}$?

integral2009 в сообщении #668215 писал(а):

а значит пространство не является связным, а

Тогда укажите явно два не пересекающихся открытых множества, объединение которых есть $\mathbb{R}$.

[integral2009]

xmaister в сообщении #668216 писал(а):

Не понял, на каком множестве задана топология? На $\mathbb{R}$?

$X=[0;+\infty)$

Открытые множества -- интервалы вида $A_{\alpha}=(a;+\infty)$

$a>0$

xmaister в сообщении #668216 писал(а):

Тогда укажите явно два не пересекающихся открытых множества, объединение которых есть $\mathbb{R}$.

Ой, это же все значит ровно наоборот, я перепутал. Нельзя указать не пересек. открытых множества, а значит пространство связно. Сейчас подумаю над линейной связностью тогда.

[xmaister]

integral2009 в сообщении #668215 писал(а):

3) Топология стрелка. Открытые множества -- интервалы вида $A_{\alpha}=(a;+\infty)$

Если попытаться разбить $(a;+\infty)$ на два подмножества $(a;+\infty)=(a;b]\cup (b;+\infty)$, то полуинтервал $(a;b]$ не будет открытым в заданной топологии, каким мы $b>a$ не выбрали, а значит топология стрелка не является связно, а линейно связной -- тем более. Верно?

А зачем разбивать $(a;+\infty)$ и кто такой $a$? Если мы хотим доказать несвязность того пространства, то надо разбивать $[0,\infty)$ на не пересекающиеся открытые.

integral2009 в сообщении #668215 писал(а):

P.S. а можно ли топологию Зарисского задать как дополнение к нулю точек (то есть просто как вещественная прямая или это бессмыслица?)

Не понял, из каких множеств будет состоять топология? Вы хотите сказать, что топология Зарисского совпадает с естественной топологией прямой. Я Вас правильно понял?

-- 07.01.2013, 07:35 --

integral2009 в сообщении #668215 писал(а):

5) Метрическая топология на плоскости.

Ничего не понял. Имеется в виду обычное $\mathbb{R}^2$? Здесь советую доказать, что тихоновское произведение $\prod\limits_{s\in S}X_s$- связно, $X_s\ne\varnothing$ тогда и только тогда, когда каждое $X_s$- связно.

-- 07.01.2013, 07:40 --

P.S. Топологию стрелка иногда называют правой порядковой топологией. Аналогично можно топологизовать множества с отношением порядка.

[integral2009]

xmaister в сообщении #668220 писал(а):

А зачем разбивать $(a;+\infty)$ и кто такой $a$? Если мы хотим доказать несвязность того пространства, то надо разбивать $[0,\infty)$ на не пересекающиеся открытые.

Ну у в топологии "стрелка" открытыми называется же набор подмножеств $\Delta=\{X,\varnothing, A_{\alpha}\}$

$A_{\alpha}$ - множество интервалов с началом в $a>0$ вида $(a,+\infty)$

Но ведь невозможно $X=[0;+\infty)$ разбить на 2 открытых интервала непересекающихся интервала?

[xmaister]

integral2009 в сообщении #668222 писал(а):

Но ведь невозможно $X=[0;+\infty)$ разбить на 2 открытых интервала непересекающихся интервала?

Конечно не возможно. Если было бы возможно, то понятно как получить противоречие.

[integral2009]

xmaister в сообщении #668220 писал(а):

Не понял, из каких множеств будет состоять топология? Вы хотите сказать, что топология Зарисского совпадает с естественной топологией прямой. Я Вас правильно понял?

Я хотел узнать -- является ли топология прямой частным случаем топологии Зарисского, когда мы выкалываем 0 точек?

[xmaister]

integral2009 в сообщении #668224 писал(а):

Я хотел узнать -- является ли топология прямой частным случаем топологии Зарисского, когда мы выкалываем 0 точек?

Я не понимаю, что Вы хотите сказать. Вы хотите определить аналог топологии Зарисского? Тогда укажите как именно. Вообще топология Зарисского и естественная топология прямой даже не гомеоморфны (подумайте, почему?).

