О "последнем" утверждении П. Ферма

[ljubarcev]

Допустим, что тройка целых положительных взаимно простых чисел $x; y; z$ удовлетворяет равенству $x^3+y^3=z^3$ (1), тогда:
1.В соответствии с малой теоремой Ферма $x^3-x=3A$; $y^3-y=3B$; $z^3-z=3C$. Из этого получаем, что должно быть $x+y-z=3(C-A-B)=3t$. (2)
2.Из (1) получаем: $x^3/(z-y)=z^2+zy+y^2$; $y^3/(z-x)=z^2+zx+x^2$; $z^3/(x+y)=y^2-xy+x^2$, откуда видно, что числа $x, z-y$; $y; z-x$; $z; x+y$ не взаимно просты и, следовательно, имеют наибольшие общие делители $p; k; g$ соответственно. Поэтому должно быть:
$x=px_1$; $z-y=p(z-y)_1$; $y=ky_1$; $z-x=k(z-x)_1$; $z=gz_1$; $x+y=g(x+y)_1$ (3). Ясно, что пары чисел $x_1, (z-y)_1$; $y_1, (z-x)_1$; $z_1, (x+y)_1$ взаимно просты.
3.С учётом (2) и п.2 получаем: $x_1-(z-y)_1=3t/p$; $y_1-(z-x)_1=3t/k$; $(x+y)_1-z_1=3t/g$. Из последних равенств очевидно ,что число $x+y-z=3t$ должно одновременно делиться на числа $p; k; g$, а так как они взаимно просты, то и на их произведение $pkg$.
4.Из (1) следует с учетом п.2 следует $x_1^3-(z-y)_1^3=3zy(z-y)_1/p^2$. Так как число $p$ является делителем $x$, то оно взаимно просто с $z; y$ по этому, что бы равенство имело место в целых числах, должно быть $(z-y)_1=p^2$, а $z-y= p^3$;. Аналогично, должно быть
$z-x=k^3$; $x+y=g^3$.
5.В то же время, для любой тройки целых чисел $a;b;c$ справедливо $(a+b-c)^3=a^3+b^3-c^3+3(a+b)(c-a)(c-b)$. В нашем случае, когда $a=x$; $b=y$; $c=z$, с учетом того что по предположению $x^3+y^3=z^3$, должно быть: $(x+y-z)^3=27t^3=3(x+y)(z-y)(z-x)$, а с учетом п.4 - $27t^3=3p^3k^3g^3$ и $9t^3= (pkg)^3$. Но в целых числах $9$ кубов (слева) не могут быть кубом (справа). Это и доказывает неверность исходного предположения $x^3+y^3=z^3$.
Дед.

[RIP]

ljubarcev писал(а):

4.Из (1) следует с учетом п.2 следует $x_1^3-(z-y)_1^3=3zy(z-y)_1/p^2$. Так как число $p$ является делителем $x$, то оно взаимно просто с $z; y$ по этому, что бы равенство имело место в целых числах, должно быть $(z-y)_1=p^2$, а $z-y= p^3$;.

Вот это место поподробней, пожалуйста.

[ljubarcev]

RIP писал(а):

ljubarcev писал(а):

4.Из (1) следует с учетом п.2 следует $x_1^3-(z-y)_1^3=3zy(z-y)_1/p^2$. Так как число $p$ является делителем $x$, то оно взаимно просто с $z; y$ по этому, что бы равенство имело место в целых числах, должно быть $(z-y)_1=p^2$, а $z-y= p^3$;.

Вот это место поподробней, пожалуйста.

