Определить тип положения равновесия

[vernika17]

Помогите, пожалуйста, нужно определить тип положения равновесия (центр,устойчивый фокус, неустойчивый фокус,устойчивый узел, неустойчивый узел, седло) для уравнения $y''(x)-y'(x)+xy=0$. Я поняла, что нужно составить характеристическое уравнение, найти дискриминант и корни уравнения. Только вот какое здесь будет характеристическое уравнение?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не набраны ТеХом.

Оформите формулы ТеХом. Инструкции: здесь или здесь (или в этом видеоролике). После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
вернул

[bot]

vernika17 в сообщении #660069 писал(а):

Я поняла, что нужно составить характеристическое уравнение

Прежде чем говорить о характеристическом уравнении, надо изготовить из уравнения какое-то другое уравнение, а может быть даже и не одно.

[vernika17]

То есть? Пробовала заменить $y=x^k,y'=kx^{k-1}, y''=k(k-1)x^{k-2}$. После подстановки получается $(k^2-k)x^{k-2}-kx^{k-1}+x^{1+k}=0$. А дальше нужно как-то изабавиться от $x^k$? Или я вообще не правильно делаю?

[bot]

Не с того начинаете. Вы положение равновесия нашли?

[vernika17]

А разве для этого как раз таки и не нужно составить уравнение?
Само уравнение я решала в Mathematica.

То есть я знаю, что это фокус: нужно решить устойчивый он или нет.

[TOTAL]

vernika17 в сообщении #660184 писал(а):

А разве для этого как раз таки и не нужно составить уравнение?

Нужно знать:

1) что такое положение равновесия
2) существуют ли у данного уравнения положения равновесия, сколько их
3) найти все положения равновесия

Ответьте по всем пунктам.

[ewert]

А о какой вообще классификации может идти речь, если уравнение не автономно?...

[vernika17]

Положением равновесия является точка векторного поля, в которой векторное поле равно нулю. Чтобы найти положение равновесия нужно найти определитель матрицы, но ведь мне дана не система уравнений

[CptPwnage]

Надо обозначить $y=y_1, \dot{y}=y_2$; тогда будет система $\dot{y_1}=y_2; \dot{y_2}=y_2-xy_1$

[ewert]

vernika17 в сообщении #660206 писал(а):

но ведь мне дана не система уравнений

Система уравнений получается стандартно -- надо переписать исходное уравнение второго порядка для $y(x)$ в виде системы уравнений первого порядка $\vec z\,'(x)=\vec f(\vec z)$ для $\vec z=\begin{pmatrix}z_1 \\ z_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y \\ y'\end{pmatrix}$. Тогда положения равновесия -- это решения системы $\vec f(\vec z)=\vec 0$. Только вот всё это имеет смысл лишь тогда, когда система автономна, т.е. когда её правая часть $\vec f$ может зависеть лишь от $\vec z$, но не зависит от $x$. А она зависит.

[vernika17]

Цитата:

Только вот всё это имеет смысл лишь тогда, когда система автономна, т.е. когда её правая часть $\vec f$ может зависеть лишь от $\vec z$, но не зависит от $x$. А она зависит.

Значит не нужно составлять систему уравнений?

[ewert]

vernika17 в сообщении #660219 писал(а):

Значит не нужно составлять систему уравнений?

По-моему, вообще ничего не нужно. Ну разве что выяснить, кто это даёт такие чуднЫе и чУдные задачки.

[vernika17]

Наш преподаватель по МОТП. Изначально было задание решить вышеуказанное уравнение при $y'(0)=-1, y(0)=1$ и изобразить решение на фазовой плоскости $y(x), y'(x)$ при $x\in[0,5]$ Я решила уравнение в mathematica. И он задал определить тип положения равновесия (устойчивый или неустойчивый фокус).