Доказательство комбинаторной формулы

[nulpatrol]

Помогите доказать или скиньте ссылку на сайт, где это доказывается
$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-2}^{k-1}+...+C_{k-1}^{k-1}=\sum_{i=0}^{n-k}C_{k+i-1}^{k-1}$

UPD:
$C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}$
Отсюда: $C_{n-1}^{k}=C_{n-2}^{k-1}+...+C_{k-1}^{k-1}$
Опять же: $C_{n-1}^{k} = C_{n-2}^{k-1} + C_{n-2}^{k}$ и $C_{n-2}^{k}=C_{n-3}^{k-1}+...+C_{k-1}^{k-1}$

Спасибо за эту подсказку, как последовательно перейти из одного к другому я понял. Но количество таких переходов условно бесконечно. Подскажите как сформулировать это? Просто написать "И так далее" или как-то через индукцию?

[arseniiv]

Подсказка: $C_n^k = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1}$.

[nulpatrol]

Я пытался применить, но не смог выдавить из этого пользу(

[TOTAL]

$C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}$
А из этой выдавите? (Первое слагаемое справа уже какое надо, поэтому его не трогайте, а давите на второе слагаемое.)

Или сравните коэффициенты перед $x^k$ справа и слева

$$\left[(x+1)^n -1\right]=\left[(x+1) -1\right]\cdot\left[(x+1)^{n-1}+(x+1)^{n-2}+ \cdots + (x+1)^{2}+(x+1)-1\right]$$

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Подсказали Вам достаточно, теперь приведите свои попытки решения задачи.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: та вроде культурненько всё...

[Mitrius_Math]

А биномом Ньютона тут нельзя воспользоваться?..

[nulpatrol]

Хотелось бы доказать именно так, как уже подсказали. Но интересует вопрос как описать именно то бесконечное количество переходов? Индуктивностью? Или достаточным будет сказать, что "продолжая размышлять таким образом придем к окончательному ответу"?

[Sonic86]

nulpatrol в сообщении #645813 писал(а):

Но интересует вопрос как описать именно то бесконечное количество переходов?

Оно не бесконечное, а конечное, потому индукции достаточно. Хотя, конечно, неограниченное.

[arseniiv]

nulpatrol в сообщении #645813 писал(а):

Или достаточным будет сказать, что "продолжая размышлять таким образом придем к окончательному ответу"?

Ну, это пишут, когда лень расписывать доказательство по индукции, когда она достаточно очевидна. Если здесь вы сразу видите, как надо доказывать по индукции, и верите, что проверяющему задание такого убеждения хватит, то можно написать это.