В целых числах

[Keter]

Найти все пары целых чисел, которые являются решением уравнения:

$$x^2+x=y^4+y^3+y^2+y.$$

$$x(x+1)=y(y+1)(y^2+1)$$

Сразу видно: $(0; 0), (0; -1), (-1; 0), (-1; -1)$. Какой должен быть дальнейший подход?

[Shadow]

$4x^2+4x+1=4y^4+4y^3+4y^2+4y+1$

[Keter]

$(2x+1)^2=(2y+1)^2+4y^3(y+1)$

$(x-y)(x+y+1)=y^3(y+1)$

-- 28.11.2012, 23:49 --

Не понимаю.

[Shadow]

Не то разложение в правой части. Попробуйте доказать, что правая часть "почти всега" находится между двумя соседними квадратами.

[Keter]

$(2x+1)^2=(2y+1)^2+4(y^3+y^4)$, а такое решается в целых числах, если $y^3+y^4=k^2$. То есть соответствует пифагоровым тройкам. А как понять, что $y^3+y^4$ не является точным квадратом?

[ИСН]

Совсем не то разложение в правой части. "Да, т-теперь оч-чень далеко."

-- Чт, 2012-11-29, 17:35 --

С чего Вы взяли, например, что разность двух нечётных квадратов всегда является учетверённым квадратом?

[Shadow]

Keter в сообщении #651452 писал(а):

А как понять, что $y^3+y^4$ не является точным квадратом

Понять можно (и доказать можно при $y \ne -1$), но беда в том что

Keter в сообщении #651452 писал(а):

а такое решается в целых числах, если $y^3+y^4=k^2$

совершенно не обязательно.

[Cash]

На форуме была недавно аналогичная задача
http://dxdy.ru/topic64424.html

[Keter]

Cash, та не там немного другое.

Я вот очем подумал. Можно ли попытаться выделить в правой части полный квадрат? Я получил:

$(2x+1)^2=(\pm 2y^2 \pm y \pm \frac{3}{4})^2+\frac{5}{2} y+\frac{7}{16}$

[ИСН]

Это слишком детальное приближение, можно обойтись более грубым.

-- Чт, 2012-11-29, 22:52 --

даже нужно, потому что у этого - проблемы с целочисленностью.

[Keter]

ИСН в сообщении #651456 писал(а):

С чего Вы взяли, например, что разность двух нечётных квадратов всегда является учетверённым квадратом?

А разве нельзя использовать тождество $(m^2+n^2)^2=(m^2-n^2)^2+4 (mn)^2$ ?
И соответственно считать, что $m^2+n^2=(2x+1), m^2-n^2=(2y+1), (mn)^2=y^3(y+1)$ ?

[ИСН]

"Практика - критерий истины", как учили большевики.
$7^2-3^2=4\cdot10$
10 - это квадрат? Да или нет?

[Keter]

Ну а система $m^2+n^2=7, m^2-n^2=3$ решений в целых вроде не имеет...

Сейчас попытаюсь оценить как нибудь

$$16(2x+1)^2=(\pm 4y^2 \pm 4y \pm 3)^2+ 40 y+7$$

[Cash]

Keter в сообщении #651656 писал(а):

Cash, та не там немного другое.

Я вот очем подумал. Можно ли попытаться выделить в правой части полный квадрат? Я получил:

$(2x+1)^2=(\pm y^2 \pm y \pm \frac{3}{4})^2+\frac{5}{2} y+\frac{7}{16}$

На самом деле там ровно то же самое.

Идея с выделением полного квадрата - здравая. Только как-то странно вы его выделили. Я что-то не замечаю 4 при $y^4$. Ну и спрятать достаточно только $y^4$ и $y^3$.

[ИСН]

Keter в сообщении #651701 писал(а):

Ну а система $m^2+n^2=7, m^2-n^2=3$ решений в целых вроде не имеет...

Ну да. Многие не имеют. А Вы там имплицитно подразумевали, что якобы все нечётные - имеют.