dobryaaasha, здесь некоторые замечания к вашим формулам:
В выражениях для
и
(которые, по сути, соответствуют
из поста
http://dxdy.ru/topic61579.html - с чем вы, как я понимаю, знакомы):
1. В числителях у вас написана лишняя двойка: должно быть
,
вместо
,
.
2. Модуль у корней
,
в знаменателях писать не нужно, поскольку по смыслу величин
и
у вас
.
3. Как результат: множители
и
в числителях и знаменателях сокращаются.
В выражении для
:
1. Переменная
в произведении экспонент
![$\exp\left[-\frac{k+U^2}{\sigma^2}\right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/d/62dd1723cc53c93010f97aa7018751ff82.png "$\exp\left[-\frac{k+U^2}{\sigma^2}\right]$")
,
![$\exp\left[-\frac{\omega-k+U^2}{\sigma^2}\right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/9/4d96cba07fe3ab788a392086cc5c019582.png "$\exp\left[-\frac{\omega-k+U^2}{\sigma^2}\right]$")
сокращается, и оставшаяся экспонента может быть вынесена за интеграл.
2. А вот тут уже серьезная неточность:
Интегрирование по
должно идти по интервалу
![$[0;\omega]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/3/7a3620fb65b27200238868e39f15947382.png "$[0;\omega]$")
, а не
![$[0; \infty]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/d/37d867ff2a9f84c3ca294544ca768b3d82.png "$[0; \infty]$")
- как у вас. Разберитесь с этим местом.
(Оффтоп)
Наводящее соображение:
, а знаки этих трех величин совсем не произвольны.
3. На мой взгляд, не было необходимости переходить от функции Бесселя
к ее интегральному представлению:
.
С учетом этих замечаний ваша финальная формула приобретает вид:
![$P(\omega)=\frac{1}{4\sigma^4}\exp\left[-\frac{\omega+2U^2}{\sigma^2}\right]\int\limits_0^\omega I_0\left(\frac{\sqrt{k}U}{\sigma^2}\right)I_0\left(\frac{\sqrt{\omega-k}U}{\sigma^2}\right) dk.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/a/22ad78d73921da3033253baa2c5a53a182.png "$P(\omega)=\frac{1}{4\sigma^4}\exp\left[-\frac{\omega+2U^2}{\sigma^2}\right]\int\limits_0^\omega I_0\left(\frac{\sqrt{k}U}{\sigma^2}\right)I_0\left(\frac{\sqrt{\omega-k}U}{\sigma^2}\right) dk.$")
После несложных замен переменных интеграл в этой формуле сводится, с точностью до внешнего множителя (разберитесь с этими заменами и внешними множителями сами), к
(
- модифицированная функции Бесселя первого рода первого порядка).
(Оффтоп)
(Здесь я посмотрел в справочник "Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. Том 2", частный случай формулы 2.15.19.14 - самому выводить было неохота. Кстати, ни Mathematica ни Maple последних версий этот интеграл не знают.)
Окончательный результат для ПРВ величины
имеет вид
![$P(\omega)=\frac{\sqrt{2\omega}}{4U\sigma^2}\exp\left[-\frac{\omega+2U^2}{\sigma^2}\right]I_1\left(\frac{\sqrt{2\omega}U}{\sigma^2}\right),$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/5/625fb17ed4e48dd5af9330d1165455cc82.png "$P(\omega)=\frac{\sqrt{2\omega}}{4U\sigma^2}\exp\left[-\frac{\omega+2U^2}{\sigma^2}\right]I_1\left(\frac{\sqrt{2\omega}U}{\sigma^2}\right),$")
а ПРВ для величины
, соответствующей точке 8 на вашей схеме -
![$P(\nu)=\frac{\nu^2}{\sqrt{2}U\sigma^2}\exp\left[-\frac{\nu^2+2U^2}{\sigma^2}\right]I_1\left(\frac{\sqrt{2}\nu U}{\sigma^2}\right).$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/6/cc6e8510ffe16e09aa7662bc6335bcce82.png "$P(\nu)=\frac{\nu^2}{\sqrt{2}U\sigma^2}\exp\left[-\frac{\nu^2+2U^2}{\sigma^2}\right]I_1\left(\frac{\sqrt{2}\nu U}{\sigma^2}\right).$")
P.S. Я не уверен, что обозначать в одном месте разные ПРВ для различных величин (имеющие разный функциональный вид) одной буквой
с разными аргументами - это хорошая идея. Хотя подражая вашим обозначениям здесь делал именно так.
