Связность, линейная связность.

[integral2009]

Ок, попробую доказать связность связность отрезка $[a;b]$

Пусть отрезок удалось разбить на 2 непересекающихся в нем множества $[a;b]=A\cup B$

Попробую найти противоречие... (или уже не так)

[xmaister]

integral2009 в сообщении #669597 писал(а):

Попробую найти противоречие... (или уже не так)

Да, противоречие можно найти.

[integral2009]

Пусть $X=[a;b]$ - множество.

$\Delta=\{X,\varnothing,\text{всевозможные отрезки на }[a;b]\}$ - набор подмножеств, определяющих топологию.

$c\in [a;b]$, тогда можно написать, что $[a;b]=[a;c]\cup[c;b]$

Причем $[a;c]$ и $[c;b]$ назовем открытыми, но $[a;c]\cup [c;b] = c\ne \varnothing$ что-то странное...

[xmaister]

Идея такая: Положим, что $a\in A$, Тогда существует $\varepsilon >0$, т.ч. $[a,a+\varepsilon)\subset A$. Рассмотрим наибольшее $d$, т.ч. $[a,d)\subset A$ (такое $d$ существует, догадайтесь почему). Тогда $d\in B$, откуда следует (подумайте, каким образом), что $A\cap B\ne\varnothing$.

[integral2009]

xmaister в сообщении #669601 писал(а):

такое $d$ существует, догадайтесь почему)

Существует, так как $d< b$ ввиду ограниченности отрезка

xmaister в сообщении #669601 писал(а):

Тогда $d\in B$

А почему $d\in B$?

-- Чт янв 10, 2013 06:25:39 --

Но ведь наибольшее $d$ это и есть $b$?

То есть $A=[a;b)$, а $B=\{b\}$?

[xmaister]

integral2009 в сообщении #669602 писал(а):

А почему $d\in B$?

Это тоже к Вам вопрос.

-- 10.01.2013, 06:26 --

Пусть $[a,b]=A\cup B$, где $A,B$- Открытые в топологии отрезка $[a,b]$. Наша задача доказать, что $A\cap B\ne\varnothing$.

[integral2009]

А ведь можно вот так?

Пусть $A=[a;d)\;\;\;\;\;B=[d;b]$

Так как $d\in B$ (так как мы так специально выбрали точку $d$, что она не лежит в $A$, а значит лежит в $B$)

Но множество $B$ - открытое, значит оно содержит точку $d$ вместе со окрестностью, но любая окрестность точки $d$ пересекается с множеством $A$, возьмем в качестве окрестности открытое множество $B$) Тогда $A$ пересекается с $B$, таким образом мы пришли к противоречию. Верно ли?

[xmaister]

integral2009 в сообщении #669604 писал(а):

Пусть $A=[a;d)\;\;\;\;\;B=[d;b]$

С чего бы это?

[integral2009]

xmaister в сообщении #669609 писал(а):

С чего бы это?

А разве нельзя так предъявить контрпример, чтобы прийти к противоречию?

[xmaister]

Нет, мы должны рассмотреть произвольные $A$ и $B$ открытые.

[integral2009]

Ок, тогда пусть как вы написали:

Цитата:

Рассмотрим наибольшее $d$, т.ч. $[a,d)\subset A$

Предполагаю, что $d\in B$ так как $d\notin A \Rightarrow d\in [a;b]\diagdown A =B$

Если $d\in B$, то пересечение $A\cap B=U_d$, где $U_d$ есть окрестность точки $d$

-- Чт янв 10, 2013 07:47:29 --

(ЛИНЕЙНАЯ СВЯЗНОСТЬ, БРЕД, ИСПРАВЛЕННАЯ ВЕРСИЯ НИЖЕ, В ДРУГОМ СООБЩЕНИИ)

Для линейной связности нужно доказать непрерывность отображения $f(x)=x_1+(x_2-x_1)x$

Покажем, что прообраз открытого множества $[a;b]$ на $\mathbb{R}$ открыт.

1) Пусть $[x_1,x_2]\cap [a,b]=\varnothing$, тогда $f^{-1}([a;b])=\varnothing$

2) Пусть $[a,b]\supseteq [x_1,x_2]$, тогда $f^{-1}([a;b])=[0,1]$

3) Пусть $a\le x_1\le b\le x_2$, тогда $f^{-1}([a;b])=\left[0;\frac{b-x_1}{x_2-x_1}\right]$

4) Пусть $ x_1\le a\le x_2\le b$, тогда $f^{-1}([a;b])=\left[\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$

Вроде как все случаи рассмотрел.

Полученные множества открытые, значит $\mathbb{R}$ линейно связно.

[xmaister]

integral2009 в сообщении #669612 писал(а):

Предполагаю, что $d\in B$ так как $d\notin A \Rightarrow d\in [a;b]\diagdown A =B$

Если $d\in B$, то пересечение $A\cap B=U_d$, где $U_d$ есть окрестность точки $d$

Да, как-то так. Теперь Остается доказать, что если пространство $X$- линейно связно, то оно связно.

integral2009 в сообщении #669612 писал(а):

открытого множества $[a;b]$

[integral2009]

xmaister в сообщении #669614 писал(а):

$(a;b)$ имелось ввиду)

Покажем, что прообраз открытого множества $(a;b)$ на $\mathbb{R}$ открыт.

1) Пусть $[x_1,x_2]\cap (a,b)=\varnothing$, тогда $f^{-1}((a;b))=\varnothing$

2) Пусть $(a,b)\supset [x_1,x_2]$, тогда $f^{-1}((a;b))=[0,1]$

3) Пусть $a<x_1< b< x_2$, тогда $f^{-1}((a;b))=\left[0;\frac{b-x_1}{x_2-x_1}\right)$

4) Пусть $ x_1<a< x_2< b$, тогда $f^{-1}([a;b])=\left(\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$

Вроде как все случаи рассмотрел.

Полученные множества открытые, значит $\mathbb{R}$ линейно связно.

[xmaister]

integral2009 в сообщении #669615 писал(а):

1) Пусть $[x_1,x_2]\cap (a,b)=\varnothing$, тогда $f^{-1}((a;b))=\varnothing$

2) Пусть $[a,b]\supseteq [x_1,x_2]$, тогда $f^{-1}((a;b))=[0,1]$

3) Пусть $a\le x_1\le b\le x_2$, тогда $f^{-1}((a;b))=\left[0;\frac{b-x_1}{x_2-x_1}\right]$

4) Пусть $ x_1\le a\le x_2\le b$, тогда $f^{-1}([a;b])=\left[\frac{a-x_1}{x_2-x_1},1\right]$

Поправьте везде тогда уж . Вы получили, что прообраз элемента некоторой базы открыт, этого доастоачно. Но Вы понимаете, что $(a,b)$ Не описывают все открытые в $\mathbb{R}$.

(Оффтоп)

Надо в универ на экзамен. Позже до расскажу

[integral2009]

Ок, спасибо) Ну еще $(-\infty;+\infty)$ открыто) Или еще есть что-то?

(Оффтоп)

А по какому экзамен, если не секрет? Удачи на экзамене=)))

А, еще пустое множество есть. А теперь верно ли расставлены знаки неравенств?