Решение радиального уравнения с таким граничным условием и с таким поведением потенциальной энергии при r=0
в атомных единицах Хартри не может претендовать на правильное описание поведения электрона в непосредственной близости от ядра.
Интересно, с чего вы это взяли. Не только претендует, но и описывает, это проверено опытами.
Причина в том, что электрон не является точкой а имеет определенные размеры.
Почему вы так думаете? Даже если это и так, радиус электрона много меньше радиуса ядра (радиус электрона
радиус ядра
граница ядра (область нарастания плотности от нуля до единицы) того же порядка). Он попросту ни на что не влияет в окрестностях ядра.
Реально размер ядра намного больше размера электрона, как видите. Таким образом, вместо ваших вымышленных ситуаций, вам надо было бы рассмотреть варианты для
Реально при этом электрон, конечно же, в ядро заходит, и движется в нём, но уже не как в кулоновском потенциале, а как в сглаженном. Например, считая ядро шаром с однородной плотностью заряда, получаем осцилляторный потенциал
Для реальных ядер распределение плотности заряда не столь однородное, но достаточно гладкое, и имеет пики не ́уже тех масштабов, которые я назвал выше. Кроме того, для разных ядер оно существенно разное, особенно в начале таблицы Менделеева и около магических ядер.
О реальном поведении волновой функции электрона около ядра я писал в другой теме:
post652123.html#p652123 и выше.
И наконец, вы ошибаетесь, думая, что на волновую функцию в
накладывается какое-то граничное условие. Вовсе нет. Достаточно указать, что в. ф. симметрична относительно
(чётна или нечётна, как пойдёт), и наложить условие нормировки на неё в целом. Граничные условия если и есть, то на бесконечности. А в нуле она сама оказывается такой, какой надо - повторяю, из-за потенциала Кулона.
поскольку размеры электрона многократно превосходят протон
Не знаю, откуда вы это взяли, но лучше срочно переучивайтесь. Всё наоборот.
И последнее замечание. Бесконечность пишется
\infty, а не
\propto - а последнее есть знак "пропорционально чему-то" в американской математической типографике.