2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 ПРВ суммы двух случайных процессов
Сообщение25.10.2012, 08:26 
Аватара пользователя
Здравствуйте.
У меня возник вопрос с вычислением плотности распределения вероятностей.

Дана схема:

Изображение

В точках 3 и 4 ПРВ процессов имеют вид распределения Райса:

$$P(y)=\frac{y}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{y^2+U^2}{2\sigma^2}\right]I_{0}\left(\frac{y U}{\sigma^2}\right)$$
$$P(x)=\frac{x}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{x^2+U^2}{2\sigma^2}\right]I_{0}\left(\frac{x U}{\sigma^2}\right)$$

В точках 5 и 6 с помощью функционального преобразования $k=x^2$ и $l=y^2$ я получила следующие ПРВ:

$$P(k)=\frac{2\sqrt{k}}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{k+U^2}{2\sigma^2}\right]I_{0}\left(\frac{\sqrt{k} U}{\sigma^2}\right) \frac{1}{|2\sqrt{k}|}$$
$$P(l)=\frac{2\sqrt{l}}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{l+U^2}{2\sigma^2}\right]I_{0}\left(\frac{\sqrt{l} U}{\sigma^2}\right) \frac{1}{|2\sqrt{l}|}$$

ПРВ в точке 7 для процесса $w=k+l$ в общем случае выражается с помощью свертки (я ее записала для моего конкретного случая):

$$P(w)=\int\limits_{0}^{\infty} \left(\frac{2\sqrt{k}}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{k+U^2}{2\sigma^2}\right] \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \exp\left[-\frac{\sqrt{k}U}{\sigma^2}\cos \gamma\right]d\gamma\frac{1}{|2\sqrt{k}|}\right) \times $$
$$\times\left(\frac{2\sqrt{w-k}}{\sigma^2}\exp\left[-\frac{w-k+U^2}{2\sigma^2}\right] \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \exp\left[-\frac{\sqrt{w-k}U}{\sigma^2}\cos \gamma\right]d\gamma \frac{1}{|2\sqrt{w-k}|} \right)dk$$

Есть ли возможность сразу перейти к конечному выражению для ПРВ в точке 7 так, как я это сделала для ПРВ в точах 5 и 6? Без вычисления интеграла свертки.

Заранее спасибо за ответы.

 
 
 
 Re: ПРВ суммы двух случайных процессов
Сообщение25.10.2012, 16:57 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена в Карантин.

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$ (картинку со схемой можно оставить как есть).
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение26.10.2012, 08:00 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 
 
 
 Re: ПРВ суммы двух случайных процессов
Сообщение26.10.2012, 08:13 
Аватара пользователя
Видел я что-то похожее вот тут http://strts-online.narod.ru/files/lec5.pdf на стр.8 пункт 5.4. Там аккурат до точки 8.

 
 
 
 Re: ПРВ суммы двух случайных процессов
Сообщение26.10.2012, 08:44 
Аватара пользователя
profrotter, спасибо большое. Буду разбираться.

 
 
 
 Re: ПРВ суммы двух случайных процессов
Сообщение28.10.2012, 00:07 
Аватара пользователя
dobryaaasha, здесь некоторые замечания к вашим формулам:

В выражениях для $P(k)$ и $P(l)$ (которые, по сути, соответствуют $f(S)$ из поста http://dxdy.ru/topic61579.html - с чем вы, как я понимаю, знакомы):
1. В числителях у вас написана лишняя двойка: должно быть $\sqrt{k}$, $\sqrt{l}$ вместо $2\sqrt{k}$, $2\sqrt{l}$.
2. Модуль у корней $\left|2\sqrt{k}\right|$, $\left|2\sqrt{l}\right|$ в знаменателях писать не нужно, поскольку по смыслу величин $k=x^2$ и $l=y^2$ у вас $k,l\geq 0$.
3. Как результат: множители $\sqrt{k}$ и $\sqrt{l}$ в числителях и знаменателях сокращаются.

