Два конденсатора

[zer0]

Спасибо, что большинство согласились с моим решением, а то я был в шоке от преподавателей физики в вузах .

[Amw]

zer0 в сообщении #665294 писал(а):

Спасибо, что большинство согласились с моим решением

За что "спасибо"? Согласились только потому, что оно правильное

[kirillD]

Amw в сообщении #665291 писал(а):

kirillD в сообщении #665287 писал(а):

А какой заряд и какая энергия останутся? Можно это найти?

И очень просто. Располагаемая энергия $\frac{\frac4 3 480^2}{2}=0.1536$ Дж - остальная 0.588 Дж останется недоступной.

Эти 0.588 Дж, это энергия электрического поля, связанного с оставшимся зарядом? То есть, в "ящике" останется неиспользованная электроэнергия? А что ее заставит там остаться, если цепь не размыкать?

[rustot]

kirillD в сообщении #665316 писал(а):

А что ее заставит там остаться

конденсатор хранит не заряд (суммарный заряд в конденсаторе всегда нулевой), а... "количество разделенного заряда", ну так скажем. если на одной обкладке 1мКл то на второй обязательно -1мКл, чтобы в сумме было ноль

теперь мы берем и две обкладки двух конденсаторов замыкаем между собой, допустим сумма зарядов на этих 2 обкладках ненулевая (допустим один кондесатор имел +-1мКл, а второй +-2мКл, мы соединили обкладки -1мКл и +2мКл между собой). теперь в этой подцепи, соединяющей 2 обкладки находится ненулевой суммарный заряд. он может только перетекать с одной обкладки на другую но никогда не сможет выйти наружу. при этом он одновременно будет удерживать аналогичный заряд другого знака на внешних парах обкладок

[profrotter]

zer0 в сообщении #665294 писал(а):

Спасибо, что большинство согласились с моим решением, а то я был в шоке от преподавателей физики в вузах

Простите, а где ваше решение? - Мы его не видели! Ну вот я, например, пытаюсь решить задачу.

Представим конденсатор, полученнный после последовательного соединения в виде трёх заряженных пластин (представим, что мы соединяли не перемычкой, а взяли и две пластины идеальных плоских конденсаторов прижали друг к другу. Чем не соединение?)

Пластины полагаются тонкими (на рисунке они показаны толстыми исключительно из соображений наглядности), расстояние между пластинами мало, их площади $S$ большие. Пластины условно занумерованы: левая имеет индекс 1, средняя - индекс 0, правая - индекс 2. Стороны пластин 1 и 2, обращённые во внутренние полости конструкции условно называются внутренними, им соотвествует индекс "i", другие стороны условно называются внешнеми, им соответствует индекс "e". У пластины 0 выделена левая (индекс "l") и правая (индекс "r") стороны. Пластины имеют полные заряды $Q_1,Q_0,Q_2$ соответственно.

Статический режим рассматриваемой совокупности проводников характеризуется отсутствием поля внутри проводников, что достигается соответствующим распределением зарядов на поверхности проводников, то есть присутствуют шесть заряженных слоёв, с поверхностной плотностью $\sigma_1^e=\frac {Q_1^e}{S}$; $\sigma_1^i=\frac {Q_1^i}{S}$; $\sigma_0^l=\frac {Q_0^l}{S}$; $\sigma_0^r=\frac {Q_0^r}{S}$; $\sigma_2^e=\frac {Q_2^e}{S}$; $\sigma_2^i=\frac {Q_2^i}{S}$.
Каждый тонкий плоский заряженный слой создаёт электрическое поле абсолютным значением напряжённости $E=\frac {\sigma}{2\varepsilon\varepsilon_0}$. Вектор напряжённости электростатического поля перпендикулярен слою.

