Помогите разобраться с хи-квадрат распределением

[urankhai]

Добрый день, уважаемые форумчане. Возник вопрос с вычислением плотности распределения.
Вычисляется радиус $R^2 = X^2 + Y^2$. Здесь $X , Y $ имеют распределения $N(\alpha, \sigma), N(\beta, \sigma)$, соответственно. Причем $\alpha \neq \beta$. Как вычислить плотность распределения для $R^2$?

Думаю, что должно получится что-то похожее на хи-квадрат.

[AlexValk]

$\chi^2$-распределение будет только если $\alpha=\beta=0$. В общем случае в вашей задаче распределение величины $R$ называется распределением Райса. Ответ на ваш вопрос о распределении величины $S=R^2$ проще всего получить из формулы плотности распределения Райса, но можно и непосредственно:
Формально, плотность распределения величины $S=X^2+Y^2$ дается двукратным интегралом

$$f(S)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty \delta(S-X^2-Y^2)e^{-\frac{(x-\alpha)^2}{2\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\beta)^2}{2\sigma^2}} \mathrm{d}X \mathrm{d}Y,$$

где $\delta(\dots)$ - дельта-функция Дирака. Дельта-функция снимает одно интегрирование. Удобнее перейти в полярную систему координат (в декартовой возникают два вклада, да и другие усложнения) - тогда снимается интеграл по радиусу. Итоговый интеграл по углу (после небольших упрощений) соответствует интегральному представлению модифицированной функции Бесселя первого рода (нулевого порядка). Ответ для плотности распределения $S$:

$$f(S)=\frac{1}{2\sigma^2} e^{-\frac{Z+\alpha^2+\beta^2}{2\sigma^2}}I_0\left(\frac{\sqrt{z(\alpha^2+\beta^2)}}{\sigma^2}\right). $$

Математическое ожидание и дисперсия: $M(S)=\alpha^2+\beta^2+2\sigma^2$, $M(S)=4\sigma^2(\alpha^2+\beta^2+2\sigma^2)$.

[AlexValk]

Очепятки: Дисперсия $D(S)=4\sigma^2(\alpha^2+\beta^2+\sigma^2)$

[urankhai]

Спасибо! Правильно ли я понимаю, что $z = S$ в формулах?

[AlexValk]

Да, конечно, в правой части формулы $f(S)=$ должно стоять $S$ вместо $z$. Формула для $f(S)$ получается из формулы распределения Райса

$$f(x|\nu,\sigma)=\frac{x}{\sigma^2}\exp\left(-\frac{x^2+\nu^2}{\sigma^2}\right)I_0\left(\frac{x\nu}{\sigma^2}\right)$$

умножением на $1/(2|x|)=1/(2x), x>0$ (это переход от плотности распределения величины $x\geq 0$ к плотности величины $x^2$) и обозначениями $\nu=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$, $x=\sqrt{S}$.