В выражении для $P(\omega)$:
1. Переменная $k$ в произведении экспонент $\exp\left[-\frac{k+U^2}{\sigma^2}\right]$, $\exp\left[-\frac{\omega-k+U^2}{\sigma^2}\right]$ сокращается, и оставшаяся экспонента может быть вынесена за интеграл.
2. А вот тут уже серьезная неточность:
Интегрирование по $k$ должно идти по интервалу $[0;\omega]$, а не $[0; \infty]$ - как у вас. Разберитесь с этим местом.

(Оффтоп)

Наводящее соображение: $\omega=k+l$, а знаки этих трех величин совсем не произвольны.

3. На мой взгляд, не было необходимости переходить от функции Бесселя $I_0(t)$ к ее интегральному представлению: $I_0(t)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos(t\cos\varphi) d\varphi$.

С учетом этих замечаний ваша финальная формула приобретает вид:
$P(\omega)=\frac{1}{4\sigma^4}\exp\left[-\frac{\omega+2U^2}{\sigma^2}\right]\int\limits_0^\omega I_0\left(\frac{\sqrt{k}U}{\sigma^2}\right)I_0\left(\frac{\sqrt{\omega-k}U}{\sigma^2}\right) dk.$
После несложных замен переменных интеграл в этой формуле сводится, с точностью до внешнего множителя (разберитесь с этими заменами и внешними множителями сами), к $\int\limits_0^a I_0(z)I_0\left(\sqrt{a^2-z^2}\right) dz=\frac{a}{\sqrt{2}}I_1(\sqrt{2}a)$ ($I_1$ - модифицированная функции Бесселя первого рода первого порядка).

(Оффтоп)

(Здесь я посмотрел в справочник "Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. Том 2", частный случай формулы 2.15.19.14 - самому выводить было неохота. Кстати, ни Mathematica ни Maple последних версий этот интеграл не знают.)

Окончательный результат для ПРВ величины $\omega$ имеет вид
$P(\omega)=\frac{\sqrt{2\omega}}{4U\sigma^2}\exp\left[-\frac{\omega+2U^2}{\sigma^2}\right]I_1\left(\frac{\sqrt{2\omega}U}{\sigma^2}\right),$
а ПРВ для величины $\nu=\sqrt{\omega}$, соответствующей точке 8 на вашей схеме -
$P(\nu)=\frac{\nu^2}{\sqrt{2}U\sigma^2}\exp\left[-\frac{\nu^2+2U^2}{\sigma^2}\right]I_1\left(\frac{\sqrt{2}\nu U}{\sigma^2}\right).$

P.S. Я не уверен, что обозначать в одном месте разные ПРВ для различных величин (имеющие разный функциональный вид) одной буквой $P$ с разными аргументами - это хорошая идея. Хотя подражая вашим обозначениям здесь делал именно так.

 
 
 
 Re: ПРВ суммы двух случайных процессов
Сообщение28.10.2012, 15:57 
Аватара пользователя
Громаднейшее спасибо за Ваш ответ и потраченное на решение моего вопроса время!
По поводу Ваших уточнений:
1. Двойка была добавлена из тех соображений, что при нахождении квадратного корня из k и l могут получиться 2 варианта: +$\sqrt k$ и $-\sqrt k$ и так же для l. По крайней мере, так рассуждал мой преподаватель на лекции.
2. С модулем уже разобралась, согласна, он не нужен.
3. Функцию Бесселя я перевела в интегральный вид, чтобы построить график в Маткаде. Мне так показалось удобней.
4. Пределы интегрирования я тоже уже сменила, как раз благодаря Маткаду. С прежними пределами он строил кривые графики по 40 минут, а с новыми - все получается красиво и быстро.

Остальное все обязательно разберу, еще раз большое спасибо за реальную помощь!

 
 
 
 Re: ПРВ суммы двух случайных процессов
Сообщение28.10.2012, 18:33 
Аватара пользователя
Вы там пока разбираетесь учтите ещё один существенный момент. Когда у вас процессы в обоих каналах не гауссовы, Вы не можете вот так просто взять и положить их независимыми и использовать свёртку при определении ПРВ их суммы. Когда они гауссовы, то устанавливают их некоррелированность и потом предполагают, что они совместно гауссовы и, стало быть, независимые. Результат, полученный при сомнительном предположении подтверждают экспериментально.

