Куда можно вложить евклидово пространство?

[scwec]

(Оффтоп)

Для Munin: из уважения к Вам не могу не ответить. Не имел в виду ни тех ни других. Речь шла о вопросе и только.

[Утундрий]

Munin в сообщении #651803 писал(а):

Выделять именно евклидовы нет оснований, кроме только удобства их построения и традиции преподавания.

Тогда, наверное, имеет смысл их поискать. Можно, например, выделить плоские пространства из множества всех искривленных по тому свойству, что параллельность в первых определена глобально, а в последних - лишь локально. Рассуждая подобным образом, следовало бы найти какое-то свойство, которым евклидово пространство обладает лишь локально.

[Munin]

Утундрий в сообщении #652484 писал(а):

Тогда, наверное, имеет смысл их поискать.

А зачем? Чем это оправдано, такое направление поисков?

Утундрий в сообщении #652484 писал(а):

Можно, например, выделить плоские пространства из множества всех искривленных по тому свойству, что параллельность в первых определена глобально, а в последних - лишь локально.

Не очень понял, но мне кажется, что само понятие параллельности столь же невыделено, и в искривлённых пространствах (скажем, в пространствах постоянной кривизны) есть аналогичные свойства, не менее хорошо "глобально и локально" в них наличествующие.

[bayak]

Утундрий, разве для сравнения фундаментальности неевклидово-евклидовых пространств не достаточно того, что евклидово - линейно, а неевклидово - криволинейно? Если Вы намекаете на то, что метрика, индуцированная вложением, это что-то от бога, то я не согласен. В качестве метрики от бога я предложил бы альтернативный способ.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Бог... Религия... Вот ведь вездесущие, даже сюда пролезли.

Мне просто захотелось порассуждать о достаточном. Если достаточно одного только евклидового пространства для реализации всех римановых, то нельзя ли пройти по этому пути дальше? Найти нечто такое, чего будет достаточно для реализации любого евклидового. По результатам обсуждения (кстати, всем спасибо) я прихожу к выводу, что искать нужно среди каких-то специальных евклидовых пространств. То есть, нужно что-то, являющееся евклидовым пространством, но обладающее помимо того и другими свойствами, произвольному евклидовому пространству не присущими. Может быть этого можно добиться добавлением каких-то новых аксиом. Не знаю. Думаю.

[bayak]

Утундрий в сообщении #652973 писал(а):

(Оффтоп)

Бог... Религия... Вот ведь вездесущие, даже сюда пролезли.

(Оффтоп)

здесь "от бога" равно "по естественному происхождению"

Что касается порождения евклидовых пространств некоторым специальным евклидовым, то скорее всего это пустая (бесплодная) идея.

[epros]

Утундрий в сообщении #652973 писал(а):

Если достаточно одного только евклидового пространства для реализации всех римановых

Это, вроде как, не совсем правда.

Более похоже на правду, что: Для всякого риманова пространства найдётся надпространство из класса евклидовых пространств. Однако в этом смысле ничего нельзя сказать про какую-либо «фундаментальность» класса евклидовых пространств.

-- Пн дек 03, 2012 09:34:22 --

Утундрий в сообщении #652973 писал(а):

я прихожу к выводу, что искать нужно среди каких-то специальных евклидовых пространств. То есть, нужно что-то, являющееся евклидовым пространством, но обладающее помимо того и другими свойствами, произвольному евклидовому пространству не присущими.

Кстати, было бы любопытно увидеть пример какого-нибудь свойства, которое сделало бы из евклидова пространства нечто «специальное».

[alcoholist]

Давайте по-наукообразному попробуем.

Вот есть класс римановых многообразий $\mathcal{R}$.

Любое погружение $f:(X,d)\to (Y,s)$ индуцирует на $X$ новую метрику $f^*s$.

Назовем подкласс $\mathcal{A}\subset \mathcal{R}$ фундаментальным, если для любого риманова многообразия $(X,d)$ найдется риманово многообразие $(Y,s)\in\mathcal{A}$ и погружение $f:(X,d)\to (Y,s)$, что $f^*s=d$.

Конечно, класс евклидовых пространств -- фундаментальный.

(естественный) Выбор евклидовых определен тем, что кривизна везде нулевая

[epros]

alcoholist в сообщении #653420 писал(а):

Конечно, класс евклидовых пространств -- фундаментальный.

Это очень интересная трактовка смысла слова «фундаментальный». Я так полагал, что фундаментальным может быть нечто единственное в своём роде. Однако ж в указанном выше смысле «фундаментальными» оказываются весьма многие различные подклассы римановых многообразий, а отнюдь не только класс евклидовых многообразий.

alcoholist в сообщении #653420 писал(а):

(естественный) Выбор евклидовых определен тем, что кривизна везде нулевая

Смысл понятия «естественности» тоже не вполне очевиден. Я бы, к примеру, хотел считать более «естественным» выбор подкласса римановых пространств, имеющих метрику типа цилиндра: Т.е. по первыми двум координатам — сфера радиуса R, а по остальным N-2 координатам — нулевую кривизну. Имею ли я такое право?

[alcoholist]

epros в сообщении #653432 писал(а):

Это очень интересная трактовка смысла слова «фундаментальный»

ну, вот "фундаментальных последовательностей" дохрена же

не нравится, назовем такие классы "публичными"

-- Пн дек 03, 2012 12:07:24 --

epros в сообщении #653432 писал(а):

Смысл понятия «естественности» тоже не вполне очевиден.