Напряжённость поля внутри первой пластины должна быть равна нулю, то есть:

$$E_1^e-E_1^i-E_0^l-E_0^r-E_2^i-E_2^e=0,$$

где $E_1^e=\frac {\sigma_1^e}{2\varepsilon\varepsilon_0}$ - напряжённость поля, создаваемая внешним заряженным слоем первой пластины внутри первой пластины;
$E_1^i=\frac {\sigma_1^i}{2\varepsilon\varepsilon_0}$ - напряжённость поля, создаваемая внутренним заряженным слоем первой пластины внутри первой пластины;
$E_0^l=\frac {\sigma_0^l}{2\varepsilon\varepsilon_0}$ - напряжённость поля, создаваемая левым заряженным слоем пластины 0 внутри первой пластины;
$E_0^r=\frac {\sigma_0^r}{2\varepsilon\varepsilon_0}$ - напряжённость поля, создаваемая правым заряженным слоем пластины 0 внутри первой пластины;
$E_2^e=\frac {\sigma_2^e}{2\varepsilon\varepsilon_0}$ - напряжённость поля, создаваемая внешним заряженным слоем пластины 2 внутри первой пластины;
$E_2^i=\frac {\sigma_2^i}{2\varepsilon\varepsilon_0}$ - напряжённость поля, создаваемая внутренним заряженным слоем пластины 2 внутри первой пластины;

Подставив записанные выражения в уравнение баланса напряжённостей, и умножив обе части получаемого равенства на площадь пластин $S$, получим:

$$Q_1^e-Q_1^i-Q_0^l-Q_0^r-Q_2^i-Q_2^e=0.$$

Аналогично рассматривая другие пластины и учитывая полный заряд пластин приходим к системе уравнений:

$$Q_1^e-Q_1^i-Q_0^l-Q_0^r-Q_2^i-Q_2^e=0$$

$$Q_1^e+Q_1^i+Q_0^l-Q_0^r-Q_2^i-Q_2^e=0$$

$$Q_1^e+Q_1^i+Q_0^l+Q_0^r+Q_2^i-Q_2^e=0$$

$$Q_1^e+Q_1^i=Q_1$$

$$Q_0^l+Q_0^r=Q_0$$

$$Q_2^i-Q_2^e=Q_2.$$

Решая записанную систему уравнений получаем:

$$Q_1^e=\frac{Q_1+Q_0+Q_2}{2}$$

$$Q_1^i=\frac{Q_1-Q_0-Q_2}{2}$$

$$Q_0^l=\frac{-Q_1+Q_0+Q_2}{2}$$

$$Q_0^r=\frac{Q_1+Q_0-Q_2}{2}$$

$$Q_2^i=\frac{-Q_1-Q_0+Q_2}{2}$$

$$Q_2^e=\frac{Q_1+Q_0+Q_2}{2}.$$

В конкретно нашей задаче полный заряд средней пластины представляет собою сумму полных зарядов пластин двух конденсаторов до соединения, то есть $Q_0=-(Q_1+Q_2)$ (учтено, что соединялись пластины, разноимённо заряженные с пластинами с зарядом $Q_1$ и $Q_2$ и заряд средней пластины суммируется из $-Q_1$ и $-Q_2$). При этом дополнительном условии получаем:

$$Q_1^e=0$$

$$Q_1^i=Q_1$$

$$Q_0^l=-Q_1$$

$$Q_0^r=-Q_2$$

$$Q_2^i=Q_2$$

$$Q_2^e=0$$

Распределение зарядов действительно не отличается от того, что было до соединения (Тут важно ещё раз подчеркнуть, что речь идёт о ситуации, когда до соединения заряды были только на внутренней стороне пластин, равны и противоположны по знаку. Если это было не так, то следует провести дополнительное исследование.) Сегодня пора спать, а я ещё подумаю о том что будет с разностями потенциалов.

[Xey]

rustot в сообщении #665323 писал(а):

при этом он одновременно будет удерживать аналогичный заряд другого знака на внешних парах обкладок

Не очень понятное объяснение. Может проще так.
При замыкании выключателя ток будет стремится перетечь с плюса большого конденсатора на его минус (через вольтметр, пусть у него конечное R). Но течь ток будет до тех пор, пока напряжения на соединенных между собой пластинах большого и малого конденсаторов не сравняются. После этого тока не будет, и часть заряда останется на пластинах конденсаторов.

