Вот я и предположил, что не получится установить биекцию (видимо оказался неправ). Ну если

- биекция, то

- тоже биекция или я что-то путаю?
Нет, тут лучше предполагать, что получится. Тогда

с топологией Зарисского- хаусдорфово... Надо найти топологический инвариант, которым они отличаются. В данном случае это отделимость.
-- 07.01.2013, 09:43 -- xmaister в сообщении #668220 писал(а):
Ничего не понял. Имеется в виду обычное

? Здесь советую доказать, что тихоновское произведение

- связно,

тогда и только тогда, когда каждое

- связно.
Да, именно

Ок, попробую доказать.
1)

Пусть

- связно. Докажем, что каждое

- связно от противного.
Пусть среди

нашлось хотя бы одно несвязное (для определенности пусть будет одно

)
Тогда

представимо в виде

, где

и

открыты.
Там

. Идея тут такая. В одну сторону (подумайте в какую) очевидно, т.к. если

- непрерывное отображение,

- связное пространство и

, то

- связное (догадайтесь, почему?). Для доказательства в обратную сторону докажите сперва, что если для каждых двух точек

существует связное подпространство, содержащее 2 эти точки одновременно, то

- связно. Тихоновское произведение погуглите... Оно кстати и задает топологию на

. Ну а т.к.

- связно, то и тихонсовское произведение

- связно.
-- 07.01.2013, 09:46 --А можно ли сразу сказать, что прообраз открытого множества

, а именно

является открытым, значит отображение непрерывно?
Конечно, ведь все эти определения непрерывности эквивалентны (можете доказать?). Т.е. 2 случая: 1. если

, то полный прообраз

- пуст. Если

, то...