Одно красивое свойство простых чисел [Теория чисел]

[Whitaker]

$p_{N+1}>p_N(1+\varepsilon)$, $p_{N+2}>p_{N+1}(1+\varepsilon)$, $p_{N+3}>p_{N+2}(1+\varepsilon)$ и т. д.
Отсюда получаем, что $p_{N+k}>p_{N}(1+\varepsilon)^k$ для $k\geqslant 1$
Рассмотрим ряд

$$\sum\limits_{i\geqslant 1}\dfrac{1}{p_i}=\sum\limits_{i=1}^{N}\dfrac{1}{p_i}+\sum\limits_{i\geqslant N+1}\dfrac{1}{p_i}<\sum\limits_{i=1}^{N}\dfrac{1}{p_i}+\dfrac{1}{p_N}\left(\dfrac{1}{1+\varepsilon}+\dfrac{1}{(1+\varepsilon)^2}+\dots\right)=\sum\limits_{i=1}^{N}\dfrac{1}{p_i}+\dfrac{1}{\varepsilon p_N}\leqslant\sum\limits_{i=1}^{N}\dfrac{1}{p_i}+\dfrac{1}{2\varepsilon}$$

[Slip]

ну да, хотя зачем была последняя оценка - непонятно;) все равно же уже видно, что получился сходящийся ряд, а большего и не нужно.

[Whitaker]

Ряд ограничен каким-то числом + конечным рядом, где $N$-фиксированное число. Значит, ряд слева сходящийся. Но ряд из простых обратных расходится. Противоречие долгожданное.
Верно?

[Slip]

По сути абсолютно верно, но сказано как-то криво;) Знаете признак сравнения для рядов? И то, что конечное число членов не влияют на сходимость?

[Whitaker]

Slip
Да это я знаю. Но ведь $N$ как я правильно понял фиксированное число да??
Тогда получаем, что $\sum \limits_{i>N}\dfrac{1}{p_i}<\dfrac{1}{2\varepsilon}$
Значит ряд $\sum \limits_{p}\dfrac{1}{p}<+\infty$ так как отбрасывание конечного числа его членов не влияет на сходимость. Получаем противоречие.

[Slip]

не делайте лишнего. начиная с $N$-го члена наш ряд мажорируется сходящимся рядом $\frac{1}{p_N}(1+\varepsilon)^{-k}$, поэтому наш ряд сходится.
А чтобы закрепить понимание, лучше еще раз прокрутить доказательство с самого начала. А лучше записать.

[Whitaker]

Slip
Понял Вас! Спасибо большое за помощь!
Хоть много сообщений на это ушло , но в конце конце концов все стало понятно теперь!

[Slip]

не за что) серьезно, лучше еще раз напишите доказательство полностью. можно даже здесь. очень проясняет ситуацию, особенно когда к доказательству шли долго и маленькими шажками;)
Все, я спать :)

[Whitaker]

Slip
Постараюсь завтра утром написать. Спасибо!
Спокойной ночи!