 
 
 
 Re: ПРВ суммы двух случайных процессов
Сообщение29.10.2012, 07:59 
Аватара пользователя
И ещё один момент. Откуда в точках 3 и 4 взялось распределение Райса? Ведь процессы в этих точках получаются линейным инерционным преобразованием процесса на входе. В таких случаях принято ссылаться на явление нормализации и считать процессы гауссовыми.

Кстати, распределение Райса при $\frac {U}{\sigma}>3$ близко к нормальному. (Это на всякий случай, если у вас там каким-то чудом всё-таки распределение Райса.)

 
 
 
 Re: ПРВ суммы двух случайных процессов
Сообщение29.10.2012, 08:13 
Аватара пользователя
profrotter, распределение Райса взялось из лекций. Мы делаем оговорку, что ФНЧ не вносит изменений в НЧ составляющую процесса, после чего делаем вывод, что если входной процесс представляет собой смесь сигнала и шума, то в точках 3 и 4 имеем ПРВ Райса, если же входной процесс - шум, то в точках 3 и 4 ПРВ Релея.

 
 
 
 Re: ПРВ суммы двух случайных процессов
Сообщение29.10.2012, 10:11 
Аватара пользователя
Мне всегда казалось, что распределение Райса имеет не НЧ составляющая, а огибающая смеси сигнала и шума. Распределение Релея - огибающая узкополосного шума.
1. Что на входе (кто такой $Z_i(t)$)?
2.Какие учебники вам рекомендованы? Какую тему Вы сейчас прорабатываете?
3. Почему в лекциях не выполнен анализ схемы до конца?
4. Доказана ли в лекциях независимость процессов в точках 3 и 4?

 
 
 
 Re: ПРВ суммы двух случайных процессов
Сообщение29.10.2012, 10:22 
Аватара пользователя
Цитата:
распределение Райса имеет не НЧ составляющая, а огибающая смеси сигнала и шума. Распределение Релея - огибающая узкополосного шума

profrotter, Вы правы. В лекциях так и написано.
1. На входе возможно 2 случая: смесь сигнала и узкополосного шума и только узкополосный шум.
2. Учебники: Статистическая радиотехника, Тихонов; Теоретические основы статистической радиотехники, Левин. Тема не имеет пока определенного названия. Задача - получить ПРВ процессов во всех точках цепи.
3. В лекциях дана теория, общие понятия и определения. Схему дал преподаватель, я должна ее проработать.
4. Независимость (т.е. я так понимаю ортогональность) была задана изначально. Но в процессе выполнения мне предстоит доказать это аналитически.

 
 
 
 Re: ПРВ суммы двух случайных процессов
Сообщение29.10.2012, 10:36 
Аватара пользователя
Похоже мы с вами говорим на одном и том же языке. Тогда сомнительно, что в точках 3 и 4 распределение Райса. (Дело, конечно, ваше и спорить с преподавателем не надобно). Посмотрите ещё

1. Перов Статистическая теория радиотехнических систем

2. Сосулин Теоретические основы радиолокации и радионавигации

Где-то там в глубинах этих учебников Вы найдёте похожие устройства и их анализ.

А изначально дано лишь слово божье. Всё остальное надо доказывать...

 
 
 
 Re: ПРВ суммы двух случайных процессов
Сообщение29.10.2012, 10:46 
Аватара пользователя
profrotter, спасибо за книги, поизучаю. А преподавателю действительно боязно задавать вопрос: "А Вы уверены, что в точке 3 будет именно ПРВ Райса?" :?

 
 
 
 Re: ПРВ суммы двух случайных процессов
Сообщение29.10.2012, 11:26 
Аватара пользователя
Вопрос надо формулировать тактично, например: "Можно подробнее объяснить почему в точках 3 и 4 будет ПРВ Райса?" или так: "Можно подробнее объяснить почему в точках 3 и 4 будет ПРВ Райса, а то я слышала (прочитала, например, по ссылке, которую я вам давал), что процессы в этих точках получаются линейным инерционным преобразованием исходного процесса. Не имеет ли место тут нормализация?"

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group