О физическом смысле

[migmit]

Munin в сообщении #635078 писал(а):

Запросто мог ошибиться. Поясните, пожалуйста.

Дык, эта... собственный вектор $(1,0,0,...0)^t$, собственное число $0$.

[Munin]

Руст в сообщении #635105 писал(а):

Так же как для векторов, в случае отсутствия кратных собственных значений и пар собственных пространство разлагается в прямую сумму собственных одномерных и двумерных пространств.

Так вы раньше этих условий не накладывали.

Кстати, то, что вы называете собственным подпространством, по учебникам линала называется инвариантым подпространством, а собственным называется нечто другое (натянутое на собственные векторы одного собственного числа).

migmit
Да, разумеется, а я и не против. Я опровергал идею, что всё пространство в них раскладывается.

Вообще, не вижу, каков на текущий момент предмет спора.

[migmit]

Munin в сообщении #635123 писал(а):

Да, разумеется, а я и не против. Я опровергал идею, что всё пространство в них раскладывается.

А, понял. Я думал, вы хотите комплексные собственные числа. Так всё OK.

[Руст]

Munin в сообщении #635123 писал(а):

Руст в сообщении #635105 писал(а):

Так же как для векторов, в случае отсутствия кратных собственных значений и пар собственных пространство разлагается в прямую сумму собственных одномерных и двумерных пространств.

Так вы раньше этих условий не накладывали.

Не надо врать, я ничего не исправлял.

[Munin]

Послушайте, если вы не хотите, чтобы я врал, то начните с себя. Я не говорил, что вы "исправляли", для начала. Я говорил, что вы привели условие ("отсутствие кратных собственных значений и пар собственных"), которого раньше не было. Если оно было, и я его проглядел, то укажите где.

[Руст]

Munin в сообщении #635132 писал(а):

Послушайте, если вы не хотите, чтобы я врал, то начните с себя. Я не говорил, что вы "исправляли", для начала. Я говорил, что вы привели условие ("отсутствие кратных собственных значений и пар собственных"), которого раньше не было. Если оно было, и я его проглядел, то укажите где.

Смотрите (отделил от контекста).

Руст в сообщении #635019 писал(а):

Комплексифакация нужна только для удобства и сокращения записей. Имея линейный оператор $A:R^n\to R^n$ можно найти все собственные вектора и собственные плоскости без комплексификации. Попробую объяснить еще раз. Подпространство V пространства $R^n$ назовем собственным, если A переводит $V$ в себя. Одномерные подпространства это $ax,a\in R$, для некоторого собственного вектора х. Двумерные собственные пространства или разлагаются в прямую сумму двух одномерных подпространств, или не имеют собственных векторов, но для любого вектора х из плоскости V вектор $A^2x$ выражается в виде линейной комбинации векторов $x,Ax$. Так как в плоскости нет собственных векторов, то любой вектор из этой плоскости представляется линейной комбинацией векторов $x,Ax$. Пусть $A^2x=aAx+bx$, тогда $0=A(A^2x-aAx-bx)=(A^2-aA-b)(Ax)$, т.е. характеристические коэффициенты $a,b$ те же для всех векторов этой плоскости. Пусть $\phi(z)$ характеристический многочлен $det(z*1-A)=0$. Тогда он делится на $z^2-az-b$ (иначе поделив с остатком получим противоречие). Причем этот квадратный многочлен не имеет действительных корней. Квадратным многочленам можно сопоставить комплексные собственные значения. Но раз это меногих раздражает сопоставим им действительные пары чисел $(a,b)$

Так же как для векторов, в случае отсутствия кратных собственных значений и пар собственных пространство разлагается в прямую сумму собственных одномерных и двумерных пространств.

Остается только показать, что на плоскости оператор действует как растяжение и поворот на некоторый угол. Введем базис $x,y=\frac{1}{c}(Ax-\frac{a}{2}x)$, пусть $B=\frac{1}{c}(A-\frac a2 *1)$, тогда $Bx=y, By=-x$, если $c^2=-\frac{a^2+4b}{4}>0$. Соответственно действие оператора в собственном двумерном подпространстве будет эквивалентно умножению на комплексное число при сопосталению вектору $x\to 1, y\to i$ или повороту с растяжением (без всякого сопоставления).

-- Ср окт 24, 2012 12:10:35 --

Munin, это разве не вранье:

Munin в сообщении #635132 писал(а):

Я говорил, что вы привели условие ("отсутствие кратных собственных значений и пар собственных"), которого раньше не было.

[ewert]

Руст в сообщении #635136 писал(а):

Так же как для векторов, в случае отсутствия кратных собственных значений и пар собственных

Munin именно о том и говорил, что до того поста Вы о диагонализуемости матрицы ничего не говорили. От себя лишь добавлю, что комбинация слов в этой цитате выглядит вполне бессмысленной.

Руст в сообщении #635136 писал(а):

Остается только показать, что на плоскости оператор действует как растяжение и поворот на некоторый угол.

Лучше даже и не пытайтесь этого делать. Или у Вас какое-то очень своеобразное понятие о "растяжении".

И прекратите, наконец, называть инвариантные подпространства собственными. Ей-богу, раздражает.

[Munin]

Да, фраза про "отсутствие кратных собственных значений и пар собственных" была, я не заметил. Извиняюсь.

