Школьная задача

[utc]

При каких значениях x $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ есть полный квадрат?
Подскажите пожалуйста, с чего начать.

[gris]

$x$ это целое или натуральное?

[Cash]

Идея такая:
$Q=x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ - полный квадрат.
Тогда $4Q$ - тоже полный квадрат.
Попытайтесь подобрать такие целые коэффициенты $a, b, c$, что 2 неравенства
$(ax^2+bx+c)^2<4Q<(ax^2+bx+c+1)^2$
выполняются для всех целых $x$ за исключением некоторого небольшого (конечного) количества. Они находятся легко. Тогда эти исключения и будут единственными кандидатами на ответ. Останется только перебрать их.

(Оффтоп)

Крутовато для школьной олимпиады

[mihailm]

utc в сообщении #643633 писал(а):

При каких значениях x $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ есть полный квадрат?
Подскажите пожалуйста, с чего начать.

Это известная задача, см., например, Шарыгин Факультативный курс 10 класс параграф 6

[arqady]

utc в сообщении #643633 писал(а):

При каких значениях x $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ есть полный квадрат?
Подскажите пожалуйста, с чего начать.

При целом $x$ эта задача принадлежит T.H.Gronwall и впервые опубликована в журнале "American Mathematical Monthly" где-то в 20-ых годах прошлого века (насчёт годов не уверен).
Интереснее, по моему, следующее диофантово уравнение Ферма:

$$y^2=x^3+x^2+x+1$$

[nnosipov]

arqady в сообщении #643861 писал(а):

При целом $x$ эта задача принадлежит T.H.Gronwall и впервые опубликована в журнале "American Mathematical Monthly" где-то в 20-ых годах прошлого века (насчёт годов не уверен).

Я думал, она впервые появилась на какой-то из Всесоюзных олимпиад в 60-70 годах. А она, оказывается, ещё древнее.

arqady в сообщении #643861 писал(а):

Интереснее, по моему, следующее диофантово уравнение Ферма:

$$y^2=x^3+x^2+x+1$$

Гораздо интереснее. Тот редкий случай, когда целые точки на эллиптической кривой удаётся найти элементарными средствами.

[scwec]

Привожу формулировку задачи из книги ROBERT D. CARMICHAEL, DIOPHANTINE ANALYSIS 1915
Consider the equation $1+x+x^2+x^3=y^2$. Show that $x=7,y=20$ is the
only solution in which x is a prime number. Show how to find other rational
solutions. (Gerono, 1877.)

[Keter]

Где можно найти T.H.Gronwall "American Mathematical Monthly" ? Я о статье, которую упомянул arqady.

[nnosipov]

Keter в сообщении #651734 писал(а):

Где можно найти T.H.Gronwall "American Mathematical Monthly" ?

Точную ссылку дайте (ищите на jstore), и я вышлю. Впрочем, сами можете всю коллекцию AMM скачать на rutracker.org.

[Keter]

nnosipov, прошу прощения, что так долго. Нашел лишь упоминание об этой задаче. Действительно предложена T.H.Gronwall в "American Mathematical Monthly" Vol. 26, No. 8, Oct., 1919, page 366, Problem for solution 2784. Интересно, а её решение публиковалось? Интересно сравнить.

[nnosipov]

Keter в сообщении #655039 писал(а):

Интересно, а её решение публиковалось?

Думаю, что да. Но тоже поискать нужно. На днях посмотрю.

[Edward_Tur]

Keter в сообщении #655039 писал(а):

[b] Интересно, а её решение публиковалось? Интересно сравнить.

"Избранные задачи ИЗ ЖУРНАЛА "AMERICAN MATHEMATICAL MONTHLY"
Задача № 6.
http://www.ega-math.narod.ru/Books/Dunkel.htm

[Keter]

Edward_Tur, спасибо.

[scwec]

Предлагаю решить задачу: уравнение $y^2=x(x+1)(x+2)...(x+n)$ разрешимо в целых числах только если $y=0$, где $n$- натуральное число.

[DjD USB]

Решить уравнение в натуральных числах:

$$y^2=x^4+x^3+x$$

Темы объединены