RIP ! Спасибо за внимание!
Если $x^3+y^3=z^3$ (1) при взаимно простых $x; y; z$, то
$x^3=z^3-y^3=(z-y)(z^2+zy+y^2)$ и $x^3/(z-y)=z^2+zy+y^2$. При целых $z$ и $y$, число справа $z^2+zy+y^2$ – целое, следовательно, и число слева $x^3/(z-y)$ должно быть целым. Рассматривая дробь $\frac{x^3}{z-y}$ видим, что бы она была целым числом, необходимо что бы число $x$ в его представлении в виде разложения на простые множители в соответствии с основной теоремой арифметики содержало ВСЕ простые множители такого же разложения числа $z-y$. Таким образом, должно существовать число $p$, равное произведению всех общих множителей чисел $x$ и $z-y$, называемое их наибольшим общим делителем (НОД). В соответствии с понятием НОД , числа $x_1$ и $(z-y})_1$, получаемые после деления чисел
$x$ и $(z-y)$ на их НОД, будут взаимно простыми и в то же время должно быть $x=px_1$ и $z-y=p(z-y)_1$.
Из (1) следует так же равенство $x^3-(z-y)^3=3zy(z-y)$. После подстановки в него $x=px_1$ и $z-y=p(z-y)_1$ и деления всего равенства на $p^3$, получим равенство $x_1^3-(z-y)_1^3=\frac{3zy(z-y)_1}{p^2}$. Что бы равенство имело место в целых числах, дробь $\frac{3zy(z-y)_1}{p^2}$ должна быть целым числом. Последнее же возможно только и только при $(z-y)_1=p^2$. Только и только потому, что одновременно должны быть целыми числами дроби $\frac{p^2x_1^3}{(z-y)_1}$ и $\frac{3zy(z-y)_1}{p^2}$ . то есть целыми должны быть и
$\frac{p^2}{(z-y)_1}$ и $\frac{(z-y)_1}{p^2}$ одновременно, так как числа $z;y;x_1$ взаимно просты с числами $p;(z-y)_1$. Но если $(z-y)_1=p^2$, то $z-y=p^3$.
Так как числа $x;y;z$ в уравнении $x^3+y^3+(-z)^3=0$ играют симметричные роли, то совершенно аналогично получим $z-x=k^3$ и $x+y=g^3$. Числа $p;k;g$ взаимно простые, так как состоят только из делителей чисел $x;y;z$ соответственно, которые взаимно просты по предположению.
Дед.

[bot]

ljubarcev писал(а):

Последнее же возможно только и только при $(z-y)_1=p^2$.

А троечку куда подевали?
Иначе говоря, куда девалась возможность $(z-y)_1=3p^2$?

[RIP]

ljubarcev писал(а):

...одновременно должны быть целыми числами дроби $\frac{p^2x_1^3}{(z-y)_1}$ и $\frac{3zy(z-y)_1}{p^2}$ . то есть целыми должны быть и
$\frac{p^2}{(z-y)_1}$ и $\frac{(z-y)_1}{p^2}$ одновременно, ...

С первым соглашусь, а вот второе не обязано быть целым, если $p$ делится на 3. Т.е. упущен случай $(z-y)_1=\frac{p^2}3$, а он как раз самый интересный. В этом случае это простое док-во не проходит.

[bot]

RIP писал(а):

С первым соглашусь, а вот второе не обязано быть целым, если $p$ делится на 3. Т.е. упущен случай $(z-y)_1=\frac{p^2}3$,...

Иначе говоря, можно лишь утверждать, что целыми будут $\frac{p^2}{(z-y)_1}$ и $\frac{3(z-y)_1}{p^2}$, откуда $p^2=(z-y)_1$ либо $p^2=3(z-y)_1$
Прошлый раз я не там троечку поставил, впрочем это не так и важно - можно заменить $p=3p_1$

Цитата:

... а он как раз самый интересный. В этом случае это простое док-во не проходит.

И ведь от тройки просто так не избавишься, так как один из $(z-y)_1, \ \ (z-x)_1$ и $(x+y)_1$ обязан делится на 3.

[ljubarcev]

RIP писал(а):

С первым соглашусь, а вот второе не обязано быть целым, если $p$ делится на 3. Т.е. упущен случай $(z-y)_1=\frac{p^2}3$, а он как раз самый интересный. В этом случае это простое док-во не проходит.