Видимо заморочки с задачкой из-за того, что от простого и правильного решения о суммировании напряжений отвлекает привычный прием решения задач через энергию, который в данном случае не применим.

[Amw]

kirillD в сообщении #665316 писал(а):

Эти 0.588 Дж, это энергия электрического поля, связанного с оставшимся зарядом? То есть, в "ящике" останется неиспользованная электроэнергия? А что ее заставит там остаться, если цепь не размыкать?

То, что напряжение на "ящике" стало равным нулю.
$U_1(t)=U_1(0)+\frac{\int_0^t I dt}C_1$
$U_2(t)=U_2(0)+\frac{\int_0^t I dt}C_2$

$U(t)=U_1(t)+U_2(t)$ - напряжение на "ящике"
Из условия U(t)=0 (что произойдет при разряде "ящика") можно найти $\int_0^t I dt$ и напряжение на каждом конденсаторе при этом (они будут равны, но с разными знаками), заряд и энергию каждого конденсатора

(Оффтоп)

zer0 в сообщении #665256 писал(а):

Осторожнее надо с бесконечностями. Может, идеальный конденсатор при "закоротке" часть энергии излучит через бесконечно малую индуктивность.

Для излучения индуктивность не нужна, нужен только переменный (изменяющийся) ток...
Но в подобных задачах обычно излучение не рассматривается.

P.S. Кстати, любопытно. При параллельном соединении двух конденсаторов одинаковой емкости из которых один заряжен мы теряем ровно половину энергии.

[ivanhabalin]

profrotter в сообщении #665325 писал(а):

Представим конденсатор, полученнный после последовательного соединения в виде трёх заряженных пластин

Я для себя, представляю это так: три тела. Одно из которых зарядили, по отношению к двум другим и забыли про это тело, что оно вообще есть. А с двумя другими, упражняемся, то заряжаем их, одно относительно другого, то разряжаем. (перемещаем заряды с одного на другое). Все наши манипуляции, до лампады третьему. Оно (третье) как было заряжено по отношению к системе (двух) так и остаётся заряженным. Суммарный заряд его не меняется какие бы мы хитрости не придумывали с двумя другими. ( единственно, мне кажется, наличие третьего тела, меняет свойства пространства, для двух других и только)

[profrotter]

ivanhabalin в сообщении #665359 писал(а):

Суммарный заряд его не меняется какие бы мы хитрости не придумывали с двумя другими.

Ну да. И это называется законом сохранения электрического заряда

Я продолжу делать выводы из своего сообщения #665325.

Первое, что бросается в глаза: $Q_1^e=Q_2^e$; $Q_1^i=-Q_0^l$; $Q_0^r=-Q_2^i$. Два последних выражения показывают, что на внутренних сторонах пластин заряды равны по величине и противоположны по знаку, поэтому искать потенциал в полостях между пластинами 1 и 0 или 0 и 2 мы можем также как и для плоского конденсатора:

$$Q_1^i=C_1U_1$$

$$Q_2^i=C_2U_2.$$

Теперь о перераспределении зарядов. Будем рассматривать случай, когда до соединения полный заряд пластин первого конденсатора был $q_1$ и $q_{01}$, второго конденсатора $q_{02}$ и $q_{2}$. Индексы 0 соответствует пластинам, которые будем соединять. Исходная постановка задачи в этой теме такой ситуации не исключает. Это показано в сообщении #537966. При этом до соединения на внешней и внутренней сторонах пластин первого и второго конденсаторов

$$q_1^e=\frac {q_1+q_{01}}{2}$$

$$q_1^i=\frac {q_1-q_{01}}{2}$$

$$q_2^e=\frac {q_2+q_{02}}{2}$$

$$q_1^i=\frac {q_{02}-q_2}{2}$$

После соединения $Q_1=q_1$; $Q_2=q_2$; $Q_0=q_{01}+q_{02}$, откуда распределение заряда на пластинах:

$$Q_1^e=\frac{q_1+q_{01}+q_{02}+q_2}{2}=q_1^e+q_2^e$$

$$Q_1^i=\frac{q_1-q_{01}-q_{02}-q_2}{2}=q_1^i-q_2^e$$

$$Q_0^l=\frac{-q_1+q_{01}+q_{02}+q_2}{2}=q_2^e-q_1^i$$

$$Q_0^r=\frac{q_1+q_{01}+q_{02}-q_2}{2}=q_1^e+q_2^i$$

$$Q_2^i=\frac{-q_1-q_{01}-q_{02}+q_2}{2}=-q_2^i-q_1^e$$

$$Q_2^e=\frac{q_1+q_{01}+q_{02}+q_2}{2}=q_1^e+q_2^e.$$

Примерно так. Лениво мне ловить там знаки. Так вот. Ваш преподаватель прав: в общем случае будет иметь место перераспределение зарядов. Его не будет в указанном выше частном случае, когда на противоположных пластинах соединяемых конденсаторов до соединения заряды равны и противоположны по знаку и оказываются при этом на внутренней стороне пластин: $q_1^i=-q_{01}^i$, $q_2^i=-q_{02}^i$, $q_1^e=q_2^e=0$. Но понимаете, то, что Вы в этом частном случае утверждаете, что перераспределения зарядов не будет и то, что вам удалось угадать это, вовсе не освобождает вас от доказывания своего утверждения и от решения поставленной вам задачи.

Теперь с этим:

profrotter в сообщении #665184 писал(а):

Открываем:
1. Ландерг Элементарный ученик физики
2. Калашников Электричество
3. Любой курс общей физики
в разделе "последовательное соединение конденсаторов" и там читаем, что два последовательно соединённых конденсатора ведут себя как один конденсатор ёмкостью $C=\frac {C_1C_2}{C_1+C_2}$ причём заряды на обкладках одинаковы. Думаю этот факт даже проверен экспериментально, коль скоро он попал в учебники. Такая вот у нас ситуация.

В учебниках часто упускается важный момент, что анализ последовательного соединения конденсаторов ведётся в предположении, что они были соединены когда на соединяемых обкладка заряд отсутствовал. На практике на самом деле не важно как и когда их соединять, поскольку за счёт токов утечки заряд с изолированной обкладки рано или поздно стечёт. Это упускаемое предположение означает, что $Q_0=0$ и распределение заряда на пластинах даётся выражениями:

$$Q_1^e=\frac{Q_1+Q_2}{2}$$

$$Q_1^i=\frac{Q_1-Q_2}{2}$$

$$Q_0^l=\frac{-Q_1+Q_2}{2}$$

$$Q_0^r=\frac{Q_1-Q_2}{2}$$

$$Q_2^i=\frac{-Q_1+Q_2}{2}$$

$$Q_2^e=\frac{Q_1+Q_2}{2}.$$

Ещё раз обратившись к сообщению #537966 можем сделать вывод, что рассматриваемая со стороны только внешних обкладок такая система проводников будет вести себя как один эквивалентный конденсатор.

[ivanhabalin]

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #665382 писал(а):

что на внутренних сторонах пластин заряды равны по величине и противоположны по знаку,

profrotter
Извините, для меня отдельно, не понимаю я. Пластина - проводник, существование разделённого заряда в проводнике, вызовёт разность потенциалов? Разность потенциалов - вызовет ток или как? Для изолятора - понятно, условий для протекания тока нет, а проводник (сверхпроводник)

Это к слоению проводника пластин, наверное рассматривать так нельзя, нет там слоёв.

[profrotter]

(ivanhabalin)

ivanhabalin в сообщении #665385 писал(а):

profrotter
Извините, для меня отдельно, не понимаю я. Пластина - проводник, существование разделённого заряда в проводнике, вызовёт разность потенциалов? Разность потенциалов - вызовет ток или как? Для изолятора - понятно, условий для протекания тока нет, а проводник (сверхпроводник)

Заряд распределяется по поверхности проводника таким образом, что каждая точка внутри проводника имеет один и тот же потенциал. Никакой разности потеницалов на поверхности заряженного проводника получить нельзя. Это хорошо описано в Ландсберг Элементарный учебник физики том 2. Почти школьный учебник. Кстати, вам уже об этом писали в сообщении #538082.