![$$P(y)=\frac{y}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{y^2+U^2}{2\sigma^2}\right]I_{0}\left(\frac{y U}{\sigma^2}\right)$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/2/e82541d3578b605442ce4895e22a742f82.png "$$P(y)=\frac{y}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{y^2+U^2}{2\sigma^2}\right]I_{0}\left(\frac{y U}{\sigma^2}\right)$$")
![$$P(x)=\frac{x}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{x^2+U^2}{2\sigma^2}\right]I_{0}\left(\frac{x U}{\sigma^2}\right)$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/e/18eeb6862977e6f876f89560cedd5d8d82.png "$$P(x)=\frac{x}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{x^2+U^2}{2\sigma^2}\right]I_{0}\left(\frac{x U}{\sigma^2}\right)$$")
![$$P(k)=\frac{2\sqrt{k}}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{k+U^2}{2\sigma^2}\right]I_{0}\left(\frac{\sqrt{k} U}{\sigma^2}\right) \frac{1}{|2\sqrt{k}|}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/b/6fb0238125a44c9ede93c96169c7a5d982.png "$$P(k)=\frac{2\sqrt{k}}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{k+U^2}{2\sigma^2}\right]I_{0}\left(\frac{\sqrt{k} U}{\sigma^2}\right) \frac{1}{|2\sqrt{k}|}$$")
![$$P(l)=\frac{2\sqrt{l}}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{l+U^2}{2\sigma^2}\right]I_{0}\left(\frac{\sqrt{l} U}{\sigma^2}\right) \frac{1}{|2\sqrt{l}|}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/8/9c851c35bf927df9b8ea611d12c841c982.png "$$P(l)=\frac{2\sqrt{l}}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{l+U^2}{2\sigma^2}\right]I_{0}\left(\frac{\sqrt{l} U}{\sigma^2}\right) \frac{1}{|2\sqrt{l}|}$$")
в общем случае выражается с помощью свертки (я ее записала для моего конкретного случая):![$$P(w)=\int\limits_{0}^{\infty} \left(\frac{2\sqrt{k}}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{k+U^2}{2\sigma^2}\right] \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \exp\left[-\frac{\sqrt{k}U}{\sigma^2}\cos \gamma\right]d\gamma\frac{1}{|2\sqrt{k}|}\right) \times $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/7/b377ba68ab37598920052ed01241effc82.png "$$P(w)=\int\limits_{0}^{\infty} \left(\frac{2\sqrt{k}}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{k+U^2}{2\sigma^2}\right] \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \exp\left[-\frac{\sqrt{k}U}{\sigma^2}\cos \gamma\right]d\gamma\frac{1}{|2\sqrt{k}|}\right) \times $$")
![$$\times\left(\frac{2\sqrt{w-k}}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{w-k+U^2}{2\sigma^2}\right] \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \exp\left[-\frac{\sqrt{w-k}U}{\sigma^2}\cos \gamma\right]d\gamma \frac{1}{|2\sqrt{w-k}|} \right)dk$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/6/6e66e575910820c2faaf9d5165aa82ba82.png "$$\times\left(\frac{2\sqrt{w-k}}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{w-k+U^2}{2\sigma^2}\right] \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \exp\left[-\frac{\sqrt{w-k}U}{\sigma^2}\cos \gamma\right]d\gamma \frac{1}{|2\sqrt{w-k}|} \right)dk$$")
(картинку со схемой можно оставить как есть). 
и 
и так же для l. По крайней мере, так рассуждал мой преподаватель на лекции.
близко к нормальному. (Это на всякий случай, если у вас там каким-то чудом всё-таки распределение Райса.)
)?