2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: В целых числах
Сообщение30.11.2012, 06:44 
Аватара пользователя
Andrey A, что Вы несёте? :shock:
Keter, ещё раз: Вы записываете неравенство "шлагбаум меньше выражения" и решаете его, дабы узнать, когда оно выполняется. И когда же? При каких y? При всех?

 
 
 
 Re: В целых числах
Сообщение30.11.2012, 07:44 
ИСН в сообщении #651815 писал(а):
Andrey A, что Вы несёте? :shock:
Он предлагает рассмотреть параметрическое уравнение Пелля $x(x+1)=y(y+1)(a^2+1)$. Однако решить это уравнение было бы делом весьма нелёгким. Скорее всего, все решения нельзя описать каким-то простым способом. Так что идея оригинальная, но трудно реализуемая.

 
 
 
 Re: В целых числах
Сообщение30.11.2012, 11:05 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #651824 писал(а):
Скорее всего, все решения нельзя описать каким-то простым способом

Это про Пелля или про данное уравнение? Ведь уже почти прижали к шлагбауму, осталось понять с какой стороны, как внезапно выскочил Пелль.

-- Пт ноя 30, 2012 15:09:36 --

Ага понял о чём - Пелль здесь действительно плохой помощник.

 
 
 
 Re: В целых числах
Сообщение30.11.2012, 12:25 
(Любый мне) Пелль тут и правда не при чем.
Тут пытаются зажать Keter'а между двумя (соседними) шлагбаумами. Так, чтобы он оказался один на один с правильным решением. Но он очень изворотлив.
:-)

 
 
 
 Re: В целых числах
Сообщение30.11.2012, 19:35 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #651824 писал(а):
Скорее всего, все решения нельзя описать каким-то простым способом.


А есть хотя бы один контрпример? Кстати, нетривиальное решение все-таки есть:
$5^2+5=2^4+2^3+2^2+2$
И следует оно как раз из приведенного примера для $a=-2$, как-то я это прозевал.

 
 
 
 Re: В целых числах
Сообщение30.11.2012, 19:47 
Аватара пользователя
Andrey A, призываю Вас к осторожности в словах, ибо цель этого топика - не найти решения, а сделать так, чтобы Keter их нашёл.

 
 
 
 Re: В целых числах
Сообщение30.11.2012, 21:10 
Рассматривая $y \in \mathbb{N}_0$, докажем, что правая часть уравнения $(2x+1)^2=4y^4+4y^3+4y^2+4y+1$ ограничена снизу выражением $(2y^2+y+1)^2,$ откуда получим оценку $0 \le y \le 2,$ что даёт аж четыре решения $(0; 0), (-1; 0), (5; 2), (-6; 2).$ Затем рассмотрим $y \in \mathbb{Z}^{-}.$ Возьмем за верхнюю границу выражение $(2y^2+2y+1)^2,$ тогда имеем $-1 \le y < 0.$ И получаем еще два решения $(0; -1), (-1; -1).$
Ответ: $(-6; 2), (-1; -1), (-1; 0), (0; -1), (0; 0), (5; 2).$

Andrey A, вот и еще одно нетривиальное решение: $(-6; 2).$

 
 
 
 Re: В целых числах
Сообщение30.11.2012, 21:17 
Keter в сообщении #651234 писал(а):
Найти все пары целых чисел, которые являются решением уравнения: $$x^2+x=y^4+y^3+y^2+y.$$
$$x(x+1)=y(y+1)(y^2+1)$$
Сразу видно: $(0; 0), (0; -1), (-1; 0), (-1; -1)$. Какой должен быть дальнейший подход?

Интересно, что если доказать, что
$$3(x^2+x)=5(y^4+2y^3+2y^2+y).$$[/math]
не имеет решений в натуральных числах, то тем самым будет доказано, что разность соседних кубов не может быть разностью двух соседних пятых степеней...

 
 
 
 Re: В целых числах
Сообщение30.11.2012, 21:55 
Да Keter, правилно. :-) Можно не рассматривать отдельные случаи, решив систему неравенств
$(2y^2+y)^2<y^4+4y^3+4y^2+4y+1<(2y^2+y+1)$ Там решений нет.

(Оффтоп)

Еще задачка: Докажите, что сумма двух последовательных простых чисел, больше 2, можно разложит как минимум на 3 множителя.

 
 
 
 Re: В целых числах
Сообщение30.11.2012, 23:33 
Shadow в сообщении #652206 писал(а):

(Оффтоп)

Еще задачка: Докажите, что сумма двух последовательных простых чисел, больше 2, можно разложит как минимум на 3 множителя.

(Оффтоп)

Сумма двух простых чисел, больше 2, - число четное, делящееся на 4=2 $\cdot$ 2. Уже два множителя есть. А третий всегда будет, так как самый маленький случай 3+5=8=2 $\cdot$ 2 $\cdot$ 2.


-- 30.11.2012, 23:35 --

Shadow в сообщении #652206 писал(а):
Да Keter, правилно. :-) Можно не рассматривать отдельные случаи, решив систему неравенств
$(2y^2+y)^2<y^4+4y^3+4y^2+4y+1<(2y^2+y+1)$

Почему именно такое неравенство? Как Вы к нему пришли?

 
 
 
 Re: В целых числах
Сообщение01.12.2012, 00:11 
Ой, извините. Опeчатка. Там $4y^4+\cdots$
Keter в сообщении #652258 писал(а):
Почему именно такое неравенство
Ну, в принципе такая основная идея - выделить в полный квадрат старшие члены и доказать, что остаток "слабоват" - не дотягиваеят до следующего квадрата, за исключением маленького интервала
$4y^4+4y^3+4y^2+4y+1=(2y^2+y)^2+3y^2+4y+1$
Keter в сообщении #652258 писал(а):

(Оффтоп)

Сумма двух простых чисел, больше 2, - число четное, делящееся на 4
Боюсь, вы меня неправильно поняли. 7 и 11 - соседние простые. Я не говорил "близнецы"

 
 
 
 Re: В целых числах
Сообщение01.12.2012, 00:29 
Аватара пользователя
Keter в сообщении #652258 писал(а):
Почему именно такое неравенство? Как Вы к нему пришли?
Потому, что это те два соседних квадрата, между которыми "почти всегда" зажато наше выражение. Никакие другие не годятся. Как пришли? - шли, шли, и пришли. Вы тоже шли, но почему-то остановились на сравнении выражения с верхним шлагбаумом. Оно не всегда его меньше. Тут надо понять: когда? Когда меньше? А когда больше? Какой из этих случаев - основной, а какой - исключение? Дальше исключение проверяется перебором, а для основного случая подгоняют шлагбаум с другой стороны.

 
 
 
 Re: В целых числах
Сообщение01.12.2012, 00:35 
Shadow, ну тогда два типа: которые делятся на 4=2 $\cdot$ 2 и которые на 6=2 $\cdot$ 3. Достаточно два множителя, третий всегда будет.

 
 
 
 Re: В целых числах
Сообщение01.12.2012, 00:50 
Аватара пользователя
К какому из этих типов относится пара (199, 211)?

 
 
 
 Re: В целых числах
Сообщение01.12.2012, 13:04 
ИСН, к третьему, которые на 10 делятся. А можно ли по индукции доказывать, что еще два множителя всегда будут (кроме 2), или тут такое не катит? На какие свойства чисел вообще нужно опираться?

 
 
 [ Сообщений: 71 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group