Одно красивое свойство простых чисел [Теория чисел]

[ИСН]

Whitaker в сообщении #649689 писал(а):

Пусть таких пар конечное число

Каких "таких"? (Это Вы наверняка помните, но прокрутим ещё раз.) А все остальные тогда какие? Получается, не "такие"?

[Whitaker]

Пусть таких пар всего $N$ штук, а именно:

$$(p_1, p_2), (p_2, p_3), (p_3, p_4), \dots, (p_{N-1}, p_{N}), (p_N, p_{N+1})$$

такие, что $p_{i+1}<p_i(1+\varepsilon)$ для $1\leqslant i \leqslant N$
А остальные пары простых чисел не такие. Там уже $p_{j+1}\geqslant p_j(1+\varepsilon)$

[ИСН]

Whitaker в сообщении #649739 писал(а):

Там уже $p_{j+1}>p_j(1+\varepsilon)$

Так отож!

[Whitaker]

Ну да!
Все равно не осознаю что это нам дает

[Slip]

ну вот если $a>2b$, а $b>2c$, то что можно сказать про $a$ и $c$?

[Whitaker]

$a>4c\geqslant c$

[Slip]

а если еще $u>2a$, то как связаны $c$ и $u$?

[Whitaker]

$u>8c\geqslant c$

[Slip]

а если еще $w>2u$? а еще $z>2w$? а еще $y>2z$? как они все связаны с $c$? и к чему я все это?

[Whitaker]

$w>2^4c\geqslant c$
$z>2^5c\geqslant c$
$z>2^6c\geqslant c$
К чему?

[Slip]

а что мы хотим получить?

[Whitaker]

противоречие

[Slip]

с чем? и каким образом?

[Whitaker]

с расходимость ряда $\sum \limits_{i\geqslant 1}\dfrac{1}{p_i}$
Ну я вроде сделал оценки и получил, что:

$$\sum \limits_{i\geqslant 1}\dfrac{1}{p_i}<\sum \limits_{i=1}^{N}\dfrac{1}{p_i}+\dfrac{1}{\varepsilon}$$

[Slip]

не очень похоже на правду, хотя близко. а как получили?