[integral2009]

xmaister в сообщении #668223 писал(а):

Конечно не возможно. Если было бы возможно, то понятно как получить противоречие.

А можно ли доказать линейную связность топологии стрелки указав явным образом непрерывную функцию $[0;1]\to [0;+\infty)$, например $y=\tg\left(\dfrac{\pi \cdot x}{2}\right)$

[xmaister]

А чему равен $\tg\left(\frac{\pi}{2}\right)$?

[integral2009]

xmaister в сообщении #668225 писал(а):

integral2009 в сообщении #668224 писал(а):

Я хотел узнать -- является ли топология прямой частным случаем топологии Зарисского, когда мы выкалываем 0 точек?

Я не понимаю, что Вы хотите сказать. Вы хотите определить аналог топологии Зарисского? Тогда укажите как именно. Вообще топология Зарисского и естественная топология прямой даже не гомеоморфны (подумайте, почему?).

Да, это так, просто задумался над тем, что будет -- если не выкалывать точек вообще (но это как-т о странно, уже понял)! Не гомеоморфны -- так как отображение не будет биекцией, вроде как.

-- Пн янв 07, 2013 06:54:50 --

xmaister в сообщении #668228 писал(а):

А чему равен $\tg\left(\frac{\pi}{2}\right)$?

$\tg\left(\frac{\pi}{2}\right)=+\infty$

[xmaister]

integral2009 в сообщении #668229 писал(а):

Не гомеоморфны -- так как отображение не будет биекцией, вроде как.

Какое отображение? Пространства $X$ и $Y$ Гомеоморфны, если существует непреывное взаимно однозначное $f:X\to Y$, обратное к которому тоже непрерывно. У гомеоморфных пространств все топологические свойства совпадают.

integral2009 в сообщении #668229 писал(а):

$\tg\left(\frac{\pi}{2}\right)=+\infty$

Для начала надо определить, кто такой $+\infty$? На вещественной прямой такого элемента нет. Вам нужно взять две точки и соединть их путем для доказательства линейной связности. Берём 2 точки $x_1,x_2$ из $[0,+\infty)$. Рассмотрим отображение $f: [0,1]\to [0,+\infty)$, такое что $f(x)=x_1+(x_2-x_1)x$. Оно будет ли непрерывным?

[integral2009]

xmaister в сообщении #668220 писал(а):

Ничего не понял. Имеется в виду обычное $\mathbb{R}^2$? Здесь советую доказать, что тихоновское произведение $\prod\limits_{s\in S}X_s$- связно, $X_s\ne\varnothing$ тогда и только тогда, когда каждое $X_s$- связно.

Да, именно $\mathbb{R}^2$

Ок, попробую доказать.

1) $\Rightarrow$

Пусть $\prod\limits_{s\in S}X_s$ - связно. Докажем, что каждое $X_s$- связно от противного.

Пусть среди $X_s$ нашлось хотя бы одно несвязное (для определенности пусть будет одно $X_i$)

Тогда $X_i$ представимо в виде $X_i=A\cap B$, где $A$ и $B$ открыты.

$\prod\limits_{s\in S}X_s=X_i\cap\prod\limits_{s\in S\i}X_s=A\cap B\cap\prod\limits_{s\in S\i}X_s$

Тогда $C=B\cap\prod\limits_{s\in S\i}X_s$ - открыто, а $\prod\limits_{s\in S}X_s=A\cap C$ несвязно. Противоречие.

2) $\Leftarrow$

Почти тоже самое

-- Пн янв 07, 2013 07:14:50 --

Правда я не слышал ранее о Тихоновском произведении, ну да ладно...

[greg93]

Указать непрерывную функцию для любой пары точек хорошо и правильно.
А будет ли верно: Утверждение1.
Если существует непрерывная функция, областью определения которой является $[0;1]$, а областью значений всё топологическое пространство X, то X- линейно связно.