В целых числах

[ИСН]

Andrey A, что Вы несёте?
Keter, ещё раз: Вы записываете неравенство "шлагбаум меньше выражения" и решаете его, дабы узнать, когда оно выполняется. И когда же? При каких y? При всех?

[nnosipov]

ИСН в сообщении #651815 писал(а):

Andrey A, что Вы несёте?

Он предлагает рассмотреть параметрическое уравнение Пелля $x(x+1)=y(y+1)(a^2+1)$. Однако решить это уравнение было бы делом весьма нелёгким. Скорее всего, все решения нельзя описать каким-то простым способом. Так что идея оригинальная, но трудно реализуемая.

[bot]

nnosipov в сообщении #651824 писал(а):

Скорее всего, все решения нельзя описать каким-то простым способом

Это про Пелля или про данное уравнение? Ведь уже почти прижали к шлагбауму, осталось понять с какой стороны, как внезапно выскочил Пелль.

-- Пт ноя 30, 2012 15:09:36 --

Ага понял о чём - Пелль здесь действительно плохой помощник.

[VAL]

(Любый мне) Пелль тут и правда не при чем.
Тут пытаются зажать Keter'а между двумя (соседними) шлагбаумами. Так, чтобы он оказался один на один с правильным решением. Но он очень изворотлив.

[Andrey A]

nnosipov в сообщении #651824 писал(а):

Скорее всего, все решения нельзя описать каким-то простым способом.

А есть хотя бы один контрпример? Кстати, нетривиальное решение все-таки есть:
$5^2+5=2^4+2^3+2^2+2$
И следует оно как раз из приведенного примера для $a=-2$, как-то я это прозевал.

[ИСН]

Andrey A, призываю Вас к осторожности в словах, ибо цель этого топика - не найти решения, а сделать так, чтобы Keter их нашёл.

[Keter]

Рассматривая $y \in \mathbb{N}_0$, докажем, что правая часть уравнения $(2x+1)^2=4y^4+4y^3+4y^2+4y+1$ ограничена снизу выражением $(2y^2+y+1)^2,$ откуда получим оценку $0 \le y \le 2,$ что даёт аж четыре решения $(0; 0), (-1; 0), (5; 2), (-6; 2).$ Затем рассмотрим $y \in \mathbb{Z}^{-}.$ Возьмем за верхнюю границу выражение $(2y^2+2y+1)^2,$ тогда имеем $-1 \le y < 0.$ И получаем еще два решения $(0; -1), (-1; -1).$
Ответ: $(-6; 2), (-1; -1), (-1; 0), (0; -1), (0; 0), (5; 2).$

Andrey A, вот и еще одно нетривиальное решение: $(-6; 2).$

[alexo2]

Keter в сообщении #651234 писал(а):

Найти все пары целых чисел, которые являются решением уравнения:

$$x^2+x=y^4+y^3+y^2+y.$$

$$x(x+1)=y(y+1)(y^2+1)$$

Сразу видно: $(0; 0), (0; -1), (-1; 0), (-1; -1)$. Какой должен быть дальнейший подход?

Интересно, что если доказать, что

$$3(x^2+x)=5(y^4+2y^3+2y^2+y).$$

[/math]
не имеет решений в натуральных числах, то тем самым будет доказано, что разность соседних кубов не может быть разностью двух соседних пятых степеней...

[Shadow]

Да Keter, правилно. Можно не рассматривать отдельные случаи, решив систему неравенств
$(2y^2+y)^2<y^4+4y^3+4y^2+4y+1<(2y^2+y+1)$ Там решений нет.

(Оффтоп)

Еще задачка: Докажите, что сумма двух последовательных простых чисел, больше 2, можно разложит как минимум на 3 множителя.

[Keter]

Shadow в сообщении #652206 писал(а):

(Оффтоп)

Еще задачка: Докажите, что сумма двух последовательных простых чисел, больше 2, можно разложит как минимум на 3 множителя.

(Оффтоп)

Сумма двух простых чисел, больше 2, - число четное, делящееся на 4=2 $\cdot$ 2. Уже два множителя есть. А третий всегда будет, так как самый маленький случай 3+5=8=2 $\cdot$ 2 $\cdot$ 2.

-- 30.11.2012, 23:35 --

Shadow в сообщении #652206 писал(а):

Да Keter, правилно. Можно не рассматривать отдельные случаи, решив систему неравенств
$(2y^2+y)^2<y^4+4y^3+4y^2+4y+1<(2y^2+y+1)$

Почему именно такое неравенство? Как Вы к нему пришли?

[Shadow]

Ой, извините. Опeчатка. Там $4y^4+\cdots$

Keter в сообщении #652258 писал(а):

Почему именно такое неравенство

Ну, в принципе такая основная идея - выделить в полный квадрат старшие члены и доказать, что остаток "слабоват" - не дотягиваеят до следующего квадрата, за исключением маленького интервала
$4y^4+4y^3+4y^2+4y+1=(2y^2+y)^2+3y^2+4y+1$

Keter в сообщении #652258 писал(а):

(Оффтоп)

Сумма двух простых чисел, больше 2, - число четное, делящееся на 4

Боюсь, вы меня неправильно поняли. 7 и 11 - соседние простые. Я не говорил "близнецы"

[ИСН]

Keter в сообщении #652258 писал(а):

Почему именно такое неравенство? Как Вы к нему пришли?

Потому, что это те два соседних квадрата, между которыми "почти всегда" зажато наше выражение. Никакие другие не годятся. Как пришли? - шли, шли, и пришли. Вы тоже шли, но почему-то остановились на сравнении выражения с верхним шлагбаумом. Оно не всегда его меньше. Тут надо понять: когда? Когда меньше? А когда больше? Какой из этих случаев - основной, а какой - исключение? Дальше исключение проверяется перебором, а для основного случая подгоняют шлагбаум с другой стороны.

[Keter]

Shadow, ну тогда два типа: которые делятся на 4=2 $\cdot$ 2 и которые на 6=2 $\cdot$ 3. Достаточно два множителя, третий всегда будет.

[ИСН]

К какому из этих типов относится пара (199, 211)?

[Keter]

ИСН, к третьему, которые на 10 делятся. А можно ли по индукции доказывать, что еще два множителя всегда будут (кроме 2), или тут такое не катит? На какие свойства чисел вообще нужно опираться?