я объяснил в чем "естественность"))) Кривизна -- фундаментальное (в Вашем смысле) свойство

-- Пн дек 03, 2012 12:09:43 --

опять же, метрический тензор приводится к $\delta_{ik}$

[epros]

alcoholist в сообщении #653455 писал(а):

ну, вот "фундаментальных последовательностей" дохрена же

не нравится, назовем такие классы "публичными"

Ну, ежели рассуждать в том смысле, что «хоть горшком назови» … то, наверное, придётся проследить за тем, чтобы потом случайно «в печь не поставили»

Я имею в виду, что если уж мы решили понимать «фундаментальность» в таком нетрадиционном смысле, то придётся проследить за тем, чтобы свойство евклидовости не стало трактоваться как фундаментальное в традиционном смысле — т.е. как нечто, лежащее в основании (фундаменте) геометрии. А то от таких громких слов как «фундаментальность» уж больно религиозным культом несёт…

alcoholist в сообщении #653455 писал(а):

я объяснил в чем "естественность"))) Кривизна -- фундаментальное (в Вашем смысле) свойство

Честно говоря, я не понял в чём фундаментальность кривизны в моём смысле. По-моему, что нулевая, что ненулевая кривизна — с точки зрения «фундаментальности» без разницы.

alcoholist в сообщении #653455 писал(а):

опять же, метрический тензор приводится к $\delta_{ik}$

Ну, дык, римановы же многообразия-то.

[alcoholist]

epros в сообщении #653534 писал(а):

Ну, дык, римановы же многообразия-то.

глобально приводится

-- Пн дек 03, 2012 14:10:25 --

epros в сообщении #653534 писал(а):

Честно говоря, я не понял в чём фундаментальность кривизны в моём смысле

не фундаментальность кривизны,

а употребление слова "фундаментальность" в смысле

epros в сообщении #653432 писал(а):

нечто единственное в своём роде

т.е. когда я написал

alcoholist в сообщении #653455 писал(а):

фундаментальное (в Вашем смысле)

я имел ввиду лексику, а то, что назвал наделил этим свойством кривизну -- это мое суждение, которое я обосновал

[epros]

alcoholist в сообщении #653537 писал(а):

глобально приводится

А разве это так? В моём примере тензор Римана-Кристоффеля имеет ненулевые компоненты, так что глобально построить декартовы координаты не получится.

alcoholist в сообщении #653537 писал(а):

я имел ввиду лексику, а то, что назвал наделил этим свойством кривизну -- это мое суждение, которое я обосновал

Чё-то я этого не понял всё равно. Мы говорили о свойствах многообразий типа «евклидовости» и «римановости», а также пытались рассуждать о том, насколько и в каком смысле оные свойства «фундаментальны». Кривизна по моим понятиям и сама не свойство (ибо обычно она — тензор), и такими свойствами как «фундаментальность» обычно не характеризуется, вроде.

[alcoholist]

epros в сообщении #653571 писал(а):

А разве это так?

если в некотором римановом многообразии существуют координаты, в которых метрический тензор глобально имеет вид $\delta_{ik}$, то такое многообразие изометрично подмножеству евкидова пространства

epros в сообщении #653571 писал(а):

Чё-то я этого не понял всё равно

ну, забудьте (я же говорил про фундаментальные последовательности)

назовем такие классы ПУБЛИЧНЫМИ

Вы спрашиваете, чем мой публичный класс отличается от Вашего.

Ну, например,

многообразие размерности $n$ Вашего класса изометрически вкладывается в многообразие размерности $n+1$ моего

многообразие размерности $n$ моего класса изометрически вкладывается в многообразие размерности $n+2$ Вашего

мои лучше -- экономней))

-- Пн дек 03, 2012 15:31:41 --

epros в сообщении #653571 писал(а):

Кривизна по моим понятиям и сама не свойство

М. Громов, "Знак и геометрический смысл кривизны"

В небольшой книге известного французского математика Михаила Громова изучены основы римановой геометрии, теории Морса, элементы дифференциальной топологии. Материал изложен на очень доступном уровне. Книга может быть рекомендована при введении в более специальные разделы геометрии и топологии.

Предназначена для студентов, аспирантов и полезна для научных сотрудников и преподавателей.

[epros]

alcoholist в сообщении #653577 писал(а):

epros в сообщении #653571 писал(а):

А разве это так?

если в некотором римановом многообразии существуют координаты, в которых метрический тензор глобально имеет вид $\delta_{ik}$, то такое многообразие изометрично подмножеству евкидова пространства

Это, вроде как, тривиальность. Конечно не существуют (в данном случае такие координаты). В моём примере двумерное подпространство, полученное срезом $x_i = \operatorname{const}$ для $i > 2$, имеет геометрию сферы радиуса R. А срез $x_1 = \operatorname{const}$, $x_2 = \operatorname{const}$ является евклидовым пространством. Вот и посмотрите, есть ли там глобально декартовы координаты.

alcoholist в сообщении #653577 писал(а):

epros в сообщении #653571 писал(а):

Кривизна по моим понятиям и сама не свойство

М. Громов, "Знак и геометрический смысл кривизны"

Это Вы к чему?