[Amw]

profrotter в сообщении #665382 писал(а):

Так вот. Ваш преподаватель прав: в общем случае будет иметь место перераспределение зарядов.

Ерунда. В указанной задаче при соединении конденсаторов никакого перераспределения зарядов не будет ни при каких условиях. Задача чисто теоретическая и никаких паразитных емкостей и зарядов тут не задано.
Напряжение на двух конденсаторах будет равно сумме - 480 вольт и "вести себя" система из двух конденсаторов будет как один конденсатор 1.333 мкФ, заряженный до 480 вольт. Это и есть единственно верное решение задачи. Всё.

[Xey]

Amw в сообщении #665392 писал(а):

Всё.

Можно бы написать ду этой системы , тогда действительно было бы все.
Но в общем то решение ду можно и так предположить в виде двух экспонент разрядов большого и малого конденсаторов, приближающихся с разных сторон и разной скоростью друг к другу на некотором уровне напряжения.

[kirillD]

rustot в сообщении #665323 писал(а):

kirillD в сообщении #665316 писал(а):

А что ее заставит там остаться

конденсатор хранит не заряд (суммарный заряд в конденсаторе всегда нулевой), а... "количество разделенного заряда", ну так скажем. если на одной обкладке 1мКл то на второй обязательно -1мКл, чтобы в сумме было ноль

теперь мы берем и две обкладки двух конденсаторов замыкаем между собой, допустим сумма зарядов на этих 2 обкладках ненулевая (допустим один кондесатор имел +-1мКл, а второй +-2мКл, мы соединили обкладки -1мКл и +2мКл между собой). теперь в этой подцепи, соединяющей 2 обкладки находится ненулевой суммарный заряд. он может только перетекать с одной обкладки на другую но никогда не сможет выйти наружу. при этом он одновременно будет удерживать аналогичный заряд другого знака на внешних парах обкладок

Спасибо. В общем-то, я примерно так себе все и представлял, но хотелось уверенности. Кстати, оставшаяся недоступная энергия у меня получилась на порядок меньше, чем у Amw. Вроде, я не ошибся. А оставшийся заряд у меня получился 396 мКл. Это чуть больше, чем в "маленьком" конденсаторе в начале.

[Amw]

Xey в сообщении #665459 писал(а):

Можно бы написать ду этой системы , тогда действительно было бы все.

А я что написал, иу? Так продифференцируйте...

rustot в сообщении #665323 писал(а):

конденсатор хранит не заряд (суммарный заряд в конденсаторе всегда нулевой), а... "количество разделенного заряда", ну так скажем. если на одной обкладке 1мКл то на второй обязательно -1мКл, чтобы в сумме было ноль

Конденсатор хранит заряд, он равен интегралу от тока в цепи с конденсатором..., ток по незамкнутой цепи не течет..., уединенной емкости не существует - это просто емкость по отношению к земле.
Энергия и заряд в конденсаторе связаны взаимно однозначно: $E=\frac{Q^2}{2C}$
Чем вас ещё удивить?

Xey в сообщении #665459 писал(а):

Но в общем то решение ду можно и так предположить в виде двух экспонент разрядов большого и малого конденсаторов, приближающихся с разных сторон и разной скоростью друг к другу на некотором уровне напряжения.

Это про какую задачу речь?

kirillD в сообщении #665467 писал(а):

Кстати, оставшаяся недоступная энергия у меня получилась на порядок меньше, чем у Amw. Вроде, я не ошибся. А оставшийся заряд у меня получился 396 мКл. Это чуть больше, чем в "маленьком" конденсаторе в начале.

Доступная энергия 0.1536, недоступная 0.0912, а оставшийся (недоступный, который останется на коденсаторах, когда напряжение на "ящике" станет нулевым) заряд +0.560 и -0.280.
Может расскажете, как считали?