[Руст]

ewert в сообщении #635150 писал(а):

Руст в сообщении #635136 писал(а):

Так же как для векторов, в случае отсутствия кратных собственных значений и пар собственных

Munin именно о том и говорил, что до того поста Вы о диагонализуемости матрицы ничего не говорили. От себя лишь добавлю, что комбинация слов в этой цитате выглядит вполне бессмысленной.

Руст в сообщении #635136 писал(а):

Остается только показать, что на плоскости оператор действует как растяжение и поворот на некоторый угол.

Лучше даже и не пытайтесь этого делать. Или у Вас какое-то очень своеобразное понятие о "растяжении".

И прекратите, наконец, называть инвариантные подпространства собственными. Ей-богу, раздражает.

ewert и вам придется извиниться. Во первых фраза об отсутствии собственных корней сказано перед этим. Соответственно матрица диагонолизируется в комплексированном пространстве, хотя это не так важно (и без этого можно показать, что в отсутствии кратных таких обобщенных собственных плоскостей приведется к требуемому виду).
Рассмотрите любой действительный линейный оператор на плоскости, не имеющей действительных собственных значений. Убедитесь, что это есть комбинация растяжения и поворота. Возможно вас раздражает слово растяжение например в 0.5 раз (когда лучше сказать сжатие в два раза), но это обычная практика.
Здесь я называл инвариантные подпространства собственными для большей аналогии с собственными векторами в случае, когда имеются комплексные собственные значения. В этом случае комплексному собственному вектору соответствует растяжение и поворот в некоторой плоскости. Сделал это намеренно (знаю название инвариантности), чтобы подчеркнуть именно эту аналогию.

[g______d]

Не очень понятно, о чем спор. Если у вещественной матрицы, рассматриваемой над полем $\mathbb C$, нет кратных собственных значений, то в некотором вещественном базисе она действительно выглядит как блочно-диагональная с блоками размера $1\times 1$ или $2\times 2$; блоки $1\times 1$ отвечают собственным подпространствам для вещественных собственных значений, а блоки $2\times 2$ --- парам из комплексного собственного значения и сопряженного к нему; в силу вещественности матрицы комплексные собственные значения разбиваются на такие пары.

Можно выбрать базис так, что блоки $2\times 2$ будут выглядеть как

$$ \left(\begin{matrix} a_k&b_k\\ -b_k&a_k \end{matrix}\right), $$

где $z_k=a_i+ib_k $, $\bar{z}_k=a_k -i b_k$ --- комплексные собственные значения; это базис будут образовывать просто вещественная и мнимая части собственного вектора, отвечающего $z_k$.

Ну и эта матрица действительно совпадает с матрицей умножения на комплексное число $z_k$.

Только вот изначальное предположение о том, что кратных корней нет, очень сильное и делает все очевидным.

[Руст]

g______d в сообщении #635233 писал(а):

Ну и эта матрица действительно совпадает с матрицей умножения на комплексное число $z_k$.

Только вот изначальное предположение о том, что кратных корней нет, очень сильное и делает все очевидным.

Спора нет. Я пытался объяснить, смысл комплексных собственных чисел и комплексных собственных векторов не выходя в комплексное пространство.
Случай, когда имеются кратные корни соответствует вырожденному случаю (меры 0 от общего случая). Для кратных комплексных дважды вырожденному случаю. К тому же речь изначально шел о собственных векторах в случае их комплексности. Для полноты можно рассмотреть и случай не только кратных, но и не имеющих собственных комплексных собственных векторов. Тогда надо интерпретировать смысл присоединенных плоскостей.

[ewert]

Руст в сообщении #635217 писал(а):

Рассмотрите любой действительный линейный оператор на плоскости, не имеющей действительных собственных значений. Убедитесь, что это есть комбинация растяжения и поворота.

Эти слова буквально означают, что любая вещественная матрица два на два с комплексными собственными числами пропорциональна некоторой матрице поворота. Что, разумеется, не так. Если же Вы придавали своим словам некий иной смысл -- объясните, какой конкретно. Однако при любой интерпретации останутся дырки, не покрываемые этим утверждением, сразу по нескольким причинам.

[Руст]

ewert в сообщении #635317 писал(а):

Руст в сообщении #635217 писал(а):

Эти слова буквально означают, что любая вещественная матрица два на два с комплексными собственными числами пропорциональна некоторой матрице поворота. Что, разумеется, не так. Если же Вы придавали своим словам некий иной смысл -- объясните, какой конкретно. Однако при любой интерпретации останутся дырки, не покрываемые этим утверждением, сразу по нескольким причинам.

Да, тут я извиняюсь. Точнее это произведение диагонального (не обязательно с одинаковыми элементами на диагонали) отображения на поворот.

[g______d]

Руст в сообщении #635269 писал(а):

g______d в сообщении #635233 писал(а):

Для полноты можно рассмотреть и случай не только кратных, но и не имеющих собственных комплексных собственных векторов. Тогда надо интерпретировать смысл присоединенных плоскостей.

Ну один-то собственный вектор для каждого собственного значения всегда есть. Если речь о жордановой форме, то здесь тоже ничего изобретать не нужно,

http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_nor ... l_matrices

[ewert]

Руст в сообщении #635328 писал(а):

Точнее это произведение диагонального (не обязательно с одинаковыми элементами на диагонали) отображения на поворот.

Так вот и даже это неправда. Это -- частный случай сингулярного разложения (с необходимыми оговорками), но -- далеко не общий случай.

g______d в сообщении #635332 писал(а):

Ну один-то собственный вектор для каждого собственного значения всегда есть.

Но не в этой теме -- здесь речь идёт о только вещественных разложениях.