Ясно, что Ваш вопрос (сомнение) появилось из за того, что при $x^3+y^3=z^3$ одно и только одно из чисел $x;y;z$ делится на $3$. Положим, что это число $x$. Ясно, что в таком случае выводы, сделанные ранее относительно чисел $z-x=k^3$ и $x+y=g^3$ остаются в силе.
Вы указываете, что случай , когда $3(z-y)_1/p^2$ должен быть рассмотрен отдельно. Рассмотрим.
Пусть $p$ делится на $3$. Так как $p$ содержит все общие множители чисел $x$ и $z-y$, то ясно, что и $x$ и $z-y$ делятся на $3$, то есть $x=3x_1$; $z-y=3(z-y)_1$.
Исходное равенство в этом случае принимает вид $27x_1^3-27(z-y)_1^3=9zy(z-y)_1$ и $x_1^3-(z-y)_1^3=zy(z-y)_1/3$. В целых числах должно быть $(z-y)_1=3(z-y)_2$. При этом получается, что должно быть $x_1^3/(z-y)_2-27(z-y)_2^2=zy $ и ясно, что числа $x_1$ и $(z-y)_2 $ должны иметь какой-то НОД $m$. Но последнее в целых числах невозможно, так как тогда на $m$ должно делиться и произведение $zy$, которое с ним взаимно просто.
Действительно, так как в этом случае $x_1=mx_2$, $(z-y)_2=m(z-y)_3$ и
$mx_2^3-27(z-y)_3^2=zy/m^2$, что невозможно, так как $m$ содержит только простые множители $x$, которое взаимно просто с $z$ и $y$ по предположению.
Следовательно, равенство $x_1^3/(z-y)_2-27(z-y)_2^2=zy $, а вместе с ним и исходное $x^3+y^3=z^3$ не имеют решений в целых числах.
Дед.

[RIP]

ljubarcev писал(а):

Действительно, так как в этом случае $x_1=mx_2$, $(z-y)_2=m(z-y)_3$ и
$mx_2^3-27(z-y)_3^2=zy/m^2$,

Проверьте последнее равенство.

P.S. $zy$ не обязано делиться на $m$. Например, $x_1=m$, $(z-y)_2=m^3$.

[ljubarcev]

RIP писал(а):

ljubarcev писал(а):

Действительно, так как в этом случае $x_1=mx_2$, $(z-y)_2=m(z-y)_3$ и
$mx_2^3-27(z-y)_3^2=zy/m^2$,

Проверьте последнее равенство.

P.S. $zy$ не обязано делиться на $m$. Например, $x_1=m$, $(z-y)_2=m^3$.

На первый взгляд замечание логично. А если рассмотреть глубже – то увидим следующее.
Если $x_1=m$, то $x=3x_1=3m$. Если $(z-y)_2=m^3$, то $z-y=3m^3$ и очевидно, что это противоречит необходимому условию существования решений в целых числах у равенства $x^3+y^3=z^3$ -должно быть $x>3(z-y)$, но $3m$ всегда меньше.$m^3$.
По другому. При указанных Вами значениях $x_1=m$; $(z-y)_2=m^3$ исходное равенство принимает вид: $27m^3-27m^9=9zym^3$ и получается, что вцелых числах должно быть:

$$1-m^6=\frac{zy}{3}$$

. Но последнее равенство в целых числах невозможно, так как при $x$ делящемся на $3$ ни $z$ , ни $y$ на $3$ не делятся.
Дед.

[RIP]

Пример с $x_1=m$, $(z-y)_2=m^3$ я привёл просто для того, чтобы показать, что если $\frac{x_1^3}{(z-y)_2}-27(z-y)_2^2=zy$ для каких-то целых чисел $x_1$, $(z-y)_2$, $z$, $y$, то отсюда вовсе не следует, что $zy$ делится на $m=(x_1,(z-y)_2)$.
Вы бы лучше ответили по существу на моё первое замечание.

Добавлено спустя 4 минуты 17 секунд:

Тем более, что когда $(z-y)_2=m^3$, то $z-y=9m^3$, поэтому исходное уравнение принимает вид $27m^3-729m^9=27zym^3$, т.е. $1-27m^6=zy$.

[ljubarcev]

RIP писал(а):

Тем более, что когда $(z-y)_2=m^3$, то $z-y=9m^3$, поэтому исходное уравнение принимает вид $27m^3-729m^9=27zym^3$, т.е. $1-27m^6=zy$.

RIP. Верно и существенно $z-y=9m^3$.
Так как $x+y-z=3t$, то $(3t)^3=3(z-y)(z-x)(x+y)$; $t^3=\frac{(z-y)(z-x)(x+y)}{9}$ и ясно, что два из чисел $z-y$; $z-x$; $x+y$ должны быть кубами, а одно равно девяти кубам. При $x=3x_1$, то есть делящемся на $3$, должно быть $z-y= 9(z-y)_1^3$ и $3^3x_1^3-9^3(z-y)_1^9=3zy9(z-y)_1^3$, а после деления на $3^3(z-y)_1^3$ -
$(\frac{x_1}{(z-y)_1})^3-(z-y)_1^6=zy$. Что бы последнее равенство имело место в целых числах необходимо что бы $x_1$ делилось на $(z-y)_1$ целиком. Следовательно, должно быть $x_1=m(z-y)_1$. Но тогда должно быть и
$m^3-m^6=zy$, и $1-m^3=\frac{zy}{m^3}$. Последнее же невозможно, так как $m$ будучи делителем $x$ взаимно просто с $zy$. Следовательно, не нулевые решения в целых числах возможны только и только при $m=1$, то есть при $x_1=(z-y)_1$ и $x=3x_1$; $z-y=9x_1^3$. Эти значения чисел $x$ и $z-y$ не могут удовлетворять исходному равенству, так как противоречат необходимому при любом не чётном показателе степени $n$ условию: наименьшее из чисел $x$, удовлетворяющих равенству $x^n+y^n=z^n$, должно быть больше числа $n(z-y)$, в то время как всегда $3x_1<9x_1^3$.
Дед.

[Someone]

ljubarcev, а как Ваши рассуждения работают вот в этом примере: http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=53334#53334?

[Батороев]

ljubarcev писал(а):

При $x=3x_1$, то есть делящемся на $3$, должно быть $z-y= 9(z-y)_1^3$

.
Почему должно быть в 3-й степени:
$(z-y)_1^3$?

[RIP]

Батороев писал(а):

ljubarcev писал(а):

При $x=3x_1$, то есть делящемся на $3$, должно быть $z-y= 9(z-y)_1^3$

.
Почему должно быть в 3-й степени:
$(z-y)_1^3$?

$$x^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$$

Поскольку $3|x$, то на $3$ делится хотя бы один из сомножителей справа, следовательно, они оба. Но тогда второй сомножитель делится на $3$ ровно в первой степени (т.к. $9|(z-y)^2$ и $9\nmid3zy$). Поэтому $9|z-y$, и cокращая на $27$, получим

$$x_1^3=\frac{z-y}9\cdot\left(zy+27\biggl(\frac{z-y}9\biggr)^2\right).$$

Сомножители справа взаимно просты, поэтому каждое из них является кубом, в частности $z-y=9(z-y)_1^3$.

P.S. Разумеется, предполагается, что $(x,y,z)=1$.

Добавлено спустя 3 минуты 24 секунды:

ljubarcev писал(а):

...$(\frac{x_1}{(z-y)_1})^3-(z-y)_1^6=zy$....
Следовательно, должно быть $x_1=m(z-y)_1$. Но тогда должно быть и
$m^3-m^6=zy$...

Снова ошибка в последнем равенстве.

[ljubarcev]

RIP писал(а):

Батороев писал(а):

ljubarcev писал(а):

При $x=3x_1$, то есть делящемся на $3$, должно быть $z-y= 9(z-y)_1^3$

.
Почему должно быть в 3-й степени:
$(z-y)_1^3$?

$$x^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$$

Поскольку $3|x$, то на $3$ делится хотя бы один из сомножителей справа, следовательно, они оба. Но тогда второй сомножитель делится на $3$ ровно в первой степени (т.к. $9|(z-y)^2$ и $9\nmid3zy$). Поэтому $9|z-y$, и cокращая на $27$, получим

$$x_1^3=\frac{z-y}9\cdot\left(zy+27\biggl(\frac{z-y}9\biggr)^2\right).$$

Сомножители справа взаимно просты, поэтому каждое из них является кубом, в частности $z-y=9(z-y)_1^3$.

P.S. Разумеется, предполагается, что $(x,y,z)=1$.

Добавлено спустя 3 минуты 24 секунды:

ljubarcev писал(а):

...$(\frac{x_1}{(z-y)_1})^3-(z-y)_1^6=zy$....
Следовательно, должно быть $x_1=m(z-y)_1$. Но тогда должно быть и
$m^3-m^6=zy$...

Снова ошибка в последнем равенстве.

RIP. Весьма благодарен за ответы.
1. Мне понравился Ваш ответ на замечание Батороева. Вы Увидели существенное:- при $x$, делящемся на $3$, числа $z-y$ и $z^2+zy+y^2$ не взаимно просты и имеют простой общий множитель $3$. Не трудно доказать, что других общих множителей они иметь не могут, то есть их НОД может быть равен только $3$.
2. Согласен, что опять к сожалению ошибся. В действительности должно быть
$m^3-3^3m^6=zy$.Эта ошибка на дальнейшие выводы не влияет. Думаю, что Вы это поняли, так как других замечаний пока